Численные методы вычисления интегралов - Математика реферат

Главная

Математика
Численные методы вычисления интегралов

Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Численные методы вычисления интегралов. Мет од Ньютона-Котеса. Метод Гаусса
1. Численные методы вычислени я интегралов. Постановка задачи
Решая физические задачи, часто приходится вычислять значения определённых интегралов от функций . Во многих случаях, в виду того, что подлежащий вычислению интеграл не выражается через элементарные функции, прибегают к приближённым численным методам.
Прежде всего, рассмотрим случай, когда - конечный интервал.
В таком случае, как известно, функция является ограниченной, т.е. . В этом случае наиболее часто применяемый численный метод интегрирования состоит в том, что интеграл от заменяется некоторой линейной комбинацией значений в точках :
Формула (1) называется квадратурной формулой, а коэффициенты - квадратурными коэффициентами или весами, абсциссы - узлами квадратурной формулы.
Методы численного интегрирования классифицируются в зависимости от того, заданы ли значения аргумента через равные промежутки или нет. Так методы Ньютона-Котеса требуют, чтобы значения были заданы с постоянным шагом, а методы Гаусса не налагают такого ограничения. Перейдём к рассмотрению этих методов.
Пусть различные точки отрезка , служащие узлами интерполяции для некоторой интерполирующей функцию функции . Тогда имеем:
где - остаточный член. Предположим, что
причём подобраны так, чтобы все интегралы
можно вычислить точно. Тогда мы получаем квадратурную формулу
Частным случаем методов Ньютона-Котеса является квадратурная формула трапеции. Подынтегральную функцию будем интерполировать по формуле Лагранжа, в том случае, когда на каждом отрезке деления принимается линейная интерполяция, а результаты суммируются (рис 1):
Определённый интеграл , как известно, задаёт площадь криволинейной трапеции , поэтому, вписав ломаную в дугу кривой , мы получаем, что площадь криволинейной трапеции можно приближённо вычислить как сумму площадей трапеций:
Так как, в методах Ньютона-Котеса, , учитывая (6) получаем:
или, соединяя подобные члены, имеем:
Формула (9) - называется формулой трапеций.
Выведем формулу трапеции аналитическим способом. Для этого используем интерполяционный многочлен Лагранжа для отрезка , построим многочлен первой степени, который на концах отрезка принимает заданные значения . Ясно, что в таком случае интерполирующая функция имеет вид:
т.к. в методе Ньютона-Котеса , учитывая (3) и (4), из (10) получаем:
тогда, используя свойство аддитивности оператора интегрирования, имеем:
где . Получили формулу (14) трапеций, которая естественно, совпадает с (9).
Рассмотрим метод Ньютона-Котеса (т.е. ), в случае интерполяции подинтегральной функции квадратичными функциями на каждом интервале деления. В данном случае мы имеем дело с параболическим интерполированием, поэтому на каждом интервале , необходимо знание значения функции в трёх точках (т.к. имеет 3 неизвестных параметра - коэффициенты ). В качестве третьей точки на каждом отрезке - выбирается середина этого отрезка, т.е. точка .
Вывод формулы Симпсона будем производить аналитически. Как и в предыдущем случае применяем интерполяционный многочлен Лагранжа, для интерполирования функции , на отрезке , при чём считаем, что нам известны значения . Тогда, очевидно, что многочлен Лагранжа имеет вид квадратичной функции:
Интегрируя (15) на отрезке будем иметь формулу:
используя свойство аддитивности интеграла, получаем:
где является четным числом (- число делений отрезка ,т.е. число равных отрезков разбиения).
Формула (17)-называется формулой Симпсона .
Приняв обозначения , получаем привычный вид квадратурных формул:
б) Формула парабол (Симпсона) (при )
Пусть промежуток интегрирования разбит на равных частей и для этого разбиения по формуле трапеции получено значение . Значение - совпадает со значением вычисляемого интеграла, если интегрируемая функция линейна, т.е. является многочленом первой степени. По формуле:
называемой формулой Ромберга , построим - схему:
Оказывается, что для интегрируемых по Риману функций, все столбцы и строки - схемы сходятся к исходному значению интеграла.
Пример : Выписать явные формулы для фрагмента - схемы:
Во всех приведенных до сих пор формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса и во всех формулах, получаемых методом Ромберга, используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса это уже не так. Иначе говоря, смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени. Можно показать, что при гауссовых узлах по полученной формуле можно точно интегрировать многочлены степени .
Для количества узлов и соответствующих значений и - составлены таблицы, которые позволяют вычислять интегралы по формуле (22).
Для понимания сути этих таблиц рассмотрим пример.
Пусть нам нужно составить квадратурную формулу с двумя узлами ,по которой точно интегрируются многочлены до степень включительно.
Решение: Искомая формула имеет вид:
где - остаток, который обращается в нуль, для
Отсюда, приравнивая коэффициенты при , справа и слева, получаем систему уравнений:
Следовательно, искомая квадратурная формула такова :
Ясно, что если нам нужно вычислить интеграл со многими узловыми точками, действуем следующим образом:
а) промежуток интегрирования делим на - равных промежутков и на каждом маленьком промежутке применяем формулу Гаусса с неравноотстоящими узлами (27);
б) полученные результаты складываем.
В случае, когда , оказывается, что узловыми точками при делении отрезка на - частей являются корни соответствующих многочленов Лежандра.
Для вычисления кратных интегралов, их сводят обычно к повторным интегралам, а далее применяют те же самые кубатурные формулы для каждого значения узловых точек, что и в одномерном случае. Однако, надо иметь в виду, что кратные интегралы значительно сложнее вычислять с заданной точностью.
Точность произведённых вычислений зависит от точности аппроксимации подынтегральной функции многочленами.
При численном интегрировании наряду с приближёнными формулами представляет также интерес нахождение нижних и верхних границ интегралов. Рассмотрим два метода оценки интегралов:
а) оценка интеграла в случае, когда подинтегральная функция , удовлетворяет условию:
где , . Не умоляя общность, будем считать, что , , тогда (Рис. 1) ясно, что
Площадь криволинейной трапеции заключена между площадями aMNb и aKEb, т.е.
Таким образом, для оценки интеграла в случае , имеем:
если же , неравенство (33) заменяется на обратное.
б) Другой принцип грубой, но зато общей оценки значения интеграла, основан на «монотонности» интеграла. При этом способе подынтегральную функцию приближают снизу и сверху интегрируемыми в замкнутом виде функциями и , т.е.
5. Вычисление интегралов методом Монте-Карло
Пусть нам нужно вычислить интеграл:
В случае, когда методы Ньютона-Котеса и Гаусса работают плохо, приходится обращаться к вероятностным методам случайного поиска. К таким методам относится метод Монте-Карло.
Для вычисления интеграла (36) методом Монте-Карло, заменим переменную интегрирования таким образом, чтобы пределы интегрирования отобразились соответственно в . Для этого нужно воспользоваться преобразованием:
Для вычисления же интеграла на имеем формулу:
где - случайные числа, равномерно распределённые на . Таким образом, по методу Монте-Карло, интеграл (36) считается по формуле:
где - равномерно распределённые случайные числа из промежутка .
Аналогично, для кратных интегралов. Получаем:
где - случайные точки, равномерно распределённые на квадрате (Здесь знак «» означает декартовое произведение).
В случае, когда область интегрирования является сложным множеством (рис. 6), пользуемся прямоугольником , который описывается вокруг множества . И интеграл по множеству заменяем интегралом по прямоугольнику , который уже умеем вычислять по формуле (41). Замена интеграла по множеству производится соотношением:
который легко рассчитывается по формуле (41).
Аналогично вычисляются и трёхкратные интегралы. Этот подход легко обобщается для n-кратных интегралов.
Р.В. Хемминг. Численные методы, Наука, М.,1998
Коллатц., Ю.Альбрехт. Задачи по прикладной математике. Мир, М.,1998.
Т.Шуп. Решение инженерных задач на ЭВМ. Мир, М., 1992.
К.Бреббия, Ж. Теллес, Л. Врубел.Методы граничных элементов. Мир, М.,1987.
И.С.Берехин., Н.П.Жидков. Методы вычислений, ч.1., М.,1982.
Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления "не берущихся" интегралов. курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019
Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad. курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013
Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников. курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010
Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования. контрольная работа [50,8 K], добавлен 06.03.2011
Обзор квадратурных формул Гаусса, их определение, интегральные конструкции, примеры, четко описывающие квадратуры Гаусса. Особенности использования некоторых алгоритмов, позволяющих отследить ход решений задач, использующих квадратурные формулы Гаусса. контрольная работа [309,6 K], добавлен 16.12.2015
Построение квадратурной формулы максимальной степени точности. Определение алгебраической степени точности указанной квадратурной формулы. Сравнительный анализ квадратурных формул средних прямоугольников и трапеций на примере вычисления интеграла. лабораторная работа [195,9 K], добавлен 21.12.2015
Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for. контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Численные методы вычисления интегралов реферат. Математика.
Эссе Брестская Крепость
Курсовая работа по теме Оценка результатов хозяйственно-финансовой деятельности ОАО 'Роснефть'
Реферат По Астрономии На Тему Далекие Планеты
Контрольная Работа По Алгебре 11 Класс Никольский
Реферат по теме Исламская политическая и правовая культура и проблемы региональной безопасности в странах Северной Африки и Ближнего Востока
Реферат На Тему Етносоціологія Та Соціологія Нації
Реферат: The Cuban Revolution Essay Research Paper The
Роль Дружбы В Жизни Человека Декабрьское Сочинение
Контрольная Работа На Тему Введение В Интернет. Доменные Имена
Доклад: Галаты, кельтоскифы, кимвры и народы "третьего мира"
Реферат по теме Тхеравада як різновид буддизму
Доклад: Княжевич, Кароль Отто
Курсовая работа по теме Отчет о проведении патентного исследования на определение уровня развития объекта техники 'Детское автомобильное кресло'
Реферат На Тему Анализ Развития Системы Безналичных Расчетов На Основе Банковских Пластиковых Карточек
Дипломная работа по теме Финансовая отчётность предприятия
Реферат: Математические игры для детей. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа по теме Природоохоронні території
Генная Инженерия Реферат По Химии
Дипломная работа по теме Система управления проектами как инструмент повышения эффективности деятельности предприятия (на примере ООО АН 'Династия')
Диссертации Онр
Анализ себестоимости продукции - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа
Юридическая ответственность субъектов образовательных отношений - Государство и право дипломная работа
Правосознание и правовая культура - Государство и право курсовая работа