Анализ ошибок заочной математической школы - Педагогика курсовая работа
Главная
Педагогика
Анализ ошибок заочной математической школы
Классификация ошибок по их психологической природе - анализ, синтез, сравнение и аналогия, абстракция, конкретизация и обобщение. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ. Общие рекомендации по проверке работ учеников 8 класса ВЗМШ.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Любая самостоятельная работа ученика по изучению материала предполагает его работу с учебными текстами. В процессе чтения у него появляются те или иные проблемы с пониманием смысла прочитанного. Преодолевать их помогает учитель. При очном обучении он может оказать эту помощь в любой момент. В заочном обучении диалог выглядит иначе: чаще всего учитель может позволить себе лишь одну письменную реплику по поводу каждой ошибки. Понятно, что это значительно увеличивает "цену" каждой реплики, и они должны быть особенно обдуманными и содержательными, чтобы с их помощью обучаемый мог понять ошибку и исправить ее без дальнейшего вмешательства преподавателя.
Проблемы, которые возникают у ученика в процессе работы с учебным текстом, можно разделить на типичные и индивидуальные. Индивидуальные -- это те, которые связаны с особенностями данного ученика. Типичные носят массовый характер. Их в свою очередь можно разделить на два вида: 1) ошибки, спровоцированные изъянами учебного текста; 2) ошибки, связанные с психологией ученика. Ошибки первого рода перестают составлять проблему после соответствующей корректировки пособия. Ошибки же второго рода учителю приходится исправлять и комментировать снова и снова каждому новому ученику. В такой ситуации возникает потребность в типовых комментариях, которые учителю достаточно было бы лишь адаптировать к различным конкретным ситуациям. Предназначенные для постоянного использования, они должны быть как можно более качественными. Это подразумевает выявление психологической природы каждой типичной ошибки с последующим поиском наиболее убедительного способа не просто объяснить ученику, что была сделана ошибка, но и "развенчать" спровоцировавшие ее мотивы, чтобы ученик не допускал подобных ошибок впредь. Соответствующее исследование на примере заданий курса 8 класса Всероссийской заочной многопредметной школы, занимающейся дополнительным образованием одаренных школьников, и составляет основную цель настоящей работы. При составлении рецензий по ошибкам будем руководствоваться следующими принципами: задача, поставленная перед учеником, должна быть доступной (иначе она приведет к задержке процесса обучения или совсем отобьет интерес ученика к решению задач); доля самостоятельной работы ученика максимальна (при такой форме наиболее быстрые темпы развития мышления, да и материал усваивается прочнее); обучение общим теоретическим принципам, а не работе с частными примерами; применение учеником методов при решении задач должно быть осознанным.
Работа состоит из трех параграфов. В первом из них мы дадим обзор некоторых типичных видов ошибок, взяв за основу мыслительные операции, совершаемые при решении задач. Второй параграф посвящен разбору ошибок, наиболее часто встречающихся в работах учащихся 8 класса ВЗМШ. Наконец, в третьей главе эти ошибки группируются по их психологической природе и обсуждается возможная реакция проверяющего на ошибки каждой из групп. Полученные результаты могут быть использованы проверяющими ВЗМШ при рецензировании работ учащихся.
§1. Классификация ошибок по их психологической природе.
В процессе мыслительной деятельности ученик познает н овые объекты и связи между ними с помощью особых умственных операций. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления, поэтому четкого разделения ошибок на классы сделать невозможно. Тем не менее, можно выделить ошибки, которые могут возникнуть при определенном типе мыслительного процесса.
Анализ - это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений [2]. Анализ применяется при изучении понятий, предложений и при доказательстве утверждений.
Одним из видов анализа является следующая процедура: разложение множества рассматриваемых объектов A на несколько подмножеств B 1 , B 2 , …, B n ("случаев") по какому-то определенному критерию и работа с каждым из них отдельно. При этом должны выполнятся следующие условия: 1) объединение всех подмножеств должно совпадать с самим множеством ; 2) пересечение любых двух подмножеств пусто Впрочем, выполнение второго свойства необходимо лишь в задачах на подсчет объектов. В задачах на доказательство это условие необязательно.
Исходя из вышесказанного, при решении задач методом разложения класса на подмножества могут возникнуть ошибки двух видов:
1) существуют объекты, которые не были рассмо т рены: (неполный пер е бор).
Задача А1: В математическом кружке занимается 20 учеников. Им задали на дом 20 задач. Оказалось, что каждый член кружка решил ровно 2 задачи, и каждая задача решена ровно двумя учениками. Докажите, что руководитель кружка сможет так организовать разбор всех задач, что каждый ученик расскажет решение задачи, которую он сам решил. Если сможет, то сколькими способами? [6]
Решение: Начертим граф, в котором вершины - ученики, ребра - задачи. Если две вершины (ученика) соединены ребром (задачей), значит ученики решили одну и ту же задачу. От каждой вершины отходит ровно два ребра, так как каждый решил ровно две задачи. Если этот граф развернуть, то получится замкнутый контур (см. рисунок). Наглядно понятно, что существует два способа распределения задач. Они строятся следующим образом. Первый: ученик «1» рассказывает задачу «з1», ученику «2» остается рассказать лишь задачу «з2», ученику «3» - «з3» и так далее, ученик «20» рассказывает задачу «з20». Второй: ученик «1» рассказывает задачу «з20», ученик «20» - «з19», …, ученик «2» - рассказывает задачу «з1». Получается, что преподаватель сможет организовать разбор задач двумя способами.
Анализ ошибки. Не рассмотрен случай, когда граф состоит из нескольких замкнутых частей, например такой граф (см. рисунок). В этом случае разбор может быть осуществлен 2 n способами, где n - количество контуров. Причина в том, что при составлении цепочки от какого-то ученика школьник не рассматривает случай ее замыкания раньше, чем на 20 звене. Таким образом, ученик произвел неполный перебор: не рассмотрел случай несвязного графа.
2) в разложении существует два подмножества B i и B k такие, что .
Рассмотрим задачи, в которых требуется сосчитать количество объектов, удовлетворяющих данному условию.
Задача А2: Сколько существует положительных чисел, меньших 100, которые делятся на 2 или на 3.
Решение: Чисел, делящихся на 2 - 49. Чисел, делящихся на 3 - 33. Чисел, делящихся на 2 или на 3: 49 + 33 = 82.
Анализ ошибки: При решении данной задачи не было учтено существование чисел, которые делятся на 6 (на 2 и на 3). В результате такие числа были подсчитаны два раза: первый - как делящиеся на 2, второй - как делящиеся на 3.
При решении такого рода задач (задач на подсчет количества элементов, удовлетворяющих условию задачи), следует разделять множество всех объектов на попарно непересекающиеся множества или каким-то образом учитывать их пересечения.
Другое дело, если мы проводим отдельно для каждого множества, объединение которых дает весь класс, какое-либо построение, нахождение (скажем, корней уравнения) или доказательство. Пересечение множеств при этом может быть и не пустым, на результат это не влияет. Главное, чтобы каждый из объектов принадлежал хотя бы одному из рассматриваемых множеств. В противном случае решение будет неполным. Приведем пример:
Пример А3: Все треугольники равновелики.
Решение: Пусть стороны треугольника равны a , b , c , соответствующие высоты h a , h b , h c , площадь равна S .
Для обозначения треугольников будем использовать те же обозначения только с соответствующим числом штрихов.
Умножив обе части равенства (3) на и раскрыв скобки, получим:
Прибавив к обеим частям равенства (4) разность , получим:
Анализ ошибки: В данном случае переход от (5) к (6) не равносильный, так как равенство (5) выполняется в двух случаях:
Заметим, что всегда. Поэтому, отбросив первый случай, ученик по сути дела пошел по неверному пути. Все ученики хорошо знают, что на ноль делить нельзя. Тем не менее они часто делят на выражения без проверки равенства последних нулю.
Приведем еще один пример, когда рассмотрены не все возможные случаи.
Пример А4: Дан треугольник ABC . Проведена высота BH , равная 4. Найдите площадь треугольника ABC , если известно, что AH =6, BC =5.
Решение: Так как треугольник BCH прямоугольный, то
Площадь треугольника ABC соответственно равна:
Анализ решения: В рассуждениях ошибок нет, но не рассмотрен случай, когда треугольник ABC - тупоугольный. Рассуждения будут аналогичными, а ответ другой. Очевидно, ученик бессознательно использовал в решении особенности своего чертежа, не вытекающие из условия задачи.
Синтез - это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Синтез не является механическим соединением частей и поэтому не сводится к их сумме [2].
Главное в процессе синтеза - учесть все условия, все данные, чтобы получить адекватный результат. Всем известно, что бывает, если не учесть одно из уравнений системы; как трудно иногда решить задачу по геометрии, позабыв про какие-то данные; построить график функции, не исследовав ее производную и т. п. Рассмотрим примеры, когда одно из условий не учтено.
Решение: так как знаменатель дроби всегда положителен, то он не влияет на знак. Получаем, что решением неравенства будет промежуток (-3; 3).
Анализ ошибки: Знаменатель действительно не влияет на знак неравенства, но при равенстве последнего нулю дробь не имеет смысла, поэтому x = 0 следует исключить из множества решений.
Таким образом, от того, в какой степени учтены свойства исследуемого объекта, зависит конечный результат синтеза.
Сравнение - это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками . Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Процесс сравнения и аналогия тесно связаны. Можно сказать, что сравнение подготавливает почву для применения анал о гии . С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Рассуждения по аналогии можно представить следующей схемой:
Объект A обладает свойствами c 1 , c 2 , …, c n .
Объект B обладает свойствами c 1 , c 2 , …, c n -1 .
Предполагается, но не утверждается, что B обладает свойством c n . Именно поэтому аналогию нельзя считать доказательным методом, ее еще надо обосновать. Тем не менее, рассуждения по аналогии полезны в процессе обучения, так как подразумевают самостоятельную формулировку новых теоретических фактов. Основная ошибка школьников при применении аналогии - это отсутствие рассуждений, которые бы полностью ее обосновывали. Без них решение является неполным или просто неверным.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в решениях школьников виды необоснованных аналогий:
1) Расширение сферы применения теоремы. Появление такого рода ошибки, как правило, связано с формальным знанием теоремы или свойства. В сознании ученика четко не выделены условия применимости теоремы, и в результате некоторые из них остаются за пределом его рассмотрения. Следствием этого является незаконное использование теоремы. По сути ученик применяет не теорему, а ее аналог, который нередко оказывается неверным. Рассмотрим пример:
Пример A н1 : Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.[5]
Доказательство: Дана окружность с диаметром AB . Выберем на ней произвольно точку C . Середина AC - точка D . Проведем через точки B и D хорду BE . Теперь соединим точки C и E .
Рассмотрим треугольники ADB и DCE . Они равны по стороне и двум углам : AD = DC по построению; B = C как вписанные, опирающиеся на одну дугу AE ; ADB = CDE как вертикальные. Значит соответствующие стороны AB и EC равны.
Анализ ошибки: «Равенство треугольников по стороне и двум углам» - именно такую условную формулировку часто дают признаку равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. В результате школьники просто ищут пары равных элементов: AD = DC , B = C , ADB = CDE . При этом условие, что углы должны быть прилежащими соответственно к сторонам AB и DC , забывается. Буквальное восприятие условной формулировки признака равенства треугольников приводит к замене его совсем другим. Произошло расширение сферы применения признака. Ученик воспользовался им без выполнения надлежащих условий, он заменил их на более общие. Это и привело к противоречивому факту - равенству хорды, не проходящей через центр, диаметру. В этом случае лучше всего будет, если ученик самостоятельно, просмотрев предварительно точную формулировку признака равенства треугольников, найдет у себя ошибку.
2) Использование вместо теоремы обратного к ней у т верждения. Смысл рассуждений при этом заключается в следующем: если у нас верно A B , то верным будет и B A . Понятно, что это выполняется не всегда. Приведем простой пример, когда обратная теорема не верна, и ее применение приводит к противоречивому результату.
Пример Ан2: Докажем, что все числа равны.
Для этого возьмем два произвольных числа a и b . Докажем, что a = b .
0 = 0 a 2 - 2ab +b 2 = b 2 -2ab + a 2 (a - b) 2 = (b - a) 2 a - b =
Переход (a - b) 2 = (b - a) 2 a - b = b - a не верен. Дело в том, что из равенства чисел следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство чисел (будут равны лишь их модули).
3) Ошибки при попытке обобщения. Пусть у нас имеется класс A и класс B . Для элементов класса A выполняется свойство C A . Делается предположение, что для элементов класса B будет выполняться условие C B , которое построено по аналогии со свойством C A в соответствии с особенностями класса B . Например:
Задача Ан3: В прямом параллелепипеде ребра равны a , b , c . Найдите длину главной диагонали.
Решение: Так как в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон, то квадрат главной диагонали в прямом параллелепипеде будет равен сумме квадратов его ребер, то есть a 2 + b 2 + c 2 .
В данном случае утверждение, полученное по аналогии, верно, но не доказано.
Другой пример: в плоскости любая прямая задается уравнением вида Ax + By + C = 0 . Предположение, что в пространстве любая прямая будет задаваться уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0 не верно.
Задача учителя - объяснить ученику, что утверждение, полученное по аналогии с верным, может оказаться неверным. Поэтому оно требует отдельного доказательства.
1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение.
Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных [2]. Абстрагирование, процесс применения абстракции, обычно осуществляется в результате анализа. При этом признак, отделяемый от объекта, становится самостоятельным объектом мышления.
Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть его содержание [2].
Обобщение - мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам [2].
Эти три процесса тесно взаимосвязаны между собой. Абстрагирование, как правило, происходит лишь после обобщения, когда объект абстрагирования выделен. Конкретизация - процесс, обратный к абстрагированию.
Обобщение можно определить, как переход от единичного к общему. Рассматриваются конкретные объекты класса. У этих объектов замечается выполнение определенного свойства, делается предположение, что для всех объектов класса это свойство будет выполняться. На самом деле есть определенная схожесть с аналогией, но есть и отличие: при обобщении мы можем с помощью абстрагирования работать с классом, как с одним объектом. Например, любое число, делящееся на 5 можно представить в виде 5 k . Доказав какое-то свойство для этого объекта, мы тем самым докажем это свойство для всего класса. Обратное происходит при конкретизации: если свойство верно для всего класса, то для конкретного объекта этого класса свойство будет выполняться.
Рассмотрим ошибки, которые могут возникать при этих процессах.
Одна из распространенных ошибок - необоснованность обобщений. Свойство класса при этом просто замечается, но не доказывается, оно, как правило, проверяется лишь для нескольких элементов класса. Рассмотрим классический пример, принадлежащий Л. Эйлеру:
Пример О1: Верно ли, что при любом натуральном n n 2 + n +41 - простое число?
Доказательство: при n = 1: n 2 + n + 41 = 43 - простое число;
при n = 2: n 2 + n + 41 = 47 - простое число;
при n = 3: n 2 + n + 41 = 53 - простое число;
при n = 4: n 2 + n + 41 = 61 - простое число;
при n = 5: n 2 + n + 41 = 71 - простое число;
и т. д. При остальных n выражение n 2 + n + 41 также будет простым числом.
Обобщение в этом случае не только не обосновано, но и опровергается конкретным примером: при n = 41 имеем n 2 + n + 41 = 41 2 + 41 + 41 = 41 (41+2) = 41 43.
В жизни обычно на основе проверки свойства у нескольких объектов класса делается вывод, что данное свойство выполнимо для всего класса в целом. Примерно так строилось большинство физических законов; на ограниченном числе опытов выводились биологические и химические закономерности. Конечно, обобщение - это неотъемлемая часть построения гипотез. Но именно гипотез, из которых лишь впоследствии вырастают логически обоснованные теории. Из рассмотренного выше примера видно, что проверенное даже на многих конкретных примерах утверждение (для натуральных чисел, меньших 41, оно выполняется) может оказаться ложным. Подобные ситуации и вынуждают приводить полные доказательства полученных обобщений, независимо от степени уверенности в справедливости данной гипотезы.
Ошибочность полученной с помощью обобщения гипотезы нередко бывает связана с нереферентностью неосознанно проведенной выборки рассмотренных для ее выдвижения объектов. Они в таких случаях обычно подбираются по принципу «что ближе лежит (или лучше знаем), то и берем». В результате предполагаемый ответ может оказаться неверным для объектов, которые "лежат дальше".
Пример О2: Найдите множество всех решений нераве н ства x 3 - x 0 ( х R ).
Анализ ошибки: Ученик просто подобрал ответ, подставляя в неравенство только целые числа. Поэтому-то промежуток (0,1) он также включил в ответ (ведь в нем нет ни одного целого числа, а 0 и 1 удовлетворяют неравенству). Изучив нецелые числа, ученики тем не менее стараются по возможности обходится без них. Такой разрыв между теоретическими знаниями и обыденным сознанием зачастую ведет к неверным выводам вроде сделанного выше. В данной ситуации лучше всего посоветовать ученику решить неравенство методом интервалов, сравнить полученный ответ с первым и попытаться понять, почему его первоначальная гипотеза оказалась неверной.
Решения, в которых доказательство свойства для всего класса необоснованно заменяется проверкой лишь для одного или нескольких конкретных объектов этого класса, вообще встречаются в работах школьников достаточно часто. Рассмотрим еще один пример.
Задача О3: Докажите, что сумма любых десяти подряд идущих нечётных чисел делится на 20.
Решение: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19 = 100, делится на 20. Остальные суммы тоже делятся на 20.
Анализ решения: Из того, что свойство выполняется для одной последовательности чисел, еще не следует выполнение свойства для любой другой последовательности. Например, почему 1333 + …+ 1351 делится на 20? От ученика требуются пояснения, которые бы доказывали свойство для всех последовательностей, а не проверка свойства на конкретном примере. Поэтому и оценка решения должна вестись прежде всего на основе того, проверяет ученик свойство для частных случаев или он проводит свои рассуждения для всего класса рассматриваемых объектов. В нашем случае видно, что ученик просто подсчитал сумму, никакой предпосылки для обобщения он не выделяет.
Рассмотрим пример, когда строгого доказательства нет, но все-таки его можно считать верным.
Задача О4: Число при делении на 5 дает остаток 2. Какой может быть остаток при делении на 10?
Решение: 2 = 50 + 2 = 100 + 2 , 7 = 51 + 2 = 100 + 7 , 12 = 52 + + 2 = 101 + 2 и так далее, при увеличении числа на 5 никаких других остатков, кроме 2 и 7 не будет.
В этом случае более строгих пояснений не требуется, так как действия с оставшимися объектами достаточно ясны.
В отличие от обобщения, при конкретизации происходит переход от общего к частному: от понятия к объекту, который этим понятием характеризуется; от теоремы к применению этой теоремы. В связи с этим возникают ошибки следующего вида: 1) неточное понимание определения; 2) неправильное применение теоремы, свойства.
В понимание структуры определения входит:
1) понимание смысла определения (раскрытие содержания понятия).
2) понимание строения определения (родовой и видовой признаки).
3) знание условий, которым должно удовлетворять правильное определение (указываются только основные признаки, не должно быть “порочного круга”).
Ученики могут понимать определение более узко (множество объектов, подходящих под определение, меньше действительного) или более широко (множество объектов, подходящих под определение, шире действительного).
· по определению делимости 5 делится на 2, так как существует число 2,5 такое, что 5 = 22,5. Множество объектов шире действительного, так как оба множителя должны быть целыми числами.
· многие школьники четырехугольник понимают как выпуклый, понятия о существовании невыпуклого четырехугольника нет, так как в школьной практике ученики работают почти исключительно с выпуклыми фигурами. Множество объектов, удовлетворяющих определению, эже действительного.
Ученики в рассуждениях иногда используют предложения, которые к рассматриваемому объекту применять нельзя. Например:
Задача О5: Основание призмы имеет площадь S . Ее боковое ребро длиной k наклонено к основанию под углом . Найдите объем призмы.
Решение: Объем призмы равен произведению площади основания на длину бокового ребра, поэтому V = S k .
Анализ ошибки: В данном случае ученик воспользовался формулой вычисления объема для прямой призмы. Для наклонной призмы эта формула не верна, следовательно, применять ее нельзя. Единственный способ искоренить ошибку - показать ученику наглядно, что его рассуждения противоречивы. Для этого возьмем прямую призму. Разделим ее на две равные части так, как показано на рисунке. Составим из этих частей наклонную призму. Понятно, что их объемы должны быть равны. Если же действовать подобно ученику при вычислении объемов, то объем наклонной призмы будет больше, чем объем прямой призмы.
§2. Ошибки школьников ВЗМШ и их анализ.
Задача 1-7. A B содержит 25 элементов, A B - 10 элементов, B содержит 15 элементов. Найти количество элементов в A.
Рассуждения ученика: Так как множество B содержит 15 элементов, то множество A будет содержать 25 - 15 = 10 элементов.
Анализ ошибки: Следует заметить, что, выполняя задание “Комбинаторика”, большинство учеников впервые знакомятся с теорией множеств. В связи с этим они пытаются найти свойства, схожие со свойствами уже знакомых им объектов. Так операцию объединения двух множеств школьники часто связывают с операцией сложения двух чисел. Это вполне логично, ведь в свою очередь числа еще в младшем возрасте они изучали при помощи подручных предметов, к примеру, тех же счетных палочек, то есть, фактически, с помощью операций над множествами. При решении задачи ученик действовал с множествами, как с числами. Это было бы верно, если бы пересечение множеств было пустым, как при работе со счетными палочками. Но если это не так, то число элементов в объединении и сумма количеств элементов в каждом из множеств - это разные величины. Но ученик действовал по уже сформированному стереотипу, поэтому в ответе он получил не количество элементов множества A , а количество элементов, принадлежащих только A . Исходя из классификации, данной в §1, эту ошибку следует отнести к классу необоснованных ан а логий . Причина ошибки состоит в том, что ребенок при решении задачи неосознанно работает с любыми двумя множествами как с непересекающимися. Проверяющему следует помочь ученику разобраться в понятиях пересечения и объединения, сделав упор на том, что отличает объединение множеств от сложения чисел. Это можно сделать, разобрав конкретную задачу. Целесообразно использовать круги Эйлера, так как графические иллюстрации помогают ученику лучше воспринимать информацию. Рассмотрим конкретный пример.
Задача . Множество A содержит 7 элементов, множество B - 10, объединение множеств A и B - 15.Сколько элементов содержит пересечение множеств A и B ( c )?
Объединение множеств A и B можно разделить на три подмножества: 1) элементы, принадлежащие только множеству A ; 2) элементы, принадлежащие пересечению множеств A и B ; 3) элементы, принадлежащие только множеству B . Сложив количество элементов трех групп, мы получим количество элементов в объединении множеств A и B . Это видно и на кругах Эйлера. Обозначим за x - количество элементов пересечения. Тогда в первой группе 7 - x элементов, во второй x , в третьей 10 - x . В объединении (7 - x ) + x + (10 - x ) = 17 - x = 15 x = 2. Можно предложить ученику решить данную задачу в общем виде, заменив числа 7, 10 и 15 на a , b и с. Тем самым он получит выражение с = a + b - х , характеризующее количественное отношение двух множеств.
Задача 1-14. Записать формулами множества, заштрихованные на диаграммах (приведено несколько диаграмм, из которых мы рассмотрим одну).
Рассуждения ученика: Интересующее нас множество можно записать как A C + B C .
Анализ ошибки: Ученик отождествляет сложение с объединением. Надо убедить его, что между этими двумя операциями есть разница.
Не так важно, как называет ученик объединение (“объединение первого и второго множеств” или “прибавим к первому второе множество”, как-то иначе), важно то, что он подразумевает под ним, понимает ли он суть операции объединения. Поэтому нельзя считать, что ученик действовал при решении данной задачи неправильно. Надо указать, что при оперировании с числами употребляется знак “+”, а с множествами - “”. Разделение этих операций исключает из рассуждений ненужную путаницу.
Рассуждения ученика: Интересующее нас множество можно записать формулой A C + B C - A B C .
Анализ ошибки: ученик множествами оперирует, как числами. Он решает совсем другую задачу: сколько элементов содержит заштрихованное множество. Задача проверяющего - разъяснить разницу между множеством и количеством элементов в этом множестве. Ошибка напрямую связана с формальным знанием определений операций над множествами. По классификации она относится к разделу неправильное понимание определения (неверная конкретизация). Поэтому в данной ситуации проверяющему рекомендуется дать кроме приведенных в методическом пособии определений на диаграммах, словесные определения:
AB - множество всех элементов, которые принадлежат либо A либо B.
На таких, очевидных с виду задачах, подобных задаче 2-6, и нужно развивать умение строго обосновывать каждый шаг в рассуждениях.
Задача 3-5. б) Четыре футбольных команды A , B , C и D , провели друг с другом несколько тренировочных матчей. Известно, что команда A участвовала в 6 матчах, команда B - в 5, C - в 7, D - в 10. Сколько всего состоялось матчей?
в) Три футбольных команды, A , B и C провели друг с другом несколько тренировочных матчей. Известно, что команда A участвовала в 6 матчах, команда B - в 7 матчах, а команда C - в 11 матчах. Сколько матчей сыграли друг с другом команды A и C ?
Рассуждения ученика сводятся к рассмотрению конкретных графов, иллюстрирующих турнир. Подсчитав количество матчей, он дает ответ.
Анализ ошибки: Нет гарантий, что при построении другого графа ответ будет таким же. Это необоснованное обобщение в многих случаях приводит к неполному ответу. Приведем конкретный пример.
Возьмем 4 команды. A сыграла одну игру, B - две, C - три , D - две . Сколько игр сыграли между собой команды B и C ? Понятно, что ответ неоднозначен. Может быть две игры, может быть одна.
Пусть теперь ученик докажет, что в его задаче такая ситуация не возникнет. Это подтолкнет его к рассуждениям в общем виде, и не стоит на этом этапе писать подсказки, которые лишают ученика возможности самостоятельного решения задачи. Ученик должен сам дойти до сути, в этом состоит один из главных принципов обучения в ВЗМШ.
Задача 3-6. Можно ли устроить такой турнир, чтобы в нем:
а) участвовало 13 команд, и каждая команда сыграла ровно 5 матчей;
б) участвовало 10 команд, и каждая команда сыграла бы ровно 5 матчей;
в) участвовало 9 команд, и каждая команда сыграла бы 4 матча?
Рассуждения ученика: а) так как каждая команда сыграла 5 матчей, то всего было игр, то есть не целое число. Но в любом турнире всегда количество игр - целое число. Приходим к противоречию. Следовательно турнир устроить нельзя.
б) Подсчитаем количество игр: - целое число. Значит турнир устроить можно.
в) Подсчитаем количество игр: - целое число. Значит турнир устроить можно.
Анализ ошибки: В рассуждениях пункта а) никаких замечаний нет. Действительно, в любом турнире число игр целое (*). Есть сомнения в пунктах б) и в). Ученик использует утверждение, обратное (*): если при подсчете количества игр мы получаем целое число, то турнир можно устроить. На самом деле это утверждение не такое уж и очевидное и требует доказательства. Ошибка: использование вместо теоремы обратного к ней утверждения . Приведем пример того, что при выполнении прямого утверждения обратное ему не всегда выполняется:
Можно ли для пяти команд устроить турнир в один круг так, чтобы четыре из них сыграли бы по четыре игры, а одна - две?
Понятно, что такой турнир устроить нельзя. Если четыре команды сыграют по четыре игры, то и пятая при этом должна будет сыграть тоже четыре. Число игр при этом - цело
Анализ ошибок заочной математической школы курсовая работа. Педагогика.
Дипломная Работа На Тему Проектирование Производственной Инфраструктуры Мупбо "Бодрость"
Дипломная работа по теме Правовая природа трудового договора
Реферат: Speed Skating Essay Research Paper Speed SkatingWhen
Титова Екатерина Алексеевна Диссертация
Чем Актуален Роман Гончарова Обломов Сегодня Сочинение
Реферат: История кулинарного искусства - суп-гуляш
Практическое задание по теме Лечение хронического колита
Курсовая работа по теме Понятие и цели уголовного наказания
Всероссийский Контрольные Работы 4 Класс
Курсовая работа по теме Тунельна піч з арочним склепінням продуктивністю 19 млн. шт. будівельної цегли в рік, ширина каналу 3 м
Реферат: By Fredrik Erixon of the European Centre for International Political Economy
Контрольная работа по теме Фінансові посередники інвестиційної діяльності на ринку України
Анализ Платежеспособности Предприятия Дипломная Работа
Курсовая работа: Ответственность по договору туристического обслуживания. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение: Гоголь Н.В.
Информационная Безопасность В России Реферат
Реферат Современная Экономическая Система Рф
Реферат: Основные теории финансов. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: Sunday Morning Essay Research Paper In Wallace
Реферат по теме Судебная система США
Дослідження лексико-семантичної групи слів на позначення музичних інструментів в англійській та українській мовах - Иностранные языки и языкознание курсовая работа
Страховое мошенничество и уголовная ответственность за его совершение - Государство и право дипломная работа
Этнографические группы чувашей - Краеведение и этнография реферат