Cosmos
VII. El espinazo de la noche
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Esta gran revolución en el pensamiento humano se inició entre los años 600 y 400 a. de C. La clave de esta revolución fue la mano. Algunos de los brillantes pensadores jonios eran hijos de marineros, de campesinos y de tejedores. Estaban acostumbrados a hurgar y a reparar, al contrario de los sacerdotes y de los escribas de otras naciones que, criados en el lujo, no estaban dispuestos a ensuciarse las manos. Rechazaron la superstición y elaboraron maravillas. En muchos casos sólo disponemos de relaciones secundarias o indirectas sobre lo sucedido. Las metáforas que se utilizaban entonces pueden ser oscuras para nosotros. Es casi seguro que hubo un esfuerzo consciente unos siglos después para eliminar las nuevas concepciones. Las figuras señeras de esta revolución eran hombres de nombre griego, que en su mayor parte nos suenan extraños, pero que fueron los pioneros auténticos del desarrollo de nuestra civilización y de nuestra humanidad.
El primer científico jonio fue Tales de Mileto, una ciudad de Asia separada por un estrecho canal de agua de la isla de Samos. Había viajado hasta Egipto y dominaba los conocimientos babilónicos. Se dice que predijo un eclipse solar. Aprendió la manera de medir la altura de una pirámide a partir de la longitud de su sombra y el ángulo del Sol sobre el horizonte, método utilizado hoy en día para determinar la altura de las montañas de la Luna. Fue el primero que demostró teoremas geométricos como los que Euclides codificó tres siglos después: por ejemplo la proposición de que los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. Hay una evidente continuidad en el esfuerzo intelectual desde Tales hasta Euclides hasta la compra por Isaac Newton de los Elementos de geometría en la Feria de Stourbridge en 1663 (véase página 68), el acontecimiento que precipitó la ciencia y la tecnología modernas.
Tales intentó comprender el mundo sin invocar la intervención de los dioses. Creía, como los babilonios, que el mundo había sido antes agua. Los babilonios para explicar la tierra firme añadían que Marduk puso una estera sobre la superficie de las aguas y amontonó tierra encima de ella.[44] Tales tenía una idea semejante, pero como señala Benjamín Farrington, dejó fuera a Marduk. Sí, todo había sido antes agua, pero la Tierra se formó a partir de los océanos por un proceso natural, semejante, pensaba, a la sedimentación que había observado en el delta del Nilo. Pensaba que el agua era un principio común subyacente a toda la materia, como podríamos hablar hoy de los electrones, los protones, los neutrones o los quarks. Lo importante no es que la conclusión de Tales fuera correcta o no, sino el método utilizado: El mundo no fue hecho por los dioses, sino por la labor de fuerzas materiales en interacción dentro de la naturaleza. Tales trajo de Babilonia y de Egipto las semillas de las nuevas ciencias de la astronomía y la geometría, ciencias que brotarían y crecerían en el suelo fértil de Jonia.
Se sabe muy poco sobre la vida personal de Tales, pero Aristóteles cuenta en su Política una anécdota reveladora:
Se le reprochaba [a Tales] su pobreza, la cual demostraba que al parecer la filosofía no sirve de nada. Según la historia, su capacidad [para interpretar los cielos] le permitió saber en pleno invierno que en el año siguiente habría una gran cosecha de aceitunas; como disponía de algo de dinero, depositó unas sumas reservándose el uso de todas las prensas de aceite de Quíos y de Mileto, que alquiló a bajo precio porque nadie pujó contra él. Cuando llegó la época de la cosecha y había mucha necesidad de utilizarlas todas, las alquiló al precio que quiso y reunió mucho dinero. De este modo demostró al mundo que los filósofos pueden hacerse ricos fácilmente si lo desean, pero que su ambición es de otro tipo.
Fue famoso también por su sabiduría política; animó con éxito a los milesios a que opusieran resistencia a la asimilación por el reino de Creso, rey de Lidia, y propuso sin éxito una federación de todos los estados insulares de Jonia para que se opusieran a los lidios.
Anaximandro de Mileto, que era amigo y colega de Tales, fue una de las primeras personas de quien sabemos que llevó a cabo un experimento. Examinando la sombra móvil proyectada por un palo vertical determinó con precisión la longitud del año y de las estaciones. Los hombres habían utilizado durante eras los palos para golpearse y lancearse entre sí. Anaximandro los utilizó para medir el tiempo. Fue la primera persona en Grecia que construyó un reloj de sol, un mapa del mundo conocido y un globo celeste que mostraba las formas de las constelaciones. Creía que el Sol, la Luna y las estrellas estaban constituidas por el fuego que se veía a través de agujeros en movimiento en la cúpula del cielo, idea probablemente mucho más antigua. Sostuvo la idea notable de que la Tierra no está suspendida de los cielos o sostenida por ellos, sino que se mantiene a sí misma en el centro del universo; puesto que equidistaba de todos los puntos de la esfera celeste, no había ninguna fuerza que pudiese desplazarla.
Afirmaba que al nacer estamos tan desvalidos, que si los primeros niños hubiesen quedado abandonados y solos en el mundo habrían muerto inmediatamente. Anaximandro dedujo de esto que los seres humanos procedían de otros animales cuyos hijos nacen más resistentes: Propuso el origen espontáneo de la vida en el barro, siendo los primeros animales peces cubiertos de espinas. Algunos descendientes de estos peces abandonaron luego el agua y se adentraron en tierra firme, donde evolucionaron dando otros animales mediante transmutaciones de una forma a otra. Creía en un número infinito de mundos, todos habitados, y todos sujetos a ciclos de disolución y de regeneración. Y san Agustín se queja tristemente de que ni él ni Tales atribuyeron la causa de toda esta incesante actividad a una mente divina.
En el año 540 a. de C., más o menos, llegó al poder en la isla de Samos un tirano llamado Polícrates. Parece que empezó su carrera como proveedor de comida y que luego pasó a la piratería internacional. Polícrates fue un mecenas generoso de las artes, las ciencias y la ingeniería. Pero oprimió a su pueblo; hizo la guerra a sus vecinos y tenía fundados motivos para temer una invasión. Por consiguiente rodeó su capital con una gran muralla, de unos seis kilómetros de largo, cuyos restos se conservan todavía. Ordenó la construcción de un gran túnel que llevara agua de una fuente distante a través de las fortificaciones. Tiene un kilómetro de longitud y atraviesa una montaña. Se hicieron dos catas a ambos lados que coincidieron casi a la perfección en el centro. El proyecto tardó unos quince años en ser completado, y quedó como testamento de la ingeniería civil de la época y como indicación de la extraordinaria capacidad práctica de los jonios. Pero hay otro aspecto más siniestro de esta empresa: lo construyeron en parte esclavos encadenados, muchos capturados por los buques piratas de Polícrates.
Esta fue la época de Teodoro, el ingeniero maestro de la época, a quien los griegos atribuyen la invención de la llave, de la regla, de la escuadra, del nivel, del torno, de la fundición de bronce y de la calefacción central. ¿Por qué no hay monumentos dedicados a este hombre? Quienes soñaban y especulaban con las leyes de la naturaleza también conversaban con los tecnólogos y los ingenieros. A menudo eran las mismas personas. Los teóricos y los prácticos eran unos.
Hacia la misma época, en la isla próxima de Cos, Hipócrates estaba fundando su famosa tradición médica, apenas recordada hoy en día por el juramento hipocrático. Fue una escuela de medicina práctica y eficiente, basada, según insistió Hipócrates, en los equivalentes contemporáneos de la física y de la química.[45] Pero también tuvo su aspecto teórico. Hipócrates escribió en su obra Sobre la antigua medicina: Los hombres creen que la epilepsia es divina, simplemente porque no la entienden. Pero si llamaran divino a todo lo que no entienden, realmente las cosas divinas no tendrían fin.
Con el tiempo, la influencia jonia y el método experimental se extendió a la Grecia continental, a Italia, a Sicilia. Era una época en la que apenas nadie creía en el aire. Se conocía desde luego la respiración, y se creía que el viento era el aliento de los dioses. Pero la idea de aire como una sustancia estática, material, pero invisible, no existía. El primer experimento documentado con aire fue realizado por un médico[46] llamado Empédocles, que floreció hacia el 450 a. de C. Algunas historias dicen que se calificó a sí mismo de dios. Pero quizás fue su inteligencia lo que le hizo pasar ante los otros por un dios. Creía que la luz se desplaza a gran velocidad pero no a una velocidad infinita. Enseñó que en otras épocas había habido una variedad mucho mayor de seres vivientes en la Tierra, pero que muchas razas de seres debieron haber sido incapaces de generar y continuar su especie. Porque en el caso de todas las especies existentes, la inteligencia o el valor o la rapidez los han protegido y preservado desde los inicios de su existencia. Empédocles, como Anaximandro y Demócrito (ver a continuación), al intentar explicar de este modo la hermosa adaptación de los organismos a sus medios ambientes, se anticipó en ciertos aspectos a la gran idea de Darwin de la evolución por selección natural.
Empédocles llevó a cabo su experimento con un cacharro doméstico que la gente había estado utilizando desde hacía siglos, la llamada
clepsidra o ladrón de agua, que servía de cucharón de cocina. Se trata de una esfera de cobre con un cuello abierto y pequeños agujeros en el fondo que se llena sumergiéndola en el agua. Si se saca del agua con el cuello sin tapar el agua se sale por los agujeros formando una pequeña ducha. Pero si se saca correctamente, tapando con el pulgar el cuello, el agua queda retenida dentro de la esfera hasta que uno levanta el dedo. Si uno trata de llenarlo con el cuello tapado el agua no entra. Ha de haber alguna sustancia material que impida el paso del agua. No podemos ver esta sustancia. ¿De qué se trata? Empédocles afirmó que sólo podía ser aire. Una cosa que somos incapaces de ver puede ejercer una presión, puede frustrar mi deseo de llenar el cacharro con agua si dejo tontamente el dedo sobre el cuello. Empédocles había descubierto lo invisible. Pensó que el aire tenía que ser materia tan finamente dividida que era imposible verla.
Se dice que Empédocles murió en un ataque apoteósico arrojándose a la lava ardiente de la caldera de la cima del gran volcán Etna. Pero yo pienso a veces que debió resbalar durante una expedición audaz y pionera propia de la geofísica observacional.
Estos indicios, este soplo sobre la existencia de los átomos, fue explotado mucho más a fondo por un hombre llamado Demócrito, procedente de la lejana colonia jónica de Abdera en el norte de Grecia. Abdera era una especie de ciudad chiste. Si en el año 430 a. de C. uno contaba una historia sobre alguien de Abdera las carcajadas estaban aseguradas. Era en cierto modo el Brooklyn de la época. Demócrito creía que había que disfrutar y comprender todo lo de la vida; comprender y disfrutar eran una misma cosa. Dijo que una vida sin regocijo es un largo camino sin una posada.
Demócrito podía haber nacido en Abdera, pero no era tonto. Creía que se habían formado espontáneamente a partir de la materia difusa del espacio un gran número de mundos, para evolucionar y más tarde decaer. En una época en la que nadie sabía de la existencia de cráteres de impacto, Demócrito pensó que los mundos a veces entran en colisión; creyó que algunos mundos erraban solos por la oscuridad del espacio, mientras que otros iban acompañados por varios soles y lunas; que algunos mundos estaban habitados, mientras que otros no tenían ni plantas ni animales ni agua; que las formas más simples de vida nacieron de una especie de cieno primordial. Enseñó que la percepción —la razón por la cual pienso, por ejemplo, que tengo una pluma en la mano— era un proceso puramente físico y mecanicista; que el pensamiento y la sensación eran atributos de la materia reunida de un modo suficientemente fino y complejo, y no de algún espíritu infundido por los dioses en la materia.
Un reciente billete griego de 100 dracmas con un átomo simbólico (litio), un retrato de Demócrito, y un moderno instituto griego de investigación nuclear que lleva el nombre de Demócrito.
Demócrito inventó la palabra
átomo, que en griego significa que no puede cortarse. Los átomos eran las partículas últimas, que frustraban indefinidamente nuestros intentos por reducirlas a piezas más pequeñas. Dijo que todo está hecho de una reunión de átomos, juntados intrincadamente. Incluso nosotros. Nada existe —dijo—, aparte de átomos y el vacío.
Cuando cortamos una manzana, el cuchillo ha de pasar a través de espacios vacíos entre los átomos, afirmaba Demócrito. Si no hubiese estos espacios vacíos, este vacío, el cuchillo toparía con los átomos impenetrables y no podríamos cortar la manzana. Cortemos por ejemplo una tajada de un cono y comparemos las secciones de las dos piezas. ¿Son las áreas que han quedado al descubierto iguales? No, afirmaba Demócrito. La inclinación del cono obliga a que una cara del corte tenga una sección ligeramente más pequeña que la otra. Si las dos áreas fueran exactamente iguales tendríamos un cilindro, no un cono. Por afilado que esté el cuchillo, las dos piezas tienen secciones de corte desiguales: ¿Por qué? Porque a la escala de lo muy pequeño, la materia presenta una granulosidad determinada e irreductible. Demócrito identificó esta escala fina de granulosidad con el mundo de los átomos. Sus argumentos no eran los que utilizamos actualmente, pero eran sutiles y elegantes, derivados de la vida diaria. Y sus conclusiones eran fundamentalmente correctas.
Demócrito, en un ejercicio parecido, imaginó el cálculo del volumen de un cono o de una pirámide mediante un número muy grande de placas muy finas una encima de la otra, y cuyo tamaño disminuía de la base hasta el vértice. De este modo formulaba el problema que en matemáticas se denomina teoría de los límites. Estaba llamando a la puerta del cálculo diferencial e integral, la herramienta fundamental para comprender el mundo y que según los documentos escritos de que disponemos no se descubrió hasta la época de Isaac Newton. Quizás si la obra de Demócrito no hubiese quedado casi totalmente destruida, hubiese existido el cálculo diferencial hacia la época de Cristo.[47]
Thomás Wright se maravillaba en 1750 de que Demócrito hubiese creído que la Vía Láctea está compuesta principalmente por estrellas sin resolver: Mucho antes de que la astronomía hubiese sacado beneficio de las ciencias ópticas mejoradas, él vio por así decirlo con los ojos de la razón, penetrando en el infinito tan lejos como hicieron luego los astrónomos más capaces en tiempos más ventajosos. La mente de Demócrito se elevó hacia lo alto dejando atrás la Leche de Hera y el Espinazo de la Noche.
Parece ser que Demócrito fue personalmente algo raro. Las mujeres, los niños y el sexo le desconcertaban, en parte porque quitaban tiempo para pensar. Pero valoraba la amistad, consideró el buen humor como el objetivo de la vida y dedicó una importante investigación filosófica al origen y naturaleza del entusiasmo. Viajó hasta Atenas para visitar a Sócrates y descubrió entonces que era demasiado tímido para presentarse. Fue amigo íntimo de Hipócrates. La belleza y elegancia del mundo físico le inspiraban reverencia. Creía que la pobreza en una democracia era preferible a la riqueza en una tiranía. Creía que las religiones dominantes en su época eran malas y que no existían ni almas inmortales ni dioses inmortales: «Nada existe, aparte de átomos y el vacío».
No hay noticia de que Demócrito fuera perseguido por sus opiniones; pero en definitiva procedía de Abdera. Sin embargo, la breve tradición de tolerancia ante las ideas no convencionales empezó a erosionarse en su época y luego a hundirse. Se llegó a castigar a las personas que tenían ideas insólitas. En los billetes griegos actuales de cien dracmas hay un retrato de Demócrito. Pero sus ideas fueron suprimidas, y se consiguió rebajar fuertemente el nivel de su influencia sobre la historia. Los místicos empezaron a ganar la partida.
Anaxágoras fue un experimentalista jónico que floreció hacia el 450 a. de C. y que vivió en Atenas. Era un hombre rico, indiferente ante su riqueza y apasionado por la ciencia. Cuando le preguntaron cuál era el objetivo de su vida contestó: la investigación del Sol, de la Luna y de los cielos, respuesta digna de un astrónomo auténtico. Llevó a cabo un inteligente experimento en el que una sola gota de líquido blanco, como crema, no pudo aclarar de modo perceptible el contenido de un gran jarro de líquido oscuro, como vino. Dedujo de ello que había cambios deducibles por experimento pero demasiado sutiles para ser percibidos directamente por los sentidos.
Anaxágoras no era tan radical como Demócrito, ni mucho menos. Ambos eran completos materialistas, en el sentido no de valorar las posesiones, sino de creer que la materia proporcionaba por sí sola el sostén del mundo. Anaxágoras creía en una sustancia mental especial, y negaba la existencia de átomos. Creía que los hombres somos más inteligentes que los demás animales a causa de nuestras manos, idea esta muy jónica.
Fue la primera persona que afirmó claramente que la Luna brilla con luz reflejada, y en consecuencia ideó una teoría de las fases de la Luna. Esta doctrina era tan peligrosa que el manuscrito que la contenía tuvo que circular en secreto, como un
samizdat ateniense. No iba de acuerdo con los prejuicios de la época explicar las fases o eclipses de la Luna por la geometría relativa de la Tierra, la Luna y el brillo propio del Sol. Aristóteles, dos generaciones más tarde, se contentó afanando que estas cosas se debían a que la naturaleza de la Luna consistía en tener fases y eclipses: un simple juego de palabras, una explicación que no explica nada.
La creencia dominante era que el Sol y la Luna eran dioses. Anaxágoras afirmaba que el Sol y las estrellas eran piedras ardientes. No sentimos el calor de las estrellas porque están demasiado lejos. También creía que la Luna tenía montañas (cierto) y habitantes (falso). Sostenía que el Sol era tan grande que probablemente superaba en tamaño al Peloponeso, aproximadamente la tercera parte meridional de Grecia. Sus críticos consideraron esta evaluación excesiva y absurda.
Anaxágoras fue llevado a Atenas por Pericles, su dirigente, en la época de mayor gloria, pero también el hombre cuyas acciones provocaron la guerra del Peloponeso, que destruyó la democracia ateniense. A Pericles le encantaban la filosofía y la ciencia, y Anaxágoras fue uno de sus principales confidentes. Algunos piensan que Anaxágoras contribuyó de modo significativo con este papel a la grandeza de Atenas. Pero Pericles tenía problemas políticos. Era demasiado poderoso para que lo atacaran directamente y sus enemigos atacaban a las personas próximas a él. Anaxágoras fue condenado y encarcelado por el crimen religioso de impiedad: porque había enseñado que la Luna estaba constituida por materia ordinaria, que era un lugar, y que el Sol era una piedra al rojo en el cielo. El obispo John Wilkins comentó en 1638 refiriéndose a estos atenienses: «Estos idólatras celosos [consideraban] que era una gran blasfemia que su Dios fuera una piedra, y sin embargo, tenían tan poco sentido en su adoración de los ídolos que convertían a una piedra en su Dios». Parece ser que Pericles organizó la salida de Anaxágoras de la prisión, pero ya era demasiado tarde. En Grecia la corriente había cambiado de dirección, aunque la tradición jónica continuara luego en Alejandría, Egipto, doscientos años más tarde.
En los libros de historia de la filosofía se suele calificar «presocráticos» a los grandes científicos, desde Tales hasta Demócrito y Anaxágoras, como si su misión principal hubiese consistido en ocupar la fortaleza filosófica hasta la llegada de Sócrates, Platón y Aristóteles, y quizás influir algo sobre ellos. De hecho los antiguos jonios representan una tradición diferente y muy contrapuesta, una tradición que está más de acuerdo con la ciencia moderna. Su influencia se ejerció de modo intenso solamente durante dos o tres siglos, y esto fue una pérdida irreparable para todos los hombres que vivieron entre el Despertar jonio y el Renacimiento italiano.
Quizás la persona más influyente relacionada con Samos fue Pitágoras,[48] un contemporáneo de Polícrates en el siglo sexto a. de C. Según la tradición local vivió durante un tiempo en una cueva en el monte Kerkis de Samos, y fue la primera persona en la historia del mundo que dedujo que la Tierra es una esfera. Quizás lo afirmó por analogía con la Luna o con el Sol, o quizás observó la sombra curva de la Tierra sobre la Luna durante un eclipse lunar, o quizás reconoció que cuando los buques partían de Samos y retrocedían más allá del horizonte, lo último que desaparecía eran sus mástiles.
Antigua moneda de Samos del siglo tercero a. de C. con una representación de Pitágoras y la leyenda griega «Pitágoras de Samos». (Reproducido por cortesía de los administradores del Museo Británico).
Él o sus discípulos descubrieron el teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los lados más cortos de un triángulo recto es igual al cuadrado del lado más largo. Pitágoras no se limitó a enumerar ejemplos de este teorema; desarrolló un método de deducción matemática para demostrarlo de modo general. La moderna tradición de la argumentación matemática, esencial para toda la ciencia, le debe mucho a Pitágoras. Fue el primero en utilizar la palabra Cosmos para indicar un universo bien ordenado y armonioso, un mundo capaz de ser entendido por el hombre.
Muchos jonios creían que la armonía subyacente del universo era accesible a la observación y al experimento, método este que domina la ciencia actual. Sin embargo, Pitágoras empleó un método muy distinto. Enseñó que las leyes de la naturaleza podían deducirse por el puro pensamiento. El y sus seguidores no fueron fundamentalmente experimentalistas.[49] Eran matemáticos. Y eran místicos convencidos. Según dice Bertrand Russell en un pasaje quizás poco caritativo, Pitágoras «fundó una religión, los principios más importantes de la cual eran la transmigración de las almas y lo pecaminoso que es comer judías. Su religión estaba encarnada en una orden religiosa, que en algunas ocasiones consiguió el control del Estado y fundó un gobierno de santos. Pero quienes no querían regenerarse anhelaban las judías y más tarde o más temprano se rebelaron».
Los pitagóricos se deleitaban con la certeza de la demostración matemática, la sensación de un mundo puro e incontaminado accesible al intelecto humano, un Cosmos en el cual los lados de triángulos rectángulos obedecen de modo perfecto a relaciones matemáticas simples. Esto contrastaba de modo acentuado con la desordenada realidad del mundo de cada día. Creían haber vislumbrado en sus matemáticas una realidad perfecta, un reino de los dioses, del cual nuestro mundo familiar es sólo un reflejo imperfecto. En la famosa parábola de la caverna Platón imaginó unos prisioneros amarrados que sólo veían las sombras de los pasantes y que creían que estas sombras eran reales, sin llegar nunca a suponer la compleja realidad que descubrirían con sólo girar la cabeza. Los pitagóricos iban a influir intensamente a Platón y más tarde a la cristiandad.
Ellos no defendían la libre confrontación de puntos de vista contrarios, sino que al igual que todas las religiones ortodoxas practicaban una rigidez que les impedía corregir sus errores. Cicerón escribió:
En la discusión lo que debe exigirse no es tanto el peso de la autoridad como la fuerza de los argumentos. De hecho, la autoridad de quienes profesan la enseñanza es a menudo un obstáculo positivo para quienes desean aprender; para saldar la cuestión, dejan de utilizar su propio juicio y aceptan lo que consideran como el veredicto del maestro escogido. En realidad no me siento en disposición de aceptar la práctica atribuida tradicionalmente a los pitagóricos, quienes preguntados sobre los fundamentos de cualquier afirmación que hacían en un debate se dice que solían responder: «El Maestro lo dijo», donde «el Maestro es Pitágoras». Tan poderosa era una opinión ya decidida, que hacía prevalecer una autoridad carente del apoyo de la razón.
Los pitagóricos estaban fascinados por los sólidos regulares, objetos tridimensionales simétricos con caras que son todas un solo polígono regular. El cubo es el ejemplo más sencillo, porque tiene por lados a seis cuadrados. Hay un número infinito de polígonos regulares, pero sólo hay cinco sólidos regulares. (La demostración de esta afirmación, que constituye un ejemplo famoso de razonamiento matemático, se da en el apéndice l.) Resulta que por algún motivo el conocimiento de un sólido llamado dodecaedro, que tiene por lados a doce pentágonos, pareció peligroso a los pitagóricos. El sólido estaba relacionado místicamente con el Cosmos. Los cuatro sólidos regulares restantes fueron identificados de algún modo con los cuatro «elementos» que en aquel entonces se suponía que constituían el mundo: tierra, fuego, aire y agua. Pensaron pues que el quinto sólido regular sólo podía corresponder a la sustancia de los cuerpos celestiales (este concepto de una quinta esencia ha dado origen a la palabra quintaesencia). Había que ocultar a las personas vulgares la existencia del dodecaedro.
Los pitagóricos, enamorados de los números enteros, creyeron que todas las cosas podían derivarse de ellos, empezando por todos los demás números. Se produjo una crisis en esta doctrina cuando descubrieron que la raíz cuadrada de dos (la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado) era irracional, es decir que √2 no puede expresarse de modo preciso como la razón de dos números enteros determinados, por grandes que fueran estos números. Este descubrimiento (reproducido en el apéndice 1) se llevó a cabo utilizando irónicamente como herramienta el teorema de Pitágoras. Irracional significaba en principio que un número no podía expresarse como una razón. Pero para los pitagóricos llegó a suponer algo amenazador, un indicio de que su concepción del mundo podía carecer de sentido, lo cual es el otro sentido que tiene hoy la palabra irracional. En vez de compartir estos importantes descubrimientos matemáticos, los pitagóricos callaron el conocimiento de √2 y del dodecaedro. El mundo exterior no tenía que saber nada de esto.[50] Todavía hoy hay científicos opuestos a la popularización de la ciencia; creen que hay que reservar el conocimiento sagrado para los cultos, sin dejar que lo mancille la comprensión del público.
Los pitagóricos creyeron que la esfera era perfecta, porque todos los puntos de su superficie están a la misma distancia del centro. Los círculos también eran perfectos. Y los pitagóricos insistieron en que los planetas se movían siguiendo caminos circulares a velocidades constantes. Al parecer creían que no era muy decoroso que un Planeta se moviera más lento o más rápido en puntos diferentes de la órbita; el movimiento no circular era en cierto modo un movimiento defectuoso, impropio de los planetas, los cuales por ser libres con respecto a la Tierra se consideraban «perfectos».