Численные методы расчетов в Exel - Программирование, компьютеры и кибернетика контрольная работа

Интерполяция функции с равноотстоящими узлами - прогнозирование в Exel. Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона. Решение систем уравнений в Exel методом обратной матрицы и простых итераций.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Северо-Западный государственный заочный
Институт управления производственными и
Контрольная работа по дисциплине
Тема: “ Численные методы и расчеты в EXCEL. ”
Задача 1. Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
Задача 2. Решение систем уравнений в EXCEL.
Выполнила студентка: Шестакова Мария Дмитриевна
Преподаватель: Ходоровская Валентина Сергеевна
Численные методы и расчеты в EXCEL.
Интерполяция функции с равноотстоящими узлами.
I. Написать выражение для интерполяционного полинома Ньютона .
II. Составить программу для вычисления значения функции в заданных точках
1) при помощи полинома Ньютона для реализации ее в EXCEL ;
2) при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений
Функция задана таблицей с равноотстоящими узлами :
Цель работы: научиться пользоваться программой EXCEL для получения аналитической зависимости по экспериментальным данным и изучение режимов экстраполяции данных в EXCEL .
Задача интерполяции сводится к требованию точного совпадения в узловых
точках функции и ее приближения, где число определяемых параметров аппроксимирующей зависимости равно числу точек. При выборе данного критерия задача сводится к построению интерполяционных многочленов (полиномов) .
По определению интерполяция -- это отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям. Само слово интерполяция происходит от латинского “interpolation” , что в переводе значит “ изменение, переделка” .
Экстраполяция -- это процедура аналогичная интерполяции, но при условии, что x лежит вне интервала (x 0 , x n ) . Происходит от “экстра…” и латинского “polio” , что значит “приглаживаю, изменяю” .
Аппроксимация -- это замена одних математических объектов (например, чисел или
функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным(например, кривых линий близкими к ним ломаными). Слово происходит от латинского “approximo” , что значит “приближаюсь” .
Графически задача интерполяции заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию , которая бы проходила через все узлы интерполяции. Чаще всего в качестве интерполирующей функции F (x) используются многочлены P n (x). Задача состоит в том, чтобы подобрать многочлен P n (x), обеспечивающий требуемую интерполяцию е .
Наиболее успешно для интерполяции используется полином Ньютона , для записи которого в случае интерполяции функции с равноотстоящими узлами используются конечные разности .
Термин “полином” имеет то же значение, что и слово “многочлен” и происходит от “поли…” -- часть сложных слов, указывающая на множество, всесторонний охват или разнообразный состав чего-либо (от греческого “polys” - многий, многочисленный, обширный) и латинского “nomen” , т.е. имя .
Конечной разностью первого порядка называется разность:
Дy i = yi + 1 - y i , i = 0,1, .... , n - 1
Аналогично определяются конечные разности второго и более высок их порядк ов.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде:
P n (x) = y 0 + (x-x 0 ) · Дy 0 /1!h + (x-x 0 )(x-x 1 ) · ДІy 0 /2!hІ+....+ ( x - x 0 )( x - x 1 )…..( x - x n -1 ) ·   Д n y 0 / n ! h n
Напишем выражение для интерполяционного полинома Ньютона для экспериментальных данных, приведенных в вышеуказанной таблице. Конечные разности указаны в “Приложение 2” . Из таблицы видно, что значения x являются равноотстоящими узлами, так как возрастают равномерно с шагом h = 0,05 . Степень полинома определяется числом (порядком) конечных разностей ( в данном случае их девять ).
P n (x ) = P 9 (x)= y 0 + (x-x 0 ) Дy 0 / 1!h  +  (x-x 0 ) (x-x 1 ) ДІy 0 /2!h 2 +..
..+ (x-x 0 ) ( x-x 1 ) (x-x 2 ) (x-x 3 ) (x-x 4 ) (x-x 5 ) (x-x 6 ) (x-x 7 ) (x-x 8 ) (x-x 9 ) Д 9 y 0 / 9! h 9  =
0,860 + (x- 0,15) (-0,041) / 1! · 0,05 + (x- 0,15) (x- 0,20) · 0,001 / 2! ·  0,05 2 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) · 0,001 / 3!  · 0,05 3 +(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) ·  (-0,001) / 4! ·  0,05 4 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0,35) ·  0 / 5!  · 0,05 5 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30)(x- 0.35)(x- 0,40) · 0,004 / 6! · 0,05 6 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ·(-0,016) / 7! 0,05 +
(x- 0,15) (x- 0,20) (x- 0,25) (x- 0,30) (x- 0,35) (x- 0,40) (x- 0,45) ( x- 0,50) · 0,047 / 8!   · 0,05 8 +
( x - 0,15) ( x - 0,20) ( x - 0,25) ( x - 0,30) ( x - 0,35) ( x - 0,40) ( x - 0,45) ( x - 0,50) ( x - 0,55) · (-0,119) / 9!   · 0,05 9 .
1)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи полинома Ньютона.
Подготовка исходных данных электронной таблицы в EXCEL :
а ) Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1 : N4).
б ) Введем номера по порядку в ячейки A5 : A14.
в ) Введем исходные данные в ячейки B5 : C14.
Таким образом подготовлена таблица для выполнения работы.
а ) Ввод формул для вычисления конечных разностей первого порядка :
а.1) в ячейку D5 введем формулу для вычисления Дy 0 = y 1 - y 0 , которая примет вид: =C6-C5 ;
a.2) копируем эту формулу в ячейки D6 : D13. В результате в ячейке D6
получаем формулу =C7-C6 (т.е. Дy 1 =y 2 - y 1 = 0,779 - 0,819 = -0,040 ),в ячейке D7
получаем формулу =C8-C7 (т.е. Дy 2 = y 3 - y 2 = 0,741 - 0,779= -0,038 ) и т.д. до ячейки D13, где
=C14-C13 (т.е. Дy 8 = y 9 - y 8 = 0,549 - 0,577= -0,028 )
б) Ввод формул для вычисления конечных разностей второго порядка :
б.1) в ячейку E5 копируем формулу из ячейки D5. В ячейке E5 появится формула
=D6-D5 (т.е. ДІy 0 = Дy 1 - Дy 0 = -0,040 - ( -0,041) = 0,001 ). Копируем эту формулу в ячейки E6 : E12.
В ячейке E12 получаем формулу =D13 - D1 (т.е. ДІy 7 = Дy 8 - Дy 7 = - 0,028 - ( -0,029) = 0,001 ).
в) Ввод формул для вычисления конечных разностей вплоть до девятого порядка :
для вычисления всех конечных разностей необходимо ввести только одну формулу(в ячейке D5), все
остальные будут получены копированием, т.е. из ячейки E5 копируем формулу в ячейку F5, из F5 в G5 и т.д.
Отображение в режиме формул см. в “Приложении 1”.
Отображение в режиме значений см. в “Приложении 2” .
а) Ввод формул для вычисления промежуточных коэффициентов:
а.1) для вычисления первого промежуточного коэффициента (x-x 0 /1!h) в ячейку M5 введем формулу
=($N$2 - B5) / (A5 + 1) / $F$2 . В ячейке N2 находится текущее значение x . При копировании адрес этой ячейки изменять нельзя, поэтому мы используем абсолютный адрес (значок $). В ячейке F2 находится шаг интерполяции , адрес этой ячейки тоже абсолютный (значок $).
а.2) для вычисления второго промежуточного коэффициента
(x-x 0 ) (x- x 1 )/2!h І = (x-x 0 )/1·h · (x-x 1 )/ 2·h = a · b,
где a коэффициент в ячейке M5, a = (x-x 0 )/1h,
b коэффициент, на который нужно умножить M5, b = (x-x 1 ) / 2h,
вводим в M6 формулу: =M5*($N$2 - B6) / (A6 + 1) / $F$2 .
а.3) после ввода данных в M5 и M6, для вычисления остальных промежуточных коэффициентов
копируем формулу из M6 в остальные 7 нижестоящие ячейки. Вячейке M7 мы увидим формулу:
=M6*($N$2 - B7) / (A7 + 1) / $F$2 , в ячейке M8 мы увидим формулу: =M7*($N$2 - B8) / (A8 + 1) / $F$2 и
а) Ввод формул для вычисления полинома Ньютона:
а.1) для вычисления первого полинома Ньютона , который равен (x-x 0 ) · Дy 0 / 1!h = (x-x 0 ) / 1h ·Дy 0 , содержимое ячейки M5 надо умножить на содержимое ячейки D5, где хранятся конечные разности первого порядка . Вводим в ячейку N5 формулу =M5*D$5 . Знак $ перед номером строки необходим, т.к. в полиноме Ньютона находятся только конечные разности с индексом ноль, т.е. все конечные разности берутся только из строки с номером 5;
а.2) для ввода остальных членов полинома Ньютона копируем формулу из N5 в остальные 8 нижестоящих ячеек (включительно по N13). Получаем в N6 формулу =M6*E$5 , в N7 формулу =M7*F$5 , в N8 формулу =M8*G$5 и т.д. до ячейки N13.
а) Ввод формул для вычисления суммы коэффициентов полинома Ньютона:
а.1) объединим ячейки A16 : M16, затем в объединенные ячейки введем комментарий
а.2) в ячейку N16 вводим формулу =СУММ(N5:N13) . Теперь в N16 будет сумма всех членов полинома Ньютона, кроме y 0 . При x = 0,149 в ячейке N16 получается число 0,001.
а) Ввод формул для вычисления значения полинома:
а.1) объединим ячейки A18 : M18, затем в объединенные ячейки введем комментарий "Значение полинома" ;
а.2) в ячейку N18 вводим формулу =N16+C5 . В ячейке N18 появится число 0,861 , которое и есть значение полинома, вычисленное в точке x = 0,149
Вычисление сумм коэффициентов полинома и значений полинома
при x = 0,240 ; x = 0,430 ; x = 0,560 .
а) в ячейку N2 вводим 0,240 . Результат:
в ячейке N16 -- (-0,073); в ячейке N18 -- (0.787);
б) в ячейку N2 вводим 0,430 . Результат:
в ячейке N16 -- (-0,209); в ячейке N18 -- (0,651);
в) в ячейку N2 вводим 0.560 . Результат:
в ячейке N16 -- (-0,287); в ячейке N18 -- (0,573).
Для удобства полученные данные занесем в нашу таблицу.
Таблицы прилагаются. Режим формул -- “Приложение 1”. Режим значений -- “Приложение 2.
2)Составление программы для вычисления значений функции в заданных точках при помощи функций, осуществляющих прогноз вычислений (ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ).
Экстраполяция (прогнозирование) с помощью функции аппроксимации кривой.
Табличный процессор EXCEL предоставляет возможность аппроксимации с использованием “функций аппроксимации кривой”
Пусть в узлах x 0 , x 1 , …, x n известны значения f(x 0 ), f(x 1 ), … ,f(x n ). Необходимо осуществить экстраполяцию (прогнозирование), т.е. вычислить значения f(x n+1 ), f(x n+2 ), … .
В категории Статистические функции EXCEL для этого используются две функции: ТЕНДЕНЦИЯ и ПРЕДСКАЗАНИЕ , осуществляющие линейную аппроксимацию кривой для данных массивов
x (x 0 , x 1 , … , x n ) и y (y 0 ,y 1 , … , y n ) методом наименьших квадратов.
Функция ТЕНДЕНЦИЯ имеет структуру:
ТЕНДЕНЦИЯ ( y массив, x массив, x список)
y массив , x массив -- даны из условия.
x список -- это те значения x , для которых требуется сосчитать значения функции f(x).
Функция ПРЕДСКАЗАНИЕ имеет структуру:
ПРЕДСКАЗАНИЕ ( x ; y массив; x массив)
После аппроксимации эта функция возвращает только одно прогнозируемое значение y (для одного из заданных значений аргументов.
Создадим электронную таблицу в EXCEL , используя исходные данные.
Для того, чтобы поместить результат в список итоговых ячеек C6:F6, выделим эти ячейки.
Далее необходимо щелкнуть по пиктограмме Мастер функций .
а) В первом окне выберем категорию Статистические , функцию ТЕНДЕНЦИЯ,
б) В окне “Известные значения y ” введем адрес блока ячеек C3:L3.
в) В окне “Известные значения x ” введем адрес блока ячеек C2:L2.
г) В окне “Новые значения x ” укажем адрес блока ячеек C5:F5.
Для подтверждения этой функции одновременно нажмем клавиши SHIFT / CTRL и ENTER. В ячейках C6:F6 мы увидим прогноз.
В режиме формул:в ячейке C6 -- =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;C5)
в ячейке D6 -- =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;D5)
в ячейке E6 -- =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;E5)
в ячейке F6 -- =ТЕНДЕНЦИЯ(C3:L3;C2:L2;F5)
В режиме значений: в ячейке C6 -- 0,8610
Режим формул -- “Приложение 3” . Режим значений “Приложение 4”.
Создадим электронную таблицу в EXCEL , используя исходные данные.
Для размещения результата активизируем ячейку С6.
а) При помощи Мастера функций вызовем функцию ПРЕДСКАЗАНИЕ,
б) В окне “x” укажем адрес ячейки C6.
в) В окне “Известные значения y ” укажем адрес блока ячеек C3:L3.
г) В окне “Известные значения x ” укажем адрес блока ячеек C2:L2.
Для подтверждения этой функции щелкнем по OK . В ячейке C6 появится результат. Для появления результата в остальных ячейках, проделаем все то же самое, поочередно активизируя ячейки D6, E6, F6.
в ячейке C6 -- =ПРЕДСКАЗ(C5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке D6 -- =ПРЕДСКАЗ(D5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке E6 -- =ПРЕДСКАЗ(E5;C3:L3;C2:L2)
в ячейке F6 -- =ПРЕДСКАЗ(F5;C3:L3;C2:L2)
В режиме значений: в ячейке C6 -- 0,8506
Таблицы прилагаются. Режим формул -- “Приложение 5”. Режим значений -- “Приложение 6”.
Для сравнения значений функции в точках:
полученных при помощи трех разных способов:
Прогнозирование значения функции при помощи функций:
* Результаты вычислений округлены до двух знаков после запятой.
Вывод: значение функции в заданных четырех точках мы получили тремя разными способами. Для наглядности все полученные данные мы свели в итоговую сравнительную таблицу. Видно, что результаты получились не совсем одинаковые. Но однако в целом, отклонения в значениях в пределах 0,01 , что вполне допустимо для наших данных. Для того, чтобы получить более точные значения функции в определенной точке, необходимо, чтобы исходные данные были представлены более широким спектром узлов.
Цель работы: научиться решать в EXCEL системы конечных уравнений методом обратной матрицы и простых итераций.
Уравнение -- это математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения данных функций равны. Аргументы, от которых зависят функции, называются неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, называются решениями (корнями).
Матрица -- это прямоугольная таблица каких-либо элементов a ik (чисел, математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n , то матрица называется квадратной.
Детерминант (определитель) -- это число detA, которое можно сопоставить квадратной матрице А.
Минором некоторого элемента а ij определителя n-го порядка называется определитель n первого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента а ij определителя называется его минор, взятый со знаком “+”, если сумма “ i+j” четное число, и со знаком “-“ , если эта сумма нечетная.
Итерация -- это повторное применение каких-либо математических операций. Происходит от латинского “iteratio” ,что в переводе значит “повторение”.
1). Математический расчет решения системы уравнений методом обратной матрицы.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
-- матрица системы (составлена из коэффициентов при неизвестных ) :
б). Найдем детерминант (определитель) матрицы А.
По определению: det A = a 11 · A 11 + a 12 · A 12 + a 13 · A 13 ,
где a 11 , a 12 , a 13 -- элементы первой строки матрицы A ,
A 11 , A 12 , A 13 -- их алгебраические дополнения .
- если detA = 0, то обратной матрицы не существует ;
- если detA ? 0, то обратная матрица существует .
Для того, чтобы найти детерминант необходимо сосчитать алгебраические дополнения.
По определению : A ik = (-1) i+k · M ik ,
где i - номер строки матрицы,
- если сумма i+k четная, то A ik = 1 · M ik
A 11 = 6,1 · 1,2 - 5,7 · 2,8 = 7,32 - 15,96 = - 8,64
A 12 = 2,8 · 1,2 - 4,5 · 2,8 = 3,36 - 12,6 = 9,24
A 13 = 2,8 · 5,7 - 4,5 · 6,1 = 15,96 - 27,45 = -11,49
Теперь мы можем сосчитать детерминант.
detA = 0,1 · (-8,64) + 4,6 · 9,24 + 7,8 · (-11,49) = -0,864 + 42,504 - 89,622 = - 47,982
detA ? 0 => обратная матрица существует и можно продолжать вычисления.
в). Найдем обратную матрицу А -1 .
A -1 = A 12 A 22 A 32 · 1/ detA ,
где А 11 , …, А 33 - алгебраические дополнения матрицы А .
Для нахождения обратной матрицы А -1 , сначала сосчитаем все алгебраические дополнения матрицы А :
A 21 = 4,6 7,8 = 4,6 · 1,2 - 7,8 · 5,7 = 5,52 - 44,46 = + 38,94
A 22 = 0,1 7,8 = 0,1 · 1,2 - 7,8 · 4,5 = 0,12 - 35,1 = - 34,98
A 23 = 0,1 4,6 = 0,1 · 5,7 - 4,6 · 4,5 = 0,57 - 20,7 = + 20,13
A 31 = 4,6 7,8 = 4,6 · 2,8 - 7,8 · 6,1 = 12,88 - 47,58 = - 34,7
A 32 = 0,1 7,8 = 0,1 · 2,8 - 2,8 · 7,8 = 0,28 - 21,84 = + 21,56
A 33 = 0,1 4,6 = 0,1 · 6.1 - 4,6 · 2,8 = 0,61 - 12,88 = - 12,24
Теперь мы можем сосчитать обратную матрицу А -1 , подставив в формулу полученные данные:
1/detA = 1 / - 47,982 = - 0,0208411
- 8,64 38,94 - 34,7 0,1800675 - 0,8115543 0,72318786 A -1 = - 0,0208411 · 9,24 - 34,98 21,56 = - 0,1925722 0,7290234 0,44933516
- 11,49 20,13 - 12,27 0,2394647 - 0,4195323 0,25572089
Чтобы узнать правильно ли мы нашли обратную матрицу , необходимо сделать проверку. Если выполняется равенство:
A -1 · A = E, где E - единичная матрица , то обратная матрица найдена верно.
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 0,1 4,6 7,8
A -1 · A = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 2,8 6,1 2,8
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 4,5 5,7 1,2
Произведем промежуточные вычисления:
С 11 = 0,1800675 · 0,1 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 4,5 = 1
C 12 = 0,1800675 · 4,6 + (-0,8115543) · 6,1 + 0,7231879 · 5,7 = 0
C 13 = 0,1800675 · 7,8 + (-0,8115543) · 2,8 + 0,7231879 · 1,2 = 0
C 21 = (-0,1925722) · 0,1 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 4,5 = 0
C 22 = (-0,1925722) · 4,6 + 0,7290234 · 6,1 + (-0,4493352) · 5,7 = 1
C 23 = (-0,1925722) · 7,8 + 0,7290234 · 2,8 + (-0,4493352) · 1,2 = 0
C 31 = 0,2394647 · 0,1 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 4,5 = 0
C 32 = 0,2394647 · 4,6 + (-0,4195323) · 6,1 + 0,2557209 · 5,7 = 0
С 33 = 0,2394647 · 7,8 + (-0,4195323) · 2,8 + 0,2557209 · 1,2 = 1
г). Найдем матрицу X (матрицу неизвестных).
где B -- исходная матрица B (матрица свободных членов).
0,1800675 - 0,8115543 0,7231879 9,8 0,521737
X = - 0,1925722 0,7290234 - 0,4493352 · 6,7 = 0,391105
0,2394647 - 0,4195323 0,2557209 5,8 1,019069
Матрицу X нашли, соответственно корни уравнений :
д). Проверка. Подставим в исходную систему уравнений полученные значения:
0,1 · 0,521737 + 4,6 · 0,391105 + 7,8 · 1,019069 = 0,0521737 + 1,799083 + 7,9487382 = 9,7999949 = 9,8
2,8 · 0,521737 + 6,1 · 0,391105 + 2,8 · 1,019069 = 1,4608636 + 2,385745 + 2,8533932 = 6,6999742 = 6,7
4,5 · 0,521737 + 5,7 · 0,391105 + 1,2 · 1,019069 = 2,3478165 + 2,229298 + 1,2229152 = 5,8000252 = 5,8
Система уравнений методом обратной матрицы решена верно.
1.1). Составление программы для решения системы уравнений методом обратной матрицы в EXCEL.
Для решения системы уравнений в EXCEL необходимо подготовить таблицу с исходными данными:
а). Введем текстовые и числовые константы (ячейки A1:E10).
Необходимо обратить матрицу А . Применяемая для обращения матрицы функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.
а). Выделим ячейки А11:С13, куда будет помещена обратная матрица .
б). При помощи Мастера функций вызовем функцию МОБР, категория Математические.
в). В окне “Массив” укажем адрес массива исходной матрицы A6:C8.
г). Для того, чтобы вставить формулу во все выделенные ячейки (A11:C13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
-- в режиме формул -- =МОБР(А6:C8) ;
-- в режиме значений -- массив обратной матрицы .
Для умножения обратной матрицы на столбец свободных членов :
б). При помощи Мастера функций выберем функцию МУМНОЖ, категория Математические .
в). В окно “Массив 1” введем адрес массива обратной матрицы A11:C13.
г). В окно “Массив 2” введем адрес массива матрицы свободных членов E6:E8.
д). Для вставки Формулы во все выделенные ячейки (E11:E13), нажмем одновременно клавиши Ctrl+Shift+Enter.
-- в режиме формул -- =МУМНОЖ(А11:C13;E6:E8) ;
-- в режиме значений -- компоненты векторов решения x 1 , x 2 , x 3 .
Таблицы прилагаются. Режим формул -- “Приложение 7”. Режим значений -- “Приложение 8”.
1.2). Проверка -- сравнение результатов, полученных разными способами.
Для наглядности создадим сравнительную таблицу:
Математический расчет методом обратной матрицы
Сначала предложенную нам систему уравнений мы решили методом обратной матрицы . Затем в EXCEL составили специальную программу, позволяющую решить систему уравнений путем обращения матрицы .
Для наглядности полученные результаты занесли в сравнительную таблицу.
Из таблицы видно, что результаты получились практически одинаковыми. Отклонения в значениях расходятся в столь малых пределах, что являются допустимыми для нашего случая. Однако это произошло из-за того, что при выполнении математических расчетов значения округлялись.
Таким образом, мы выявили, что в EXCEL результаты получаются более точные .
2) Решение заданной системы уравнений методом простых итераций.
Для того, чтобы решить систему трех линейных уравнений методом простых итераций, необходимо ее преобразовать так, чтобы диагональные коэффициенты матрицы x 1 , x 2 , x 3 были максимальными по модулю. Этим выполняется 1-е условие сходимости итерационного процесса .
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
a) Достаточно хорошо видно, что для преобразования нам достаточно только поменять местами первое и третье уравнения . Получится система вида:
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
б) Для решения системы уравнений методом простых итераций необходимо представить полученную систему уравнений в итерационной форме , записав каждое из трех уравнений в виде решения относительно той неизвестной переменной, которая имеет наибольший по модулю коэффициент.
4,5 x 1 + 5,7 x 2 + 1,2 x 3 = 5,8
x 1 = - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
2,8 x 1 + 6,1 x 2 + 2,8 x 3 = 6,7
x 2 = - 2,8 x 1 / 6,1 - 2,8 x 3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
0,1 x 1 + 4,6 x 2 + 7,8 x 3 = 9,8
x 3 = - 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
В итерационной форме получили систему:
x 1 = - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x 2 = - 2,8 x 1 / 6,1 - 2,8 x 3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x 3 = - 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 + 9,8 / 9,7
в) Проверка выполнения первого условия сходимости метода для данной системы.
При использовании итерационного метода решения необходимо обязательно проверить два условия сходимости метода для данной системы. Первое условие у нас выполнено (диагональные коэффициенты матрицы x 1 , x 2 , x 3 в полученной системе являются максимальными по модулю).
г) Проверка выполнения второго условия сходимости метода для данной системы (условие “НОРМА”).
Теперь необходимо проверить условие “НОРМА” (обозначается ¦ C ¦), т.е. необходимо оценить сходимость метода для данной системы , которая зависит только от матрицы коэффициентов [ C ]. Процесс сходится только в том случае,если норма матрицы [ С ] меньше единицы , т.е.
В итерационной форме имеем систему:
x 1 = - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 5,8 / 4,5
x 2 = - 2,8 x 1 / 6,1 - 2,8 x 3 / 6,1 + 6,7 / 6,1
x 3 = - 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 + 9,8 / 7,8
x 1 = 0 - 5,7 x 2 / 4,5 - 1,2 x 3 / 4,5 + 1,288889
x 2 = 2,8 x 1 / 7,8 - 0 - 2,8 x 3 / 6,1 + 1,0983607
x 3 = 0,1 x 1 / 7,8 - 4,6 x 2 / 7,8 - 0 + 1,2564103
Проверка выполнения второго условия “НОРМА” :
[C] = - 2,8 / 6,1 0 - 2,8 / 6,1
¦C¦ = v (-5,7 / 4,5) 2 + (-1,2 / 4,5) 2 + (-2,8 / 6,1 ) 2 + (-2,8 / 6,1) 2 + (-0,1 / 7,8) 2 + (-4,6 / 7,8) 2
¦C¦= v (-1,2666667) 2 +(-0,2666667) 2 +(-0,4590164) 2 +(-0,4590164) 2 +(-0,0128205) 2 +(-0,5897436) 2
¦C¦= v (1,6044445) + (0,0711111) + (0,2106961) + (0,2136961) + (0,0001691) + (0,3477975)
Таким образом, условие “НОРМА” не выполнено.
Вывод: так как второе условие сходимости итерационного процесса не выполнено , то решение данной системы уравнений не может быть получено методом простых итераций.
Даны два комплексных числа , записанные в показательной форме .
1). Записать эти числа в тригонометрической форме ;
2). Найти сумму z 1 + z 2 и произведение z 1 · z 2 , переведя их в алгебраическую форму записи;
3). Изобразить на комплексной плоскости операнды и результаты .
Комплексным числом называется выражение вида
“x” и “y” -- действительные числа,
“i” -- символ, называемый мнимой единицей и удовлетворяющий условию i 2 = -1.
Операнд -- величина, представляющая собой объект операции, реализуемой ЭВМ в ходе выполнения программы вычислений.
1). Тригонометрическая форма записи.
Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами x , y , но и полярными координатами r , ц. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа
z = r cos ц + i r sin ц = r ( cos ц  + i sin ц  ),
где cos ц  + sin ц  = e i ц =>  ц  =  р /4
При этом r называют модулем, а ц - аргументом комплексного числа.
1.1) z 1 = 3 · (cos  р /4   -  i sin  р /4) = 3v2/2  - i 3v2/2
1.2) z 2 = r · e i ц   = r (cos р /4  +  i sin р /4) = v2/2 + i v2/2 
Если z 1 = x 1 + iy 1 , а z 2 = x 2 + iy 2 , то
z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1  + x 2 ) + i (y 1  + y 2 )
Основные программы обработки электронных таблиц. Основные финансовые функции Exel, их синтаксис и значение. Основная роль финансовой функции. Перечень финансовых функций. Определение срока платежа и процентной ставки. Механизм подбора параметров. реферат [291,2 K], добавлен 03.07.2015
Способы отделения корней. Решение задачи методами Ньютона уточнения корней и простых итераций. Формула нахождения погрешностей. Геометрическая интерпретация методов. Составление блок-схем и текстов программ. Результаты их работы на тестовом примере. курсовая работа [3,1 M], добавлен 15.06.2013
Разработка и реализация программы расчета заданных функций на языке программирования VBA. Математическая модель, параметры и характеристики задачи, критерии оценки эффективности созданного модуля. Разработка алгоритма и тестирование программного модуля. курсовая работа [488,7 K], добавлен 08.09.2010
Встановлення та запуск Exel, вікно Exel та його елементи, екранні форми та елементи управління. Типи форм, що допомагають уводити дані в списки. Обмеження елементів управління панелі інструментів "Форми", їх використання, заповнення екранної форми. контрольная работа [29,0 K], добавлен 29.10.2009
Решение уравнения методом половинного деления. Программа в Matlab для уравнения (x-2)cos(x)=1. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона. Интерполяция заданной функции. Решение системы линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. курсовая работа [1,4 M], добавлен 15.08.2012
Модифицированный метод Ньютона при заданных начальных условиях, где задаётся погрешность вычисления. Вычисления корня уравнения при помощи программы. Построения графика зависимости приближений двух координат, при котором задаются промежутки и константы. реферат [14,1 K], добавлен 29.01.2009
Работа на персональном компьютере с использованием современных компьютерных технологий MS EXEL. Выполнение заданий: табулировние и построение графиков функций, вычисление корней нелинейного уравнения, финансовый анализ в Excel, решение практических задач. контрольная работа [5,7 M], добавлен 17.07.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Численные методы расчетов в Exel контрольная работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Курсовая работа по теме Проектирование аккумуляторного отделения
Чем Жив Человек Сочинение Миниатюра
Игры Разума Эссе
Реферат На Тему Автострахование
Реферат по теме Конкурсная масса несостоятельного должника
Реферат: Банковская гарантия 4
Курсовая работа по теме Расчет посудомоечной машины непрерывного действия ММУ 2000
Дипломная работа по теме Сравнительный исследование государственных должностей и должностей государственной службы
Реферат по теме Тевтонський Орден
Курсовая работа по теме Особливості інноваційної педагогічної діяльності
Курсовая Работа На Тему Образование В Глобальном Информационном Обществе
Контрольная работа: Эволюция промышленного капитализма
Слово О Полку Игореве Краткое Сочинение
Государство И Органы Местного Самоуправления Курсовая Работа
Отчет по практике по теме Неисправности, возникающие при работе узла, агрегата или системы автомобиля
Курсовая работа по теме Понятие и экономическое содержание предпринимательства
Курсовая работа по теме Информационно–измерительная система распределенного действия для контроля измерения веса
Сочинение Легко Ли Быть Человеком
Реферат по теме Образование Швейцарской конфедерации
Реферат: Притворство в сексе. Скачать бесплатно и без регистрации
Музыкальное воспитание в детском саду - Музыка контрольная работа
Освобождение от наказания - Государство и право курсовая работа
Повреждения бедра, тазобедренного и коленного суставов - Медицина презентация