Aléatoire dans les paramètres

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Aléatoire dans les paramètres
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Lorsqu'à chaque événement élémentaire de on associe un nombre réel, on définit une variable aléatoire . Une variable aléatoire se note généralement par une lettre majuscule (X, Y ou Z etc...). L'ensemble des valeurs réelles que peut prendre une variable aléatoire X sur se note . Avec notre exemple précédent, on a : .
La variable aléatoire ! suit la loi binomiale de paramètres 7=3 et 6 = $ *. On représente dans un arbre de probabilité les issues de l'expérience composée de 3 tirages. On cherche à calculer #(!=2), on repère donc les chemins présentant deux succès (*). On en compte 3. Chacun de ces chemins correspond au calcul de probabilité ...
Réorganiser les questions de façon aléatoire Dans Forms, ouvrez votre formulaire. Cliquez sur Paramètres Présentation. Activez l'option Trier les questions en mode aléatoire . Réorganiser les ...
Les paramètres du second ordre du champ aléatoire Σ sont définis par sa moyenne≪ Σ ≫, sa fonc-tion de covarianceC Σ et sa densité spectrale de puissance (DSP)S Σ deΣ. En désignant par E [.] l'opérateur espérance mathématique, par < ., . > le produit scalaire euclidien canonique de R 3 et en posant : -ν = (ν 1, ν 2, ν 3 ), -ϑ = (ϑ 1, ϑ 2, ϑ 3 ),
Pour ouvrir les paramètres de lecture des vidéos, sélectionnez le bouton Démarrer, puis entrez Paramètres . Sélectionnez Paramètres > l'>la lecture vidéo. Si vous avez des problèmes avec la lecture vidéo, voir Résoudre les problèmes de lecture de vidéos médiocres.
Elle indique de quelle manière la série statistique ou la variable aléatoire se disperse autour de sa moyenne ou son espérance. Elle est donnée par la relation suivante : 𝝈 𝟐 = 𝑵𝒊=𝟏(𝑿𝒊−𝝁)𝟐 𝑵 (II.19) II.6.3. L'écart type L'écart type est calculé comme racine carrée de variance. Il mesure généralement la quantité de variation de la moyenne.
23. Juni 2021 La forêt aléatoire est également un algorithme très pratique car les hyperparamètres par défaut qu'il utilise produisent souvent un bon résultat de prédiction. Comprendre les hyperparamètres est assez simple, et il n'y en a pas beaucoup non plus.
Vous pouvez faire en sorte que les images soient affichées dans un ordre aléatoire lorsque vous démarrez un diaporama. Pour ce faire, ouvrez le menu de l'application dans la barre supérieure, cliquez sur Préférences et accédez à l'onglet Plugins. Ensuite, cochez Slideshow Shuffle et fermez la boîte de dialogue.
27. Juni 2022 Naviguez dans les répertoires de votre PC pour sélectionner l'image à utiliser en fond d'écran du bureau de Windows et cliquez sur Choisir une image. Votre photo est alors automatiquement ...
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Approche probabiliste pour le calcul du courant induit en sortie d’une ligne de



Estimation des paramètres du second ordre du champ aléatoire (Vous êtes ici)



Sur l’importance du coefficient de qualité et sa relation avec la conductivité des



Résolution numérique des équations de Maxwell et modélisation dé-



La méthode de collocation déterministe



Influence de la cavité sur la résistance interne du dipôle et la puissance d’alimen-







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Les paramètres du second ordre du champ aléatoireΣ sont définis par sa moyenne≪ Σ ≫, sa

fonc-tion de covarianceC Σ et sa densité spectrale de puissance (DSP)S Σ deΣ.

En désignant par E[.] l’opérateur espérance mathématique, par < ., . > le produit scalaire euclidien

canonique de R 3 et en posant :
-ν = (ν 1 , ν 2 , ν 3 ),

ces grandeurs statistiques sont définies pour chaque valeur def , comme suit :
• ≪ Σ ≫ est l’élément constant de R 6 tel que,∀ν ∈ R 3 :

• C Σ est l’application matricielleν → C Σ (ν) de R 3 dans R 6×6 telle que,∀ν ∈ R 3 :

C Σ (ν) = E h (Σ(r + ν)− ≪ Σ ≫)(Σ(r)− ≪ Σ ≫) T i (2.18)

• S Σ est l’application matricielleϑ→ S Σ (ϑ) de R 3 dans C 6×6 telle que,∀ϑ ∈ R 3 :

Les termes de rangsp de≪ Σ ≫ et (p, q) de C Σ (ν) et S Σ (ϑ) notés respectivement≪ Σ ≫ p ,C pq (ν) et
S pq (ϑ) ont pour expressions∀(p, q) ∈ {1, . . . , 6} 2 :

C pq (ν) = E[(Σ p (r + ν) − ≪ Σ ≫ p )(Σ q (r) − ≪ Σ ≫ q )]
S pq (ϑ) = (2π) 1 3 R

oùΣ p etΣ q désignent respectivement lesp-ème et q-ème composantes de Σ.

L’efficacité de l’estimation de ces différentes grandeurs requiert l’utilisation d’estimateurs statistiques
performants. Les estimateurs que nous avons utilisés sont présentés de façon détaillée dans l’annexe E.
Rappelons simplement que la donnée de base est un L-échantillon(Σ (l) , l∈ L) de copies indépendantes

du champΣ, oùL = 1, . . . , L est un ensemble fini ordonné d’indices de cardinal L > 1, et que les points

d’échantillonnage des élémentsΣ (l) de cet échantillon sont les noeuds du maillage utilisé pour discrétiser
le domaine d’étudeT (cf. paragraphe 2.2.1).

L’estimation de la fonction de covariance est une étape importante car celle-ci nous renseigne sur la
dépendance entre les parties réelles et imaginaires du champ électromagnétique dans le domaine d’étude

T inclus dans l’habitacle de la voiture.

Le coefficient de corrélation entre les coordonnéesΣ p etΣ q deΣ en un même point est donné par :
ρ pq (0) = C pq (0)

Le coefficient de corrélation entre les coordonnéesΣ p etΣ q deΣ en deux points distants de ν est donné

Les maximums des termes diagonaux de la fonction de covariance sont obtenus à l’origine ν = 0 et

correspondent aux variances des coordonnées.

Rappelons que les parties réelles et imaginaires des composantes du champ électromagnétique en CRBM
idéale sont supposées indépendantes : le coefficient de corrélation entre les coordonnées doit être nul.
Bien entendu, les imperfections de la CRBM réelle ne permettent pas d’obtenir cette condition.
Néan-moins, l’estimation de leurs valeurs et de leurs évolutions en fonction de la distance en CRBM et dans
l’habitacle de la voiture constitue une information importante dans le processus de caractérisation du
champ électromagnétique des deux milieux.

L’estimateur de la fonction de covariance utilisé dans cette étude sera basé sur la connaissance préalable
de l’estimateur de la densité spectrale. L’estimateur de la fonction de covariance basé sur l’emploi direct
des trajectoires du champ aléatoire n’est pas employé car il est moins performant.

La Fig. 2.20 montre une estimée du terme diagonal S ˆ

x de la DSP deΣ vue du plan de coupe

dé-fini parz= 2.5cm tandis que la Fig. 2.21 montre une estimée du terme diagonal C ˆ

F IG . 2.20 – Terme diagonal S ˆ
E R x E ˆR

de la DSP estimée dans l’habitacle du véhicule à 1.1GHz

E I z ˆ E I z de la fonction de covariance à 1.1GHz

une corrélation relativement faible entre les parties réelles et imaginaires du champ électrique (Fig. 2.22
et Fig. 2.23).

F IG . 2.22 – Coefficient de corrélation entre les composantes ˆ E I x et ˆ E I z près de la caisse du véhicule

F IG . 2.23 – Coefficient de corrélation entre les composantes ˆ E I x et ˆ E R z près de la caisse du véhicule

corrélation devient plus faible au centre de l’habitacle du véhicule quelle que soit la fréquence, comme
le montrent les figures Fig. 2.24 et Fig. 2.25 obtenues eny= 17.5cm etz= 2.5cm.

F IG . 2.24 – Coefficient de corrélation entre les composantes ˆ E I x et ˆ E I z au centre de l’habitacle

F IG . 2.25 – Coefficient de corrélation entre les composantes ˆ E I x et ˆ E R z au centre de l’habitacle

de ce dernier. La réalisation d’un test d’hypothèse portant sur la valeur estimée du coefficient de
corréla-tion devient intéressante dans ce cas où les variables aléatoires sont supposées normales.

Celà revient dès lors à tester l’hypothèse :H 0 : ρ = 0 contre H 1 : ρ6= 0.

H 0 est vraie si l’estimée de ρ est inférieure à la valeur r ddl α donnée dans la table du coefficient de
cor-rélation [24]. Par exemple, pour un degré de libertéddl = 60, les valeurs limites r α ddl , de l’estimée du
coefficient de corrélation sont données dans (Tab. 2.1).

T AB . 2.1 – Seuil de l’estimée du coefficient de corrélation en fonction de l’erreur de première espèce α

Les résultats obtenus portent à croire que l’indépendance des parties réelles et imaginaires du champ
électrique est vérifiée au centre de l’habitacle. En revanche, la corrélation entre ces composantes devient
de moins en moins faible lorsque l’on se rapproche de la caisse du véhicule et ce, quelle que soit la
fré-quence. D’autre part, nous ne constatons pas de dépendance linéaire entre les coefficients de corrélation
d’une fréquence à une autre. D’où la nécessité de procéder, à chaque fréquence, à une estimation des
paramètres.

En supposant les hypothèses de Hill vérifiées en CRBM, nous pouvons dire qu’une zone de
l’habi-tacle du véhicule est comparable au volume utile du moyen d’essai, les dimensions de cette zone restant
à préciser. En dehors de ce volume, l’influence de la caisse est caractérisée par des coefficients de
cor-rélation plus élevés entre les parties réelles et imaginaires des composantes du champ électrique. Cette
tendance se vérifie également avec les autocorrélations comme illustrée sur les Fig. 2.26 et Fig. 2.27.

F IG . 2.26 – Coefficient de corrélation de la composante ˆ E R x au centre de l’habitacle

F IG . 2.27 – Coefficient de corrélation de la composante ˆ E R x près de la caisse

L’estimation des paramètres du champ électrique nous renseigne donc sur les dépendances et
interdépen-dances du champ aléatoire. Ceci n’est qu’une étape dans le processus menant vers l’identification et la
modélisation probabiliste du champ électrique. Les outils d’estimation d’un champ aléatoire homogène
sont ici présentés via une application au champ électromagnétique aléatoire dans un véhicule
automo-bile, les coordonnées canoniques de ce champ étant gaussiens. Si le champ à estimer n’est pas gaussien,
la première étape, avant l’utilisation des algorithmes, consistera à faire une normalisation gaussienne du
champ aléatoire, i.e. déterminer une relation entre la matrice de covariance de ce champ et celle de la loi
gaussienne.

Dans ce chapitre a été proposée une comparaison entre les paramètres probabilistes caractérisant
l’envi-ronnement électromagnétique d’un véhicule automobile et ceux d’un envil’envi-ronnement dans une CRBM.
Dans cette approche, la comparaison proposée porte sur les densités de probabilité du champ
électroma-gnétique en CRBM et dans le véhicule automobile. Cette étude a été réalisée à partir des estimées de la
densité de probabilité issues des données expérimentales pour la CRBM, et de résultats de simulations
numériques pour le véhicule automobile illuminé par une onde électromagnétique extérieure. Ces
don-nées, fournies par PSA, peuvent ainsi prétendre à donner lieu à des conclusions réalistes.

La première étude concerne une comparaison statistique dans l’habitacle véhicule et dans le volume
utile de la CRBM. Après estimation de la densité de probabilité des modules du champ électrique aux
différentes fréquences pour lesquelles on dispose de données numériques, la concordance, entre les
es-timées expérimentales et les lois en CRBM, s’est avérée satisfaisante à partir de 433M Hz. Ces

pre-miers résultats sont importants vis-à-vis des protocoles de mesures en immunité des dispositifs situés
dans l’habitacle du véhicule (équipements, stimulateurs de passagers,. . .), ainsi que pour la
détermina-tion des paramètres d’exposidétermina-tion pour l’évaluadétermina-tion des risques sanitaires (mesures du DAS). Par ailleurs,
les équipements électroniques, et plus particulièrement les faisceaux électriques ne sont pas localisés
dans le volume central de l’habitacle véhicule, mais le long de la caisse du véhicule. Nous avons donc
été amenés à analyser les paramètres de l’environnement électromagnétique à l’emplacement des
fais-ceaux électriques. Pour les différentes valeurs de fréquences étudiées, les parties réelles et imaginaires
des composantes du champ électrique ne suivent pas une loi gaussienne. Par conséquent, les modules
des composantes du champ électrique ne suivent pas une loi de Rayleigh d’ordre 2, et la fonction de
répartition du module du champ électrique induit à l’emplacement des faisceaux est différente de celle
estimée dans le volume central de l’habitacle du véhicule. L’environnement électromagnétique des
équi-pements électroniques situés à proximité de la caisse du véhicule, est donc statistiquement différent de
l’environnement CRBM. En outre, ces résultats mettent en évidence la nécessité de préciser l’utilisation
d’un plan de masse dans les protocoles de mesure de l’immunité des équipements en CRBM. Il serait
également intéressant de réaliser une comparaison des paramètres statistiques de l’environnement interne
au véhicule, à l’emplacement des faisceaux électriques, et de l’environnement CRBM, à proximité des
parois.

L’environnement électromagnétique au centre du véhicule est donc comparable à celui d’une CRBM à
partir d’une valeur de fréquence dépendant des dimensions du véhicule. Cette étude n’ayant été réalisée
qu’à partir de quelques valeurs de fréquences, elle ne peut conduire à une détermination précise de cette
limite, d’où l’intérêt de disposer de données sur une large gamme de fréquences. Or, l’évaluation de tels
résultats par un code fréquentiel conduit à des temps de calculs prohibitifs. C’est pourquoi, nous avons
fait le choix, dans une seconde partie, de compléter cette étude par l’analyse de résultats d’un code
tem-porel.

L’utilisation d’estimateurs statistiques performants a été proposée pour l’estimation des paramètres
sta-tistiques du second ordre (moyenne, densité spectrale de puissance, fonction de covariance) du champ
électromagnétique à l’intérieur d’un véhicule automobile, soumis à une source de caractéristiques
aléa-toires. Il en a été déduit les estimées du coefficient de corrélation des parties réelles et imaginaires des
composantes du champ électrique, qui semblent montrer une absence de corrélation spatiale entre ces
variables. Cette étude correspond à la vérification des hypothèses, c’est-à-dire à la première étape de la
mise en oeuvre du processus d’identification et de modélisation de champ aléatoire.

d’échan-tillons de tailles suffisantes, serait l’étude de l’environnement électromagnétique en CRBM. L’objectif
serait alors de vérifier, notamment, la validité du modèle théorique de Hill, à savoir l’importance du degré
de corrélation entre les parties réelles et imaginaires du champ électromagnétique au sein du volume utile
de la CRBM.

Ces travaux pourraient également aboutir à une vérification des expressions analytiques du coefficient de
corrélation spatiale données dans [35] et [18].

Un second objectif serait de procéder à une identification du champ aléatoire afin de construire un modèle
réaliste du champ électromagnétique en CRBM. Cependant une modélisation probabiliste acceptable en
CRBM nécessiterait la connaissance des parties réelles et imaginaires des composantes du champ, ce
qui n’est pas réalisable d’un point de vue expérimental, seuls les modules des composantes du champ
étant accessibles par la mesure. L’identification du champ électromagnétique devra alors utiliser des
tech-niques de simulation spécifique basées sur des méthodes de résolution temporelles ou fréquentielles, ce
qui nécessite des ressources informatiques dont nous ne disposons pas à l’heure actuelle notamment du
fait de la modélisation des différents éléments présents dans la CRBM (brasseur, cavité). De plus, une
modélisation déterministe s’avère coûteuse pour des études en hautes fréquences dans la CRBM. Ainsi,
dans le chapitre suivant, est proposée une nouvelle approche pour l’estimation des paramètres du second
ordre du champ électrique dans le volume utile de la CRBM.

3.1 Modèle déterministe d’une Chambre Réverbérante à Brassage de Modes . . . . . 78
3.1.1 Sur l’importance du coefficient de qualité et sa relation avec la conductivité

des parois . . . . 78
3.1.2 Modélisation déterministe de la CRBM . . . . 81
3.2 Définition d’un modèle probabiliste d’une Chambre Réverbérante à Brassage de

Modes . . . . 88
3.2.1 Analogie probabiliste . . . . 88
3.2.2 Loi d
La Secrétaire Se Fait Sauter Sur Le Bureau De Son Directeur
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