Аппроксимация функции к полиному n степени методом наименьших квадратов - Программирование, компьютеры и кибернетика курсовая работа
Главная
Программирование, компьютеры и кибернетика
Аппроксимация функции к полиному n степени методом наименьших квадратов
Аппроксимация – процесс замены таблично заданной функции аналитическим выражением кривой. Алгоритм нахождения зависимости между заданными переменными. Условия сходимости итераций к решению системы уравнений. Методы Якоби и Гаусса. Тестирование программы.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
В настоящее время компьютеры способны облегчить работу человеку в любой сфере деятельности, так как с помощью вычислительных машин есть возможность автоматизировать многие задачи, тем самым сэкономить время на повторяющихся действиях. Компьютеры могут производить труднейшие для человека вычисления за секунды, а также исключают ошибки вычислений.
Огромное быстродействие вычислительных машин открывает новые широкие возможности для применения общих математических методов исследования в проблемах разных ветвей науки.
В данной курсовой работе рассматривается задача аппроксимации функции к полиному n степени методом наименьших квадратов с последующим нахождением корней этой функции. Вид формулы задается пользователем. Метод наименьших квадратов находит широкое применение при обработке экспериментальных данных.
В первом разделе рассмотрена математическая модель задачи нахождения полинома и расчета его корней, определяющая входные и выходные данные программы.
Во втором разделе рассмотрено проектирование программного модуля, также описана схема модуля и рассмотрен пользовательский интерфейс.
В третьем разделе рассмотрен тест программного модуля.
Если все диагональные коэффициенты , то систему можно представить в так называемом приведенном виде:
и перепишем систему (1) в виде одного матричного уравнения
Здесь ax -произведение матрицы a на вектор x.
Последовательные приближения (итерации) найдем следующим образом. Возьмем в качестве начального приближения x(0) вектор в и подставим его в правую часть уравнения (2); получим x(1). Продолжая аналогичные вычисления, придём к векторной последовательности приближений:
Если существует придел о последовательности векторов x(k), то, переходя к пределу в равенстве при k>?, убеждаемся, что о является решением уравнения (2), т. е.
Достаточные условия сходимости итераций к решению содержит следующая теорема.
Теорема. Если какая либо норма матрицы меньше единицы: ||a||<1, то уравнение (2) имеет единственное решение о, к которому стремится последовательность итераций (3) при любом выборе начального приближения x(0).
В расчетах полагают x(0)=в. Погрешность приблеженного решения уравнения (2) на k-м шаге оценивают неравенством
Из неравенства (4) можно получить оценку числа итераций k, необходимых для обеспечения заданной точности е.
Отклонение приближения x(k) от решения о по норме не будет превышать е, если
Неравенство (5) дает обычно завышенную оценку числа итераций k. В оценках (4), (5) одновременно используются согласованные нормы для матриц и векторов (m- и l-нормы).
Из неравенства (5) видно, что условие, позволяющее принять приближение x(k) в качестве решения с точностью е, можно представить в следующей удобной для вычислительного процесса форме:
Замечание. Достаточное условие сходимости для каждого уравнения системы по m-норме можно представить в виде
Здесь модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов. Естественно, что если условия (7) не выполнены, то следует применять условия сходимости по l- и k-нормам после приведения системы к виду (1) или непосредственно к неприведенной системе . Достаточное условие сходимости процесса итераций для неприведенной системы по l-норме можно представить в виде
Если система (8) не решается методом Якоби, то в программе автоматически запускается решение методом Гаусса. Суть его в том, что систему мы преобразуем, исключив сначала неизвестную a1 из второго и последующих уравнений системы. Затем вычитаем уравнение из остальных. В результате получаем систему, в которой неизвестное a1 исключено из последующих уравнений.
Разделив второе уравнение на x2, затем умножив на xn в зависимости от уравнения из которого будим вычитать и так далее пака не получим нижнюю треугольную матрицу.
Таким же методом преобразуем матрицу к диагональному виду.
Итак, решение системы уравнений представляет собой вектор
Для нахождения корне полученного полинома воспользуемся методом простой итерации. Для начала приравняем полином n-ой степени к 0, т. е. пусть f(x)=0 - некоторое уравнение. Число о называется корнем или решением данного уравнения, если оно, будучи подставлено в уравнение, обращает его в равенство, т. е. f(о)=0. Число о называют нулем функции y=f(x).
Нахождение действительных корней с определенной точностью можно разбить на два этапа:
- отделение корней, т. е. установление промежутков, в которых содержится один корень уравнения;
- вычисление корня, принадлежащего выбранному промежутку, с заданной точностью.
Известно, что если функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка [a,b] значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)<0, то внутри этого промежутка
Пусть требуется решить уравнение, представленное в виде
где правая часть уравнения - непрерывная на отрезке [a,b] функция g(x). Суть метода простых итераций (метода последовательных приближений) состоит в следующем. Начиная с произвольной точки x(0), принадлежащей отрезку [a,b], последовательно получаем
называется последовательностью итераций для уравнения (8) с начальной точкой x(0). Если все точки (9) принадлежат отрезку [a,b] и существует предел то, перейдя к пределу в равенстве
Следовательно, если существует предел последовательности итераций (9), то он является корнем уравнения (8). Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме.
Теорема. Пусть функция g(x) имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную и выполнены два условия:
- значение функции y=g(x) принадлежит отрезку [a,b] для любого .
Тогда при любом выборе начального приближения процесс итераций сходится к единственному корню о уравнения (8) на отрезке .
Оценка погрешности k-го приближения x(k) к корню о такова:
Левая граница отрезка, содержащего корень
Выдается сообщение, повторяется запрос.
Ввод неверного значения степени полинома.
Выдается сообщение, повторяется запрос
Ввод неверного номера точки для корректирования.
Выдается сообщение, повторяется запрос.
Выдает сообщение, повторяется запрос
Ввод пункта меню буквами или другими знаками, кроме цифр.
Ввод имени несуществующего файла для чтения.
Сообщение об ошибке открытия файла:
Ввод имени уже существующего файла для записи в него.
Ввод неверного номера точки для корректировки.
Ввод значения степени вне допустимого диапазона.
Введите степень полинома (от 1 до …):
Исходные данные введены правильно ( в том числе и пункт меню). Проверка правильности вычислений.
Введите степень полинома (от 1 до …):
0.00 1.34 0.00 0.69 ================
-1.10 -1.20 -2.39 1.10 1.20 2.39 1.90 8.20 7.26 3.20 26.70 26.85
При расчетах в Excel получены результаты
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel. Описание программы на языке Turbo Pascal; анализ результатов ее работы. курсовая работа [390,2 K], добавлен 02.01.2015
Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов. Линеаризация экспоненциальной зависимости. Элементы теории корреляции. Расчет коэффициентов аппроксимации, детерминированности в Microsoft Excel. Построение графиков функций, линии тренда. курсовая работа [590,9 K], добавлен 10.04.2014
Развитие навыков работы с табличным процессором Microsoft Excel и программным продуктом MathCAD и применение их для решения задач с помощью электронно-вычислительных машин. Схема алгоритма. Назначение функции Линейн и метода наименьших квадратов. курсовая работа [340,4 K], добавлен 17.12.2014
Разработка алгоритма аппроксимации данных методом наименьших квадратов. Средства реализации, среда программирования Delphi. Физическая модель. Алгоритм решения. Графическое представление результатов. Коэффициенты полинома (обратный ход метода Гаусса). курсовая работа [473,6 K], добавлен 09.02.2015
Основные методы и алгоритмы исследования. Нахождение минимума среднеквадратичного отклонения. Особенности решения нормальных уравнений. Параметры линейной аппроксимирующей функции. Расчет значений аппроксимирующей функции и среднеквадратичного уклонения. курсовая работа [749,3 K], добавлен 08.06.2019
Отделение корней методом простых интеграций. Дифференцирование и аппроксимация зависимостей методом наименьших квадратов. Решение нелинейного уравнения вида f(x)=0 методом Ньютона. Решение системы линейных уравнений методом Зейделя и методом итераций. курсовая работа [990,8 K], добавлен 23.10.2011
Решения алгебраических уравнений методом выделения корней. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов; дихотомия, бисекция. Одномерная оптимизация многоэкстремальных функций; метод золотого сечения. Многомерная оптимизация градиентным методом. курсовая работа [956,7 K], добавлен 04.03.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Аппроксимация функции к полиному n степени методом наименьших квадратов курсовая работа. Программирование, компьютеры и кибернетика.
Сочинение Бородино 5 Класс
Примеры Сочинений По Направлению Разговор С Собой
Реферат по теме Управление конфликтами, как метод менеджмента
Дипломная работа: Черные рекламные компании. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Международная торговля банковскими услугами. Скачать бесплатно и без регистрации
Как Пишется Слово Эссе На Английском
Реферат Обычай Обряд Ритуал Национальный Праздник
Курсовая Работа На Тему Анализ Структуры Капитала И Оценка Его Стоимости
Доклад: Анализ проблемы сознания в психологии
Что Значит Обозначение Эссе R49
Курсовая Работа На Тему Проектування Перетворювача Індуктивності В Напругу
Курсовая работа: Происхождение и современная география производства картофеля
Курсовая работа: Принципы обучения иностранным языкам
Мой Идеальный Дом Сочинение На Английском
Осень На Реке Сочинение
Холодная Внешняя Политика Путина Эссе
Эссе Про Петра
Реферат: Кирилл и Мефодий 2
История Возникновения Телевидения Реферат
Реферат по теме Готика. Отличия и взаимовлияние Византии на архитектуру Западной Европы
Особенности преподавания химии в средней школе с использованием химического эксперимента - Педагогика курсовая работа
Типові травми колін у спортсменів, шляхи їх уникнення та лікування - Медицина реферат
Виды и рода войск России - Военное дело и гражданская оборона презентация