Численные методы решения уравнений - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Численные методы решения уравнений

Решение нелинейных уравнений методом касательных (Ньютона), особенности и этапы данного процесса. Механизм интерполирования функции и численное интегрирование. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.


Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и алгебраические. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например, lg(x) или e x , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на аналитические и численные.
Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В численных методах задается процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Задача отыскания корней нелинейного уравнения f(x) = 0 считается решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности.
Для решения нелинейных уравнений известны следующие численные методы: метод половинного деления (метод дихотомии), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод секущих, метод простой итерации. Рассмотрим метод половинного деления.
Графическая интерпретация метода показана на рис.1.
Рисунок 1. Графическая интерпретация метода половинного деления
В этом методе отыскание корня уравнения f(x) = 0 проходит в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корень, т.е.выделить интервал на оси абсцисс, на котором функция f(x) меняет свой знак. Для отделения корня следует провести вычисление функции f(x) в точках, расположенных через равные интервалы по оси x, до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции f(x n ) и f(x n +1 ), имеющие противоположные знаки.
Пусть требуется определить значение интеграла функции на [a,b] отрезке. Этот отрезок делится точками x 0 , x 1 , …., x n -1 , x n на n равных отрезков длиной . Обозначим через y 0 , y 1 , …., y n -1 , y n значение функции f(x) в точках x 0 , x 1 , …., x n -1 , x n
Далее составляем суммы . Каждая из сумм -- интегральная сумма для f(x) на [a,b] и поэтому приближённо выражает интеграл.
Если заданная функция -- положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула
выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок [a,b], тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.
Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность, если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:
Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объёме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников.
Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.
Площадь трапеции на каждом отрезке:
Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:
Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:
Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем
Это более совершенный способ - график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков - столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона - самая популярное задание на практике.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл.
Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: (24)
где: - длина каждого из маленьких отрезков или шаг ;
f(x i ) - значения подынтегральной функции в точках x 0 ,x 1 ,x 2 ,x 3 ,…,x 2 n -2 ,x 2 n -1 ,x 2 n .
Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
- сумма членов, с чётными индексами умножаемая на 2.
- сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.
На основании полученных данных строим график (рисунок 2), который показывает погрешность:
Рисунок 2 - График подынтегральной функции приближенный к самой функции.
Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом: , где x - независимая переменная, y i - i-ая производная от искомой функции. n - порядок уравнения. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных c 1 ,.., c n ,т.е. общее решение имеет вид y=ц(x, c 1 , …, c n ).
Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.
Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.
Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.
Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка на отрезке [x 0 , x n ] при условии y(x 0 )=y 0 .
При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки xi=x0+ih, (i=0,1,…,n) промежутка [x 0 , x n ].
Т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.
Интегрируя уравнение на отрезке [x i ,x i +1 ]получим
Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой-либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка
Пользуясь тем, что в точке x 0 известно решение y(x 0 ) = y 0 и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y=y(x)

При достаточно малом шаге h ордината , этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x 1 ) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка (x1,y1) пересечения касательной с прямой x = x 1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к y=y(x) в точке (x1, y(x1)). Подставляя сюда x2=x1+h (т.е. пересечение с прямой x = x 2 ), получим приближенное значение y(x) в точке x 2 : , и т.д. В итоге для i-й точки получим формулу Эйлера.
Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации. Если использовать формулу правых прямоугольников:
Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.
Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.
Модифицированный метод Эйлера : в данном методе вычисление y i +1 состоит из двух этапов:
Данная схема называется еще методом предиктор - корректор (предсказывающее - исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.
1) Бахвалов Н.С. Численные методы - М.: Наука, 2006. - 632 с.
2) Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - Т.1. - М.: Наука, 2008. - 464 с.
1) Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 2005. -550 с.
2) Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 2012.- 664 с.
3) Самарский А.А. Введение в численные методы. - 3-е изд., перераб. - М.: Наука, 2011. - 239 с.
Методы хорд и итераций, правило Ньютона. Интерполяционные формулы Лагранжа, Ньютона и Эрмита. Точечное квадратичное аппроксимирование функции. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. курс лекций [871,5 K], добавлен 11.02.2012
Математическое объяснение метода Эйлера, исправленный и модифицированный методы. Блок-схемы алгоритмов, описание, текст и результаты работы программы. Решение обыкновенных дифференциальных (нелинейных) уравнений первого порядка с начальными данными. курсовая работа [78,1 K], добавлен 12.06.2010
Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом простой итерации. Полиномиальная интерполяция функции методом Ньютона с разделенными разностями. Среднеквадратическое приближение функции. Численное интегрирование функций методом Гаусса. курсовая работа [2,4 M], добавлен 14.04.2009
Общая постановка задачи решения обыкновенных дифференциальных уравнений, особенности использования метода Адамса в данном процессе. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса и точным методом, сравнение полученных результатов. курсовая работа [673,6 K], добавлен 27.04.2011
Методы численного интегрирования, основанные на том, что интеграл представляется в виде предела суммы площадей. Геометрическое представление метода Гаусса с двумя ординатами. Численные примеры и сравнение методов. Решение систем алгебраических уравнений. курсовая работа [413,4 K], добавлен 11.06.2014
Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений. контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Численные методы решения уравнений курсовая работа. Математика.
Мини Сочинение На Тему Жаргонизмы
Реферат по теме Синтеза и анализ комбинационных схем
Курсовая работа по теме Правомерное поведение
Реферат: История возникновения судостроения
Лекция На Тему Молекулярные Основы Канцерогенеза. Онкогены
Сочинение 9.3 Задание
Положительные Курсовые Разницы Являются
Реферат по теме Оборудование и цифровые технологии доступа в Интернет
Курсовая работа по теме «Управление конфликтами в организации (на примере ФГАОУ ВО БФУ им. И. Канта институт «ЭУиТ» )»
Сочинение по теме Тема уходящей Руси в произведениях И. А. Бунина
Контрольная работа: Зарубіжний досвід матеріального та нематеріального стимулювання персоналу
Из Каких Частей Состоит Эссе
Реферат: Создание и функционирование нового предприятия
Сочинение По Пословице 2 Класс
Методы Определения Показателей Качества Продукции Реферат
Эссе Качества Лидера
Контрольная работа по теме Виникнення та розвиток марксистської економічної теорії
Реферат: Личное страхование в России
Контрольная работа по теме Значение и принципы международных стандартов аудита
Курсовая Работа На Тему Комп’Ютерна Електроніка
Классификация колбасных изделий - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Открытие европейцами побережья Тропической Африки. Эпоха работорговли - История и исторические личности реферат
Форсована індустріалізація в Україні: мета, планування, методи проведення, джерела, наслідки - История и исторические личности реферат