Curso Básico de Cálculo Diferencial para Data Science e inteligencia artificial.
Joan Blancogoogle Colab
module 1 Introducción
Clase 1 ¿Qué es el cálculo diferencial?
Antes de hacer la introducción es necesario comprender groso modo ¿qué es el cálculo?, ¿para qué nos sirve? ¿Cuál es el propósito?, Empecemos por definiciones genéricas:
Conceptos generales:
- Cálculo: Realizar operaciones de manera dada para llegar a un resultado
- Cálculo diferencial: Es una parte del cálculo infinitesimal y del análisis matemático que estudia cómo cambian las funciones continuas según sus variables cambian de estado. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Básicamente, es el estudio del cambio
- Cálculo integral: Estudio de la antiderivación, es decir, lo contrario a la derivada. Reconstruir funciones a partir de su tasa de cambio.
module 2 Límites
Clase 2 ¿Qué es un límite?
Clase 3 Resolución de límites e interpretación
El límite nos indica a que valor tiende nuestra función cuando nos aproximamos a una indeterminación. En este ejemplo podemos ver que el límite tiende a vales 4 y esto mismo se aprecia en la gráfica.
Es importante evaluar el límite por ambos lados de la función.
module 3 Derivada en ciencia de datos
Clase 4 Definición de la derivada
Newton quería hallar la tangente de una función y se dio cuenta qué al generar una recta secante (que atraviese la función por dos puntos) y disminuir la distancia entre esos puntos eso le generaba la ecuación de la tangente.
Por lo que Newton tomo la función y la paso por un límite en donde la distancia entre dos puntos `h` tiende a cero.
Concluyendo en que la parte de arriba sería la diferencia (incremento) entre las funciones o también el valor de `y` y por debajo sería la diferencia (incremento) entre los valores de `x`.
Clase 5 La derivada como razón de cambio
En el ejemplo veremos una gráfica que representa el cambio de salario sobre años como programador.
La derivada es una herramienta útil para determinar cuanto es el cambio de salario año tras año, o para decirlo de otra manera, cuanto es el incremento de salario desde un año a otro.
Por lo que la derivada nos indica la rapidez con la que cambia algo.
¿En este caso en el año 1 la rapidez de cambio es 2, y seria siempre el soble?
Salario doble $, por años year
Si la derivada es negativa significa que la rapidez no esta creciendo, está disminuyendo.
Ecuaciones de derivadas:
Clase 6 Diferentes notaciones de la derivada
Clase 7 Implementación de la derivada discreta
Aplicando la derivada en código con colab
Es una función por aproximación, ya que las computadoras solo manejan valores discretos.
Con np.cos:
Clase 8 La importancia de la regla de la cadena
La regla de la cadena nos permite tener la razón de cambio de una variable inicial respecto a una variable final.
Es la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
En el siguiente ejemplo podemos ver como afecta la razón de cambio, tengamos en cuenta que la derivada de una recta es su pendiente, y la pendiente determina que tanto crece la recta, por lo tanto, es lógico que sea su razón de cambio.
Podemos ver que hay dos gráficas que se relacionan con la altura, por lo que si según la edad obtenemos la altura con la altura podemos obtener el peso, así que al final podemos obtener el peso directamente de la edad juntando las funciones F(G(x)).
Para sacar la razón de cambio de esto hacemos lo siguiente:
nota: el circulo indica como se dede la regla de la cadena.
Por lo tanto, la razón de cambio del peso respecto a la edad de una persona es de 2.
Esto es importante por ayuda a relacionar variable incluso cuando tienen una variable de intermedio, esto es fundamental porque cuando se aplican redes neuronales, existen algoritmos, algoritmos intermedios y finales, y se aplica un algoritmo de back propagations que usa la regla de la cadena para obtener información o señales de error hacia atrás.
module 4 Introducción a máximos y mínimos
Clase 9 ¿Qué es un máximo y un mínimo?
Se determina que hay un punto máximo si la tangente cambia de un estado creciente a decreciente y viceversa si es un punto mínimo.
Esto da la lógica necesaria para ver donde utilizar las herramientas de optimización y entender la optimización del back propagations con el descenso del gradiente.
Clase 10 Optimizando nuestro primer problema
Problema: Queremos construir una oficina con solo 50 mts de construcción y queremos abarcar el área más grande posible (punto máximo), la oficina solo tiene 3 paredes y una vista al mar.
¿Por qué optimizar?
Es necesario tener en cuenta la optimización buscando una función objetiva, esto significa que, con ayuda de las derivadas y los límites podremos encontrar el área más óptima para el desarrollo de las “oficinas”
para esto se hace lo siguiente:
- Paso 01. Entender el área y perimetro del espacio:
Función objetiva, la función que queremos optimizar.
A = x * y
Largo de las tres paredes
P = x + y + x = 2x + y=50
- Paso 02: Tener un área, en este caso de muro, como restricción (50 m de perímetro en este caso)
2x + y = 50
- Paso 03: Buscar la función objetiva, en este caso y (es la función que queremos optimizar)
y = 50-2x
- Paso 04: Reescribir en términos de la dependiente
A(x) = x(50-2x)
A(x) = -2x² + 50x
- Paso 05: optimizar buscando su derivada e igualar a cero (se iguala porque queremos saber en qué punto la x está en el punto más alto o más bajo)
A’(x) = -4x + 50 = 0
-4x + 50 = 0
x = -50/ -4 = 25/2 (mínima expresión)
- Paso 06: Buscar datos a la izquierda y a la derecha
A(x) = -2x² + 50x
a la izquierda:
A(12.45) = -2(12.45)² + 50(12.45) = 1/5 (pendiente positiva)
a la derecha
A(12.55) = -2(12.55)² + 50(12.55) = -1/5 (pendiente negativa)
x = 12.50 es igual a cero como punto más alto (máximo)
total
A = 12.5 * 25 = 312.5 mt2 (área más optimizada)
P = 12.5² + 25 = 50