Бенуа Мандельброт. Один из тех, кто открыл мир заново

Давайте немного отвлечемся от наполненной событиями прошедшей недели и в этот прекрасный воскресный день вспомним Бенуа Мандельброта.

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Изобретенная вакцина может спасти миллионы людей, создание оружия, наоборот, эти жизни отнимает. Совсем недавно (в масштабе человеческой эволюции) мы научились «укрощать» электричество — и теперь не можем себе представить жизнь без всех этих удобных устройств, использующих электроэнергию. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве в еврейской семье, которая в 1936 году эмигрировала во Францию. Будущий автор теории фракталов учился в Политехнической школе в Париже. Здесь Бенуа попал под влияние своего дяди Шолема Мандельброта, известного математика, участника знаменитой группы Николя Бурбаки, цель которой состояла в написании серии книг, чье строгое изложение отражало бы современное состояние математики.

После начала оккупации Мандельброты бежали на юг Франции, где Бенуа вскоре потерял интерес к учебе, так как открывшийся у него математический дар переориентировал его на задачи, находящиеся далеко за пределами школьной программы. Сразу после войны он становится студентом Сорбонны, после окончания которой, переезжает в США, где получает научную степень в Калифорнийском технологическом институте. Вернувшись во Францию, он получает докторскую степень, в 1955 году женится на Альетт Каган и переезжает в Женеву.

В 1958 году Мандельброт возвращается в США, где работает штатным сотрудником в исследовательском центре компании «IBM» в Йорктауне. В то время сотрудники центра трудились над передачей данных на расстояние. В ходе исследований ученые столкнулись с проблемой больших потерь, возникающих из-за шумовых помех. Перед Бенуа стояла сложная и очень важная задача — понять, как предсказать возникновение шумовых помех в электронных схемах, когда статистический метод оказывается неэффективным.

Для ее решения Мандельброт первым в мире применил метод рекурсивного (рекурсивной называется последовательность, каждый следующий элемент которой функционально зависит от предыдущих элементов) построения фрактальных множеств. Понятие «фрактал» (от лат. fractus – «сломанный, разбитый») – также его личное изобретение.

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров-завихрений.

Фрактальный рисунок не имеет идентичных элементов, но обладает подобностью в любом масштабе. Построить такое изображение с высокой степенью детализации вручную ранее было просто невозможно, на это требовалось огромное количество вычислений.

Один из первых рисунков фрактала была графическая интерпретация множества Мандельброта, которое родилась благодаря исследованиям Гастона Мориса Жюлиа. 

Этот французский математик задался вопросом, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи. Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел.

Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно проделать огромное количество вычислений — сотни, тысячи, миллионы. Вручную это сделать было просто нереально. Но когда в распоряжении математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли по-новому взглянуть на формулы и выражения, которые давно вызывали интерес. Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

В 1975 году Бенуа Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», в которой сформулировал теорию сложных геометрических фигур, обладающих свойством самоподобия, и применил ее для анализа естественных образований природы. Во введении к этой работе он писал: «Облака – не идеальные сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, кора дерева – не гладкая, и молния не распространяется по идеально прямой линии».

Теория фракталов давно нашла применение в математических моделях экономики, физике, химии, астрономии и других областях знания. Фракталы – инструмент для анализа состояния биржевых рынков. В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании пламени, облака и других нелинейных процессов. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов. Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов – деревьев, горных ландшафтов, поверхности моря и т. д.

Дядюшка Бенуа - Шолем Мандельброт отмечал у своего юного племянника уникальный дар, с помощью которого тот успешно применял геометрические методы для решения сложных алгебраических задач. Пространственное воображение помогало юному Бенуа переформулировать задачу и решить ее качественно иным методом. Именно этот принцип впоследствии был применен ученым для того, чтобы решить сложную статистическую задачу и обнаружить в хаотическом колебании графика цен на хлопок структурно подобные образования и правильно их интерпретировать – в соответствии с общим принципом формирования природных структур. 

Петр Леонидович Капица был убежден, что эрудиция не является необходимой чертой ученого, обращенного к созданию новых фундаментальных представлений. Необходимыми для открытия Капица считал воображение и смелость. Обе эти черты и были присущи Бенуа Мандельброту.

Вполне возможно, уже в мая этого года, в одном, широко известном в узких кругах клубе, будет презентована новая теоретическая модель ценообразования опционов построенная с использованием фрактального подхода.