Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа
Главная
Программирование, компьютеры и кибернетика
Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных
Изучение численных методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных (на примере уравнения). Отделение корней графически. Программная реализация, алгоритм.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное агентство по образованию
ФГОУ СПО «Уфимский авиационный техникум»
Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных
Руководитель работы Э.Р. Ахматсафина
2.2 Решение задачи методом касательных (Ньютона)
2.3 Решение задачи метод простой итерации
В настоящее время численные методы являются мощным математическим средством решения многих научно-технических проблем. Это связано как с невозможностью в большинстве случаев получить точное аналитическое решение, так и со стремительным развитием ЭВМ. Несмотря на существование многочисленных стандартных программ и объектно-ориентированных пакетов прикладных программ, для научных и инженерно-технических работников необходимо понимание существа основных численных методов и алгоритмов, поскольку зачастую интерпретация результатов расчетов нетривиальна и требует специальных знаний особенностей применяемых методов. В этой связи важно понимать структуру погрешностей при решении конкретных задач и корректность вычислений.
Цель курсовой работы изучить численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных (на примере уравнения).
Данная курсовая работа состоит из трех частей. В первой части рассматривается теория двух рассматриваемых методов простой итерации и касательной. Во второй части мы используем данную теоретическую часть при решении задач. В третьей части составляем программы, блок-схемы алгоритмов по двум данным методам.
Если -- начальное приближение корня уравнения , то последовательные приближения находят по формуле
Если и (первая и вторая производные) непрерывны и сохраняют определенные знаки на отрезке , a , то, исходя из начального приближения , удовлетворяю-щего условию, можно вычислить с любой точно-стью единственный корень уравнения .
На практике часто используют модификации метода Ньюто-на, свободные от этого недостатка. Одно из упрощений сводится к тому, что производная вычисляется только один раз в началь-ной точке и затем это значение используется на всех последую-щих шагах. Данная модификация основывается на предположе-нии о малом изменении производной вблизи корня.
Одной из наиболее известных модификаций является метод секущих. В этом методе производная заменяется ее приближен-ным значением:
В формуле для в отличие от приращение , полагается малым, но . Геометрически это означает, что приближенным значением корня считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки функции и , с осью абсцисс. Схема метода Ньютона показана на рисунке 1.
Рисунок 1. Метод Ньютона (а) и метод секущих (б )
Выберем на отрезке произвольную точку -- нулевое приближение. Затем найдем
Таким образом, процесс нахождения корня уравнения сво-дится к вычислению чисел по формуле
Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие
каждое следующее при-ближение может быть определено по формуле
Пусть задана функция , требуется найти корни уравнения . (1)
Метод простых итераций (последовательных приближений) является наиболее общим, и многие другие методы можно пред-ставить как некоторую вариацию метода простых итераций.
Представим уравнение (1) в виде (2)
Это можно сделать, например, прибавив к обеим частям уравнения (2).
Рассмотрим последовательность чисел , которая определя-ется следующим образом:
Рисунок 2. Приближение к корню методом простой итерации
Метод простых итераций имеет следующую наглядную гео-метрическую интерпретацию (рисунок 2). Решением уравне-ния (2) будет абсцисса точки пересечения прямой с кри-вой . При выполнении итераций значение функции в точке необходимо отложить по оси абсцисс. Это можно сде-лать, если провести горизонталь до пересечения с прямой и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абс-цисс. На рисунке 2 показаны разные ситуации: а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон.
Рисунок 3. Расходящийся процесс в методе простой итерации
Сходимость процесса приближения к корню в значительной степени определяется видом зависимости . На рисунке 3 показан расходящийся процесс, при котором метод простой итера-ции не находит решения уравнения.
На рисунке 2 сходимость обеспечивается для медленно изме-няющихся функций для которых выполняется условие
На рисунке 3 расходящийся процесс наблюдается для более быстро меняющейся функции
Можно сделать вывод, что для обеспечения сходимости мето-да простой итерации необходимо выполнить условие .
На практике в качестве рассматриваемой окрестности ис-пользуют интервал, а условие сходимости итерационного процесса имеет вид: .
Для сходящегося итерационного процесса характерно сле-дующее: при решении задачи переменная последовательно стре-мится к некоторому искомому пределу. Так как итерационный процесс представляет собой последовательность повторяющихся вычислительных процедур, то он, естественно, описывается цик-лическими алгоритмами. Особенность итерационного цикла за-ключается в том, что неизвестен закон изменения рекуррентной величины, выбранной в качестве параметра цикла, и неизвестно число повторений цикла. При этом значение, полученное на -й итерации, является исходным для следующей -й итерации.
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений и не будет обеспечено вы-полнение неравенства
Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных (на примере уравнения ).
Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения разбивается на два этапа:
2) уточнение корней до заданной точности.
Отделить корни - это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.
Отделение корней: графически (точность ).
Как видно из графика, единственный корень данного уравнения находится на отрезке
2.3 Решение задачи методом касательных (Ньютона)
Найдем производную заключенную на отрезке
Отсюда мы видим что взямем в качестве начального приближения и зададим точность
Ответ: Корень уравнения с точностью 0,00001 равен
2.3. Решение задачи методом простой итерации
Метод итерации уточнить с точностью до 10-4 корень уравнения
Для отделения корней исследовалось производное уравне-ние , корни которого находим анали-тически это .
Теперь уравнение следует привести к виду ,
Итерационный процесс будет сходиться, если .
Выберем на отрезке произвольную точку . Пусть . Тогда
Найдем корень равнения с помощью последовательности итераций:
Рисунок 5. График последовательности итерации
Ответ: Корень уравнения с точностью 0,0001 равен
численный нелинейный уравнение алгоритм
Writeln('корень уравнения = ',x0:5:4);
В качестве тестового примера возьмем на отрезке аналитически его можно решить и решение имеет вид .
Проверим правильность работы программы для тестового примера.
Рисунок 6. Результат работы тестовой программы методом касательных (Ньютона)
В качестве тестового примера возьмем , аналитически его можно решить и решение имеет вид .
Проверим правильность работы программы для тестового примера.
Рисунок 7. Результат работы тестовой программы методом простой итерации
При вычислении заданного примера на языке программирования Turbo Pascal мы получаем следующие результаты (рисунок 8)
Рисунок 8. Результат программы методом касательных (Ньютона)
При вычислении заданного примера на языке программирования Turbo Pascal мы получаем следующие результаты (рисунок 9)
Рисунок 9. Результат работы программы методом простой итерации
В результате проделанной работы были созданы программы, которые вычисляют двумя методами. При вычисляя задач получили результаты: методом касательных х=2,067687475, методом простой итерации х=2,06769. Расхождение между корнями имеет не значительное расхождение, что говорит о правильном решении уравнения. Правильность результатов может подтвердить построенный график, который в точности отображает функцию. Были исследованы два математических метода решения уравнений, к каждому из которых были представлены блок-схемы, полный текст программ и результаты машинного тестирования.
Каждый из изложенных методов приближенного вычисления корней уравнения содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство решения уравнений. Для уравнений, которые нельзя решить обычным способом, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.
Гагарина Л.Г. Численные методы и программирование. М.: ИД «ФОРУМ» ИНФРА-М, 2008г. 335с
Пирумов У.Г. Численные методы. М.: Дрофа, 2003. 224 с.
Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы и решение уравнений. СПб.: «Питер», 2001. 44с
Рапоков Г.Г., Ржеуцкая С.Ю. Turbo Pascal для студентов и школьников. СПб.: «БХВ - Петербург», 2007г. 349с
Использование повторяющегося процесса. Нахождение решения за определенное количество шагов. Применение метода хорд и метода простой итерации. Методы нахождения приближенного корня уравнения и их применение. Построение последовательного приближения. курсовая работа [849,1 K], добавлен 15.06.2013
Обзор существующих методов по решению нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений комбинированным методом и методом хорд на конкретных примерах. Разработка программы для решения нелинейных уравнений, блок-схемы алгоритма и листинг программы. курсовая работа [435,8 K], добавлен 15.06.2013
Особенности точных и итерационных методов решения нелинейных уравнений. Последовательность процесса нахождения корня уравнения. Разработка программы для проверки решения нелинейных функций с помощью метода дихотомии (половинного деления) и метода хорд. курсовая работа [539,2 K], добавлен 15.06.2013
Численные методы решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Составление логической схемы алгоритма, таблицы индентификаторов и программы нахождения корня уравнения методом дихотомии и методом Ньютона. Ввод программы в компьютер. курсовая работа [220,0 K], добавлен 19.12.2009
Описание методов дихотомии (половинного деления) и касательных. Их применение для решения нелинейных уравнений. Графическое отделение корней. Блок-схемы алгоритмов. Тексты (листинги) программ на языке Delphi. Тестовый пример решения задачи с помощью ЭВМ. курсовая работа [944,6 K], добавлен 15.06.2013
Этапы численного решения нелинейных уравнений заданного вида: отделение (изоляция, локализация) корней уравнения аналитическим или графическим способами, уточнение конкретного выделенного корня методом касательных (Ньютона). Решение в системе MathCad. курсовая работа [271,6 K], добавлен 22.08.2012
Изучение способов решения линейных и квадратных уравнений методом простой итерации: доказательство теоремы о сходимости и геометрическая интерпретация. Анализ математического решения задачи, ее функциональной модели, блок-схемы и программной реализации. реферат [411,5 K], добавлен 25.01.2010
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Численные методы решения нелинейных уравнений, используемые в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и методом касательных курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Реферат Биохимические Методы Исследования
Реферат: Кизеветтер Александр Александрович. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Развитие у детей дошкольного возраста познавательной активности в процессе ознакомления с технич
Лекции по информатике
Фондовая Биржа
Реферат по теме Греция
Дипломная работа по теме Проект расширения транспортной сети в Санкт-Петербурге
Сочинение Про Любовь К Своим Родным
Курсовая работа по теме Экономическое обоснование организации зоны Д-2 на АТП для автомобилей ЗИЛ-433110
Реферат: Национальный доход 2
Реферат: Предстоятель свободной Церкви
Отчет по практике по теме Организационная структура ООО 'Випкорма' и система мотивации труда персонала данного предприятия
Лучевая Диагностика Реферат
Контрольная работа по теме Разработка технологического процесса восстановления ведомого вала коробки переключения передач автомобиля ГАЗ-53
Реферат по теме Химический состав основных видов сырья спиртового производства
Реферат: Устранение конфликтов в трудовом коллективе
Сочинение По Повестям Гоголя
Бизнес Жоспар Құрылымы Реферат
Средства И Основные Составляющие Физической Культуры Реферат
Доклады На Тему Онкология, Фтизиатрия, Вич
Аппаратная реализация вейвлета Морлета на базе аналоговых фильтров - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника курсовая работа
Алиментные обязанности - Государство и право дипломная работа
Особенности психолого-педагогического сопровождения детей дошкольного возраста - Педагогика дипломная работа