Урок 3. Что такое вероятность?

«Генерация случайных чисел слишком важна, чтобы оставлять её на волю случая» Роберт Ковью

Тифиус задумчиво крутил в руках стакан в котором явно что-то постукивало.

Для того чтобы сделать шаг вперёд, иногда важно сделать шаг назад. Поэтому ответим на вопрос, который мы мимоходом проскочили на прошлых занятиях. Что такое вероятность?

Я кидаю кубик и накрываю его непрозрачным стаканом. Какова вероятность выпадения шестёрки? Любому, кто захочет пошутить про 50% (либо выпала, либо нет) я сходу предлагаю сыграть в игру. Я плачу вам золотую монету, если шестёрка выпала, а вы платите если не выпала. Игра ДОЛЖНА казаться вам честной, если в шутке про 50% вы видите «долю правды». Желающих не нашлось? Ну слава богам вероятности.

Итак, вероятность выпадения шестёрки — одна шестая. Но что это собственно значит?

Некоторые утверждают, что кубик содержит маленького лепрекона который заставляет кубик вести себя именно таким образом. Но, к сожалению, мы никак не можем подтвердить или опровергнуть его существование. Утверждение о вероятности проверить возможно (не абсолютно, но к этому мы вернёмся позже), а вот утверждение о том, что его определяет какая-то нечисть никак не получится. Такие уж свойства у лепрекона. 

Не менее популярной является попытка приплести к макрообъекту полутруп кота Шрёдингера. Однако от этого все почившие квантовые физики дружно меняют спин в своих усыпальницах. 

Есть взгляд получше, с которым многие знакомы. Мой бросок кубика похож на другие броски. Так вот, в других похожих бросках шестёрка выпадала примерно один раз из шести. Однако непонятно, что считать похожими событиями. Броски этого же кубика / броски похожих кубков в похожих ситуациях? Допустим мы договорились. Но как быть с уникальными событиями? Например, вероятность дождя завтра составляет 70%. Дождь однозначно либо пойдёт, либо нет. Мы же не имеем ввиду, что только 30% влаги не долетит до земли. Правда?

И это далеко не полный список вопросов, которые такой подход обрабатывает с помощью бесконечной конструкции из костылей. Если вы когда нибудь столкнётесь с выражениями вроде «кризис воспроизводимости» или «P-hacking», вспомните добрым словом данный подход. Я предложу кое что получше.

Кубик уже лежит какой-то гранью вверх. Но мы то с вами не знаем какой. Результат вполне определён. Но наши с вами убеждения о нём неопределённы. И они останутся таковыми, пока мы не заглянем под стакан (или не получим другое свидетельство). Вам эта ситуация ничего не напоминает?

Реальность вполне конкретна, и события о которых мы строим предположения происходят каким-то одним образом. Но наши убеждения о них не точны. Степень нашей неуверенности и есть вероятность. Она субъективна. Любое моё утверждение о том, какой стороной выпал кубик и с какой вероятностью - это факт обо мне, а не о кубике. 

Кубик уже выпал и я могу проверить результат (с этими словами Тифиус приподнял стакан, чтобы увидеть кубик, но не дать увидеть его никому другому). Моя неуверенность сильно изменилась, а ваша осталась прежней, ведь я получил сильное свидетельство в отличии от вас. Обратите внимание, у нас в головах разные вероятности. И эти вероятности существуют не в кубике. Он вовсе не хранит информацию о том, что думают о нём окружающие.

Но как пощупать эту степень неуверенности? Для этого вернёмся к шутке про то, что вероятность выпадения любой грани равна 50%, ведь оно или выпадет, или нет. У гномов поразительно хорошо работает интуиция когда дело доходит до золота. Мы можем это использовать: в любой непонятной ситуации делайте ставку. Я серьёзно.

Вы согласитесь поставить меньше чем одну монету против пяти на то, что выпала шестёрка. Так же вы согласитесь поставить меньше пяти монет против одной на то, что шестёрка не выпала. Цифры один и пять здесь фигурируют не просто так. Они называются ШАНСАМИ. Если очень просто, то шансы это соотношение ставок, при которых игра по вашему мнению будет «в ноль». Мнение в данном случае это и есть вероятность. Вероятность выпадения шестёрки на кубике равна 1/6 или 16,7%. А шансы: 1 к 5. 

В такой интерпретации очевидно, что при разных вероятностях, мы с вами будем делать разные ставки. Более того, если я сообщу достоверную информацию о том, что кубик не выпал единицей, вы в мгновение ока пересчитаете коэффициенты. Теперь шансы обнаружить под стаканом шестёрку: 1 к 4. Заметьте — с кубиком не произошло никаких изменений. Все изменения происходят только на ваших картах. 

На следующем занятии мы вернёмся к мешочкам с прошлого урока и посмотрим, что интересного можно понять с учётом такого представления о вероятностях.