Центральное Проектирование Реферат
Центральное Проектирование Реферат
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.011 сек.
Центральное проектирование – преобразование пространства.
Для задания проективного пространства необходимо знать центр и плоскость, на которую производится проекция. При центральном проектировании сохраняется свойство инцидентности (принадлежности одной прямой или кривой второго порядка). Это свойство называется проективным.
Свойства центрального проектирования:
2) сохраняется отношение инцидентности;
3) кривая второго порядка переходит в кривую;
4) плоскость переходит в плоскость;
5) при определённом выборе центра проектирования внутренняя точка фигуры может переходить во внешнюю, то есть не выполняется отношение трёх точек;
6) если точка удалена в бесконечность, то появляется параллельное проектирование, которое позволяет сохранить отношение трёх точек.
Проективная геометрия - раздел геометрии, изучающий только те свойства плоских фигур, которые сохраняются при любой цепи центральных проектирований. Такие свойства называются проективными. Фигура и её проекция геометрически тождественны.
Определение 1.1. Собственные точки – обычные точки, несобственные точки – бесконечно удалённые точки.
Взаимное расположение собственных и несобственных элементов определяется следующими утверждениями:
1) каждая прямая имеет одну несобственную точку;
2) несобственная точка прямой принадлежит любой плоскости, проходящей через эту прямую;
3) всякие две параллельные прямые имеют общую несобственную точку;
4) всякие две непараллельные прямые имеют различные несобственные точки;
5) совокупность всех несобственных точек плоскости есть несобственная прямая этой плоскости;
6) всякие две параллельные плоскости пересекаются по несобственной прямой;
7) совокупность всех несобственных точек пространства есть несобственная плоскость.
Определение 1.2. Расширенная прямая – это евклидова прямая, дополненная несобственной точкой (М ∞ ).
Если рассмотреть некоторую несобственную прямую R 1 || m, S є m. Т.к. точка S – центр пучка прямых, то можно сказать, что прямая m является образом точки М ∞ , если установить некоторое отображение прямой в пучок S . Каждой точке прямой R / ставится в соответствие некоторая прямая пучка S , т.е. A→SA, B→SB, C →SC, М ∞ →m
Определение 1.3 . Расширенная плоскость – это евклидова плоскость, дополненная несобственными точками.
Определение 1.4. Расширенное пространство – это евклидово пространство, дополненное несобственной плоскостью.
Свойство 1. На каждой собственной прямой евклидовой плоскости имеется несобственная точка, и притом только одна.
Свойство 2 . Параллельные прямые евклидовой плоскости пересекаются в несобственной точке. Параллельные прямые образуют пучок с центром в несобственной точке.
Определение 1.5. Проективной прямой называется непустое множество проективных точек, которые получаются в результате отображения π двумерного векторного пространства без нуля в пространство Р 1 , удовлетворяющего условиям:
1) π(х)=π(у) ó когда х=λу, где λєR, λ≠0;
2) π – сюръекция, т.е. каждой точке из Р 1 соответствует хотя бы одно преобразование из векторного пространства.
Модель 1 проективной прямой: Проективную прямую рассматривают как пучок прямых двумерного векторного пространства, который отображается в прямую Р 1 , причем прямой пучка соответствует точка, а плоскости - прямая.
Модель 2 проективной прямой: Проективную прямую можно рассматривать как окружность, если под точкой будем понимать две диаметрально противоположные точки данной окружности.
Определение 1.6. Проективной плоскостью называется непустое множество проективных точек, которые получены с помощью некоторого преобразования π: трёхмерного векторного пространства без нуля в плоскость P 2 , удовлетворяющего условиям:
1) π(х)=π(у) ó когда х=λу, где λєR, λ≠0;
2) π – сюръекция, т.е. каждой точке из Р 2 соответствует хотя бы одно преобразование из векторного пространства.
Модель 1 проективной плоскости: Проективную плоскость рассматривают как связку прямых и плоскостей трёхмерного векторного пространства, которая отображается в плоскость Р 2 , причём прямой связки соответствует точка, а плоскости – прямая.
Модель 2 проективной плоскости: Проективную плоскость можно рассматривать как сферу, если под точкой будем понимать две диаметрально противоположные точки данной сферы, а под прямой – множество пар диаметрально противоположных точек, лежащих на окружности большого круга.
Определение 1.7. Проективным пространством – называется непустое множество проективных точек, которые получаются с помощью отображения π четырёхмерного векторного пространства без нуля в пространство Р 3 , удовлетворяющего условиям проективной плоскости.
Для любого числа измерений можно определить пространство любой размерности.
Свойства проективной плоскости, прямой пространства:
1) в отличие от евклидовой прямой проективная прямая есть замкнутая линия, т.к. нет точного расположения несобственной точки, и поэтому предполагается, что она замыкается в этой несобственной точке;
2) точка проективной прямой не разбивает её на две полупрямые;
3) две точки прямой разбивают её на два смежных класса;
4) на проективной прямой не имеет смысла понятие ,,лежать между”(как бы не были расположены точки А,В,С всегда найдется один из смежных отрезков по которому можно достичь точки В , выходя из точки А минуя точку С );
5) порядок точек на проективной прямой определяется понятием разделённости: если точки С и D принадлежат смежным классам, то говорят, что они разделяют пару АВ (АВ÷СD);
6) чтобы задать направление прямой необходимо указать три её точки;
7) две прямые одного пучка проективной плоскости разбивают остальные прямые этого пучка на два класса: каждый класс заполняет пары вертикальных углов. Разделённые пары прямых проектируются в разделённые пары точек;
8) проективная плоскость не разбивает проективное пространство на два полупространства и поэтому является односторонней поверхностью;
9) всякие две прямые разбивают проективную плоскость на две смежные области;
10) в проективной геометрии не работает понятие “лежать по одну сторону”.
Дата добавления: 2016-06-15 ; просмотров: 3704 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Центральное проектирование . Свойство взаимного расположения точек...
§ 4. Параллельное и центральное проектирования / Геометрия 10-11 классы
Центральное проектирование — Студопедия
Параллельное и центральное проектирование • Математика, Стереометрия
Центральное проектирование
Курсовая Работа На Тему Финансы
Китай Реферат
Современный Рынок И Логистика Курсовая Работа
Организация Работы На Контрольно Кассовых Машинах Ккм
Общая И Специальная Подготовка Спортсмена Реферат