Цифры числа π и количество соударений тел
Даны два блока массами 1 кг и 10²ⁿ кг. Они находятся на поверхности без трения, справа от неподвижной стены. Удары абсолютно упругие (потерь энергии нет). Более массивный блок ударяет менее массивный, и тот отскакивает от него, а потом от стенки слева. Справа стены нет, тела могут двигаться в бесконечность.
Вопрос: сколько столкновений совершит маленький блок, пока система не придёт в состояние, когда столкновения невозможны (скорость маленького тела меньше скорости большого, двигающегося в бесконечность)?
Ответ на этот вопрос совершенно неожиданный.
В случае, когда массы блоков равны, мы насчитаем 3 столкновения:
Если второй блок весит 100 кг, то мы насчитаем 31 столкновение:
При соотношении масс 10 000 к 1 ситуация разрешится после 314 столкновений:
Если увеличивать массу второго блока каждый раз в 100 раз, то будем наблюдать шокирующую картину: количество столкновений будет каждый раз добавлять новую цифру к десятичной записи числа π.
Так, если масса второго блока равна 10¹⁰, то мы получим 314159 столкновений:
Эта закономерность была обнаружена Григорием Гальпериным в 1993 г. В 2003 году он объяснил её, визуализируя движения блоков через движущуюся точку, координаты которой по х обозначают местоположение одного блока, а по у – второго. Траектория движения точки по плоскости связана с полукругом, откуда и появляется π.
Изящное объяснение этого результата дано в трёх видео 3Blue1Brown. Перескажем его основную идею.
Механическая система описывается двумя законами сохранения: энергии и импульса. Фазовое пространство для энергии системы представляет собой эллипс, но его можно откалибровать корнем из соотношения масс:
Радиус окружности показывает энергию в системе — она всегда постоянная.
При столкновении двух блоков происходит перераспределение импульса и энергии:
Закон сохранения импульса задаёт угол наклона:
При ударе об стену (объект бесконечной массы) скорость блока меняется на противоположную. Фазовая диаграмма кодирует состояние системы:
Столкновения делят окружность на равные дуги.
Сколько всего таких дуг будет на окружности? Вся окружность составляет 2π, а дуга определяется половиной угла, который равен соотношению корней из масс блоков (чем больше это отношение — тем меньше угол). Порядок отношения масс и определяет «точность» π: 3, 31, 314, ...
Имеется альтернативный способ введения фазового (конфигурационного) пространства: будем откладывать по осям координат не скорости движения блоков, а расстояния от центра масс до стенки.
В этих координатах фазовая траектория представляет собой ломаную линию, вершины которой лежат на сторонах угла, а соседние звенья образуют равные углы со стороной угла — по закону отражения света: "угол падения равен углу отражения".
Возникает естественное желание, воспользовавшись оптической аналогией", "развернуть" наши углы в виде "веера", так чтобы " луч света" двигался по прямой — пусть не луч отражается, а мир:
Теперь вопрос о подсчёте соударений — отражений луча относительно его зеркальных сторон угла — подменяется вопросом о количестве кусков прозрачного стекла, которые пересечёт наш иллюзорный луч — во сколько отражённых копий мира он перейдёт. Ответ таков: сколько раз нужно взять наш угол, чтобы получить больше половины круга, т.е. как получить число, превышающее π радиан.