Численные методы - Программирование, компьютеры и кибернетика методичка

Программа вычисления интеграла методом прямоугольников. Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений. Модифицированный метод Эйлера. Методы решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Задачи линейного программирования.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
для самостоятельной работы студентов
Составители: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин,
Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов.
Методические указания по курсу "Информатика" для самостоятельной работы студентов всех специальностей. Численные методы. Часть 2. /Казанский государственный архитектурно-строительный университет. Сост.: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, И.Н.Гатауллин, Р.Ф.Гиззятов, Р.И.Ибятов, Х.Г.Киямов. -Казань, 2008. -35с.
Методические указания состоят из двух частей и предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей 2-го курса дневного и заочного отделений. В данной работе приводятся численные методы решения нелинейных уравнений, систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, определенных интегралов, методы аппроксимации дискретных функций и методы решения задач линейного программирования.
Рецензент - Р.Б.Салимов, доктор физ.-мат. наук, профессор
Требуется вычислить определенный интеграл:
Выберем на отрезке интегрирования а,b n различных узлов
и интерполируем функцию f(x) по ее значениям в этих узлах некоторым полиномом Pm(x).
Тогда определенный интеграл (5.1) приближенно можно вычислять по формуле
которая называется квадратурной формулой интерполяционного типа.
На каждом отрезке xi, xi+1, i=0,1,2,...,n-1 функция f(x) заменяется полиномом нулевой степени P0(x)=f(xi).
Поэтому приближенно I вычисляется по формуле (см. рис. 5.1):
Величина ошибкиI-I определяется ошибкой интерполирования f(x)-Pm(x) на отрезке а,b и может быть представлена в форме
R(f)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)f(n)()dx, (5.4)
Нахождение точного значения R(f) затрудняет то обстоятельство, что не известна зависимость от x. Однако, если известна производная порядка n, то ее всегда можно оценить
где M1=maxf(x)- наибольшее значение модуля первой производной f(x) на отрезке a, b.
Для равноотстоящих узлов формула (5.5) имеет следующий вид:
Формулу (5.6) называют формулой левых прямоугольников, а (5.7) правых прямоугольников.
Программа вычисления интеграла методом прямоугольников представлена на рис. 5.2.
Рис. 5.2. Программа вычисления интеграла методом прямоугольников.
В этом методе на каждом отрезке xi ,xi+1 функция f(x) заменяется полиномом 1-й степени P1(x).
Интегрируя P1(x) на отрезке xi ,xi+1, получим:
P1(x)dx = (f(xi)+f(xi+1))(xi+1- xi) (5.10)
Суммируя по всем i (i = 0,1,...,n-1), получим формулу трапеций (см. рис. 5.3):
I = (f(xi)+f(xi+1))(xi+1-xi) (5.11)
Для равноотстоящих узлов x0, x1=x0+h,...,xn=x0+nh формула (5.11) принимает следующий вид:
I = h (f(x0)+f(xn))/2+ f(xi) (5.12)
Погрешность этого метода оценивается следующим выражением:
где M2=maxf(x)- наибольшее значение модуля второй производной f(x) на отрезке a,b.
Программа вычисления интеграла методом трапеций представлена на рис. 5.4.
Рис. 5.4. Программа вычисления интеграла методом трапеций.
Интервал [a,b] разделим на 2n отрезков. Группируя узлы тройками xi-1,xi,xi+1, на каждом отрезке xi-1,xi+1 i=1,3,...,2n-1 интерполируем функцию f(x) полиномом 2-й степени P2(x):
Интегрируя P2(x) на отрезке xi-1 ,xi+1, получим:
P2(x)dx = [f(xi-1)+4f(xi)+f(xi+1)] . (5.14)
Суммируя формулу (5.14) по всем n блокам, получаем формулу для приближенного интегрирования (см. рис.5.5):
I = [(f(x2k)+4f(x2k+1)+f(x2k+2)] (5.15)
Погрешность метода Симпсона оценивается формулой:
где M4=maxfIV(x)- наибольшее значение модуля четвертой производной fIV(x) на отрезке a,b.
Рис. 5.3. Метод парабол (Симпсона).
Пример: Требуется вычислить определенный интеграл методами прямоугольников, трапеций и парабол:
Решение: Выберем на отрезке интегрирования 0,1 n=8 различных узлов
Шаг разбиения для равноотстоящих узлов h = xi+1-x i определяем по формуле
Тогда определенный интеграл приближенно можно вычислять по формуле левых прямоугольников
или по формуле правых прямоугольников
Определенный интеграл вычислим по формуле трапеций
Определенный интеграл вычислим по формуле парабол
Результаты решения приводятся в таблице 5.3
Программа вычисления интеграла методом парабол (Симпсона) представлена на рис. 5.6.
1 S=S+H*(FNF(X)+4*FNF(X+H)+FNF(X+2*H))/3
Рис. 5.6. Программа вычисления интеграла методом парабол (Симпсона).
6. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две категории:
- обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную
- уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых переменных.
Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x):
где х - независимая переменная, n - порядок дифференциального уравнения.
Уравнения первого и второго порядков записываются в виде:
называются уравнениями, разрешенными относительно старшей производной.
Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например,
y- x2 y = sin(x) - линейное уравнение первого порядка.
Решением дифференциального уравнения (6.1) называется всякая функция y=(x), которая после ее подстановки в уравнение превращает ее в тождество.
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных c1,c2,...,cn
Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.
Для уравнения первого порядка общее решение зависит от одной произвольной постоянной:
Если постоянная принимает определенное значение с=с0, то получим частное решение: y=(x,c0).
Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого порядка (6.2).
Поскольку производная y характеризует наклон касательной интегральной кривой в данной точке, то при y==const из (6.2) получим f(x,y)= - уравнение линии постоянного наклона, называемой изоклиной. Меняя , получаем семейство изоклин.
Приведем геометрическую интерпретацию общего решения (6.4). Это решение описывает бесконечное множество интегральных кривых с параметром c, а частному решению соответствует одна кривая из этого семейства. Через каждую точку из области решения проходит одна интегральная кривая.
Для выделения некоторого частного решения уравнения первого порядка достаточно задать координаты (x0,y0) произвольной точки на данной интегральной кривой.
Для уравнений высших порядков для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т.е. каков порядок уравнения.
Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями х = x0, в которой они задаются, - начальной точкой.
Если же дополнительные условия задаются при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются граничными условиями.
Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента, заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами, и задача считается решенной, если найдены неизвестные значения функции в этих точках. Численные методы решения дифференциальных уравнений методом конечных разностей проводятся в два этапа:
Аппроксимация дифференциального уравнения системой линейных и нелинейных разностных уравнений
Решение полученной системы разностных уравнений.
Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, однако необходимо подчеркнуть, что эти методы в настоящее время являются основными при решении дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.
Одним из простейших разностных методов решения обыкновенного дифференциального уравнения является одношаговый метод Эйлера.
Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка:
На данном отрезке выбираем некоторую совокупность узловых точек a=x0< x1 n линейных уравнений с n неизвестными, либо зависима, либо несовместна, то мы должны считать, что mЧисленные методы методичка. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Доклад: Феноменологическая и экзистенциальная установки в психотерапии
Примеры Из Литературы Для Сочинения Огэ 9.3
Контрольная работа: Коснтитуция и ее значение в РФ
Нормы Радиационной Безопасности Реферат
Итоговая Контрольная Работа Информатика 9
Аналитикалық Эссе Дегеніміз Не
Курсовая работа: Способы и порядок образования юридического лица. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение Миниатюра Зачем Нужны Волшебные Слова
Реферат: Свадебная обрядность у бурят. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Джокьякарта султанат
Реферат по теме Отчет по пpактической pаботе 'Изучение MS Windows & MS Word 4 Windows 2.0'
Реферат по теме Жан Бодрийяр
Реферат: Покоління ЕОМ
Реферат На Тему Право Працівника На Заробітну Плату
Реферат по теме Приемы стимуляции
Концепции Принятия Решений Курсовая
Ответ на вопрос по теме Билеты к экзамену “История психологии”
Эксплуатация Скважин Шгн Реферат
Реферат: Производство аммиака: краткая характеристика
Реферат: Гражданско-правовой режим культурных ценностей в российской федерации
Правовые отношения - Государство и право курсовая работа
Управление внутренней средой муниципального образования - Государство и право курсовая работа
Физическая реабилитация при травмах локтевого сустава, костей предплечья и кисти - Медицина реферат