Числовые множества. Иерархия чисел.

Очень часто в вступительных задачах, да и вообще в любых задачах даётся информация/характеристика о числе. Например, «Бла-бла-бла, где n принадлежит множеству натуральных чисел» Частенько вместо окончания фразы можно увидеть вот такую запись n ∈ ℕ. Она означает то же что и текст немного выше — число n принадлежит множеству натуральных чисел. Многие довольно часто не придают этому внимания, думая, что она не играет никакую важную роль и такое мнение является ошибочным. Как Вы уже могли догадаться, речь в этой статье пойдет о самых основных числовых множествах зная которые вы без труда разберетесь о каких числах идет речь в задаче. Готовы? Тогда погнали!

Основные числовые множества.

Числовых множеств не так уж и много. Первые числа, которыми люди начали пользоваться в доисторические ещё времена — это Натуральные числа, то есть целые и положительные числа: ℕ = {1, 2, 3, . . . }. Многоточие показывает возможность неограниченного продолжения этого ряда. В этом смысле говорят, что имеется бесконечное множество натуральных чисел. Натуральные числа (от лат. naturalis «естественный») образуют натуральный ряд. Это числа, применяемые для счёта предметов. Например, натуральные числа используются при нумерации товаров. Единица - наименьшее натуральное число. Наибольшего числа натуральный ряд не имеет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом ℕ.

Важно! Число нуль не является натуральным числом.

Целые числа (от нем. Zahlen — «числа») включают в себя все натуральные числа, а так же все целые и отрицательные числа и нуль, то есть: ℤ = {. . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 . . .}. Множество целых чисел обозначается символом ℤ.

Важно! Число нуль не является ни отрицательным, ни положительным числом.

Рациональные числа (от лат. quotient, «частное») - это числа представимые в виде дроби a/b, где числитель a - целое число, а знаменатель b - натуральное число: ℚ = {m/n | m ∈ ℤ, n ∈ ℕ}. Как не сложно догадаться, любое целое число является рациональным числом, например, достаточно разделить это число на единицу. Рациональные числа обозначаются символом ℚ. Примеры рациональных чисел: -1/3, 0.(9), 15/1, 18.99 и т.д.

Иррациональные числа - это числа обратные по смыслу рациональным числа, то есть, числа которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Примерами иррациональных чисел являются отношение длины окружности к диаметру круга, т.е. число π («пи»), √n для любого натурального n, не являющегося точным квадратом, ㏑x для любого положительного рационального x, основание натурального логарифма e, золотое сечение φ

Действительные числа (от лат. realis — действительный) - это множество чисел полученные путем объединения рациональных (ℚ) и иррациональных множеств (I): ℝ = ℚ ∪ I. Так же множество действительных чисел можно обозначить как ℝ = (-∞, +∞). Простыми словами - любое точка на координатной прямой является действительным числом.

Комплексные числа (от лат. complexus — сложный, связь, сочетание) - это числа вида z = a + bi, где a, b - действительные числа, а i - мнимая единица. Число a называется действительной частью, а число b называется мнимой частью комплексного числа z. a + bi - это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа можно переставлять как угодно, но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: a + bi. Комплексные числа принято обозначать символом ℂ.

В общем, вышеупомянутые множества можно изобразить следующим образом:

Для них справедливо следующее выражение: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ

Вот и всё!

Теперь Вы знаете самые необходимые числовые множества, которые могут встретиться в самых разных задачах. Конечно, это не все множества которые существует, есть еще множества выше этого, такие как кватернионы, октонионы, седенионы, но это уже выходит за рамки этого урока и этой информации достаточно для абитуриентов которые собираются поступать в ВУЗы.

Канал в телеграме - https://t.me/etopartamath

Дополнительные материалы:

• Термины на английском: https://telegra.ph/CHislovye-mnozhestva-Terminy-11-22
• *https://ru.wikipedia.org/wiki/Число