Асимптоты (определение, виды, правила нахождения) - Математика реферат
Главная
Математика
Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Нахождение асимптоты. Геометрический смысл асимптоты. Общий метод нахождения асимптоты. Виды. Горизонтальная асимптота. Вертикальная асимптота. Наклонная асимптота. Асимптота - прямая или кривая линия, которая продолжена, приближается к другой кривой.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.
Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).
Пусть функция f (x) определена для всех x а (соответственно для всех
x а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) kx l = 0 при х (соответственно при х ), то прямая
называется асимптотой графика функции f (x) при x (соответственно при х ).
Существование асимптоты графика функции означает, что при х +
(или х ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.
Найдём, например, асимптоту графика функции y = x 1
Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов,
получим y = x 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х , то прямая y = x-4
является асимптотой графика данной функции как при х + ,
Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) - точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ - асимптота,
- угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, ,
MP - перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q - точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).
Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM QM = f (x) - (kx +l),
MP = MQ cos . Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ 0 и MP 0 при х (соответственно при х ) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,
то и lim MP = 0, и наоборот. х
Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х или, соответственно, х ).
2.2 Общий метод отыскания асимптоты
Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.
Будем рассматривать для определённости лишь случай х (при х рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х . Тогда, по определению,
Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х . Тогда
Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу
Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) - kx), то прямая y = kx + l является
асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) - kx) имеем
то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) - kx)
сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует
представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) - kx)
Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.
Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,
найденную нами выше другим способом:
то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты
y = x - 4, как при х , так и при х - .
В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.
Пусть lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x +) (рис.2)
хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)
Пусть при x a 0 lim f (x) = . Тогда говорят, что прямая x = a является
вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + или .
Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид
Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения
Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b - f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b - f (x) стремится к 0 при х
Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина
и так как последний предел равен нулю, то
Зная а, можно найти и b из исходного соотношения
Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.
то есть асимптота при x + имеет уравнение y=x.
Аналогично можно показать, что при x - асимптота имеет вид y = - x.
Сам график функции выглядит так (рис.6)
Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
Определение вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот графиков функций. Точки разрыва и область определения функции. Нахождение конечного предела функции. Неограниченное удаление точек графика от начала координат. Примеры нахождения асимптот. презентация [99,6 K], добавлен 21.09.2013
Регулярная кривая и ее отдельные точки. Касательная к кривой и соприкасающаяся плоскость. Эволюта и эвольвента плоской кривой. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме. Примеры точки возврата; понятие асимптоты и полярных координат. курсовая работа [936,1 K], добавлен 21.08.2013
Гипербола и ее свойства. Каноническая система координат. Понятие эксцентриситета, его зависимость от отношения мнимой и действительной полуосей. Уравнение директрис. Определение центра, оси, вершин, фокусов, эксцентриситета и асимптоты заданной гиперболы. презентация [3,9 M], добавлен 02.06.2016
Области определения и значений функции. Заданная, монотонная, ограниченная и неограниченная, непрерывная и разрывная, четная и нечетная функции. Определение асимптоты. Степенная функция с вещественным показателем. Квадратичная и логарифмическая функции. реферат [417,9 K], добавлен 26.03.2013
Понятие и исследование функции четной, нечетной и симметричной относительной оси. Понятие интервалов знакопостоянства. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Наименьшее и наибольшее значения функции и интеграла. практическая работа [373,2 K], добавлен 25.03.2011
Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции. реферат [430,7 K], добавлен 12.06.2010
Общее понятие и признаки гиперболы. Асимптоты гиперболы как прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты. Общее понятие и формула эксцентриситета как отношения фокусного расстояния к длине действительной оси гиперболы. презентация [79,0 K], добавлен 21.09.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Асимптоты (определение, виды, правила нахождения) реферат. Математика.
Понятие Федерация Реферат
Историческое Сочинение Егэ Гражданская Война 1918 1922
Реферат: Представительство в суде РФ. Скачать бесплатно и без регистрации
Эссе На Тему Происхождение Религии
Курсовая работа по теме Ферментеры. Производство альфа-амилазы мощностью 110 кг в год
Сочинение На Тему Мое Село 7 Класс
Реферат по теме Архетипический политеизм М. Цветаевой и неоязычество в русской культуре ХХ в.
Дипломная Работа На Тему Регулирование Банковских Рисков В Российской Федерации
Написание Реферата
Контрольная работа по теме Стадия инициации, маркетинг инновации, ее выпуск (производство), реализация и продвижение, оценка экономической эффективности и диффузия
Сочинение: Образ русского воина в романе Л.Н.Толстого Война и мир
Положение На Рынке Труда В России Реферат
Курсовая работа по теме Разработка плана маркетинга на примере ООО 'Коти'
Курсовая работа: Конвертеры и перекодировщики
Реферат: Линейная часть УКВ тюнера IV-класса
Реферат На Тему Развитие Туризма В Иркутской Области
Реферат по теме Агроном - Иван Александрович Стебут
Реферат: Румыния
Реферат: Гепатит: виды, симптомы, диагностика, профилактика. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Зарубежный опыт государственного регулирования рыночной экономики на примере Франции (Доклад)
Расчет естественного и искусственного освещения - Безопасность жизнедеятельности и охрана труда контрольная работа
Трагедія Південно-Західного фронту - История и исторические личности реферат
Система воспитательной и социально-правовой работы в Вооруженных Силах Республики Казахстан - Военное дело и гражданская оборона презентация