Алгоритм решения Диофантовых уравнений - Математика учебное пособие

Главная

Математика
Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
В клубе фермистов оказался случайно, решал совершенно другую задачу, и неожиданно пришла идея ВТФ. Я даже не помнил её классическое написание - х n + у n = с n , формулу ВТФ написал в виде х n = у n + с n , а потом не стал переучиваться, т.к. привык к своему написанию формулы.
При доказательстве ссылаюсь на закон распределения простых чисел. Можно было бы обойтись без упоминания оного. Просто сохранил историческую правду, т.к. лично для меня этот закон стал подсказкой.
Этот же подход был применён для решения уравнения гипотезы Биля и решения других уравнений. Выводы получились интересными.
Для себя обкатал этот метод на нескольких шуточных уравнениях. При профессиональном подходе, похоже, этот метод может дать как качественные выводы, так и количественные, окончательный же приговор этому методу будет сделан совместными усилиями.
- не имеет решений в целых числах при показателе степени n >2.
Для доказательства данного утверждения было рассмотрено аналогичное функциональное уравнение. Чтобы получить функциональное уравнение надо обратиться к закону распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. В таблице изображена матрица распределения составных чисел в ряду натуральных чисел.
Формула любого составного числа, соответствующего этой матрице, имеет вид - ( i + 1) ( j + 1), где i - номер столбца этой матрицы, j - соответственно, номер строки этой матрицы. Для верхней строки ( = 1) формула составного числа примет вид - 2( i + 1) - это ряд чётных чисел.
Всё это пока заготовка для доказательства великой теоремы Ферма (ВТФ).
Нечётные числа примут вид 2( i + 1) ± 1. В нашем случае пусть нечётные числа будут - 2( i + 1) - 1.
Чтобы доказать ВТФ надо рассмотреть три варианта:
- I X - чётное число, У - чётное число, Z - чётное число;
- II X - чётное число, У - нечётное число, Z - нечётное число;
- III X - нечётное число, У - чётное число, Z - нечётное число.
Вариант I . Пусть уравнение ВТФ верно для чётных чисел.
В формулу ВТФ вставим аналитические выражения чётных чисел.
[2( 1 + 1)] n = [2( 2 + 1)] n + [2( 3 + 1)] n ,
где для определённости возьмём 1 > 2 > 3
( 1 + 1) n = ( 2 + 1) n + ( 3 + 1) n
По сути, природа этого уравнения та же, что и уравнения ВТФ, т.к. зависимость между Х , У , Z и столбцами матрицы i - функции соответствующие линейным уравнениям.
Можно составить систему подобных уравнений.
Каждое уравнение этой системы также является функциональным уравнением ВТФ.
Для обоснования данного утверждения рассмотрим следующий пример.
Вычислим несколько значений соответствующих числу 10 по формуле чётных чисел.
Т.е. переменная может принимать значения от 1 до .
Условием для существования системы уравнений (а) служат лишь условия и .
Данные условия слабее условий существования пифагоровых троек, где, если (а, в, с) - пифагорова тройка, то таковою будет и тройка ( n а, n в, n с) , при всех n = 1, 2, 3 …
Т.е. система (а) должна быть справедливой для всего ряда натуральных чисел, при условии неизменности величин р и f , и условии 3 +12.
Тогда не верно любое уравнение системы и следовательно не верно и уравнение ВТФ.
Рассматривались чётные значения Х , У , Z .
В системе уравнений (а) переменные I принимают значения всех чисел натурального ряда, и чётных и не чётных. Тогда ВТФ тоже доказана для всего ряда натуральных чисел. Если же рассматривать варианты II и III доказательства ВТФ, тогда функциональные уравнения примут вид:
II [ 2 ( 1 +1 )] n =[2( 2 +1 )- 1 ] n +[ 2 ( 3 +1 )- 1 ] n
III [ 2 ( 1 +1 )- 1 ] n =[2( 2 +1 )] n +[ 2 ( 3 +1 )- 1 ] n
Принципиально в доказательстве ВТФ это ничего не меняет.
Для обоснования данного, довольно - таки экзотического на сегодняшний день метода, далее будут рассмотрены некоторые известные задачи.
I Х - чётное число, У - нечётное число, n - нечётное число;
II Х - нечётное число, У - нечётное число, n - чётное число;
III Х - нечётное число, У - чётное число, n - любое, и чётное, и нечётное число.
Окончательно, после подстановки будет
Для случая Х = 2, У = 1, n = 3 будет
Составим последующее функциональное уравнение.
Следующее функциональное уравнение примет вид
Получилась система бесконечных решений:
Функциональное уравнение примет вид.
Или все формулы системы функциональных уравнений имеют решения, или же в системе уравнений нет ни одной такой формулы.
Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, - для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.
Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:
а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N = 1.
(У 2 =Х 3 -Х , У 2 =Х 3 -Х+1 , У 2 =Х 3 +аХ+В )
I У - нечётное число, Х - нечётное число, К - чётное число;
II У - нечётное число, Х - чётное число, К - нечётное число;
III У - чётное число, Х - чётное число, К - чётное число;
IV У - чётное число, Х - нечётное число, К - нечётное число.
Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, - в обоих уравнениях наличие двух переменных.
Во всех четырёх вариантах У > Х , и следовательно 1 > 2
Получилась система уравнений (1) и (2) .
Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.
I Х - чётное число, У - нечётное число;
II Х - нечётное число, У - чётное число.
Функциональное уравнение общего вида будет:
До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы
Итого: иррациональными решениями уравнения
являются две системы уравнений (3) и (6) .
Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.
Пусть Х - нечётное число , У - чётное число, Z - нечётное число и Х > У > Z .
уравнение представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения (2)
Можно составить три системы уравнений:
И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.
Заранее составим заготовку для их решения.
Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.
После соответствующих преобразований будет
Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.
Простой перебор значений m даёт следующие результаты:
б) Система (б) после сокращений примет вид
После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:
При m ? 1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4) .
Из (Х-У)(Х+У)= Z 2 получаем, систему уравнений
Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.
В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.
Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.
Будем рассматривать систему (4) , подставляя подчёркнутые произведения.
Х =39, У =36, Z =15, после сокращения на три
Х =25, У =20, Z =15, после сокращения на пять
Х =17, У =8, Z =15, несколько неожиданный
результат, ибо рассматривается по условию У > Z.
Х =123, У =120, Z =27, после сокращения на три Х =41, У =40, Z =9;
Х =45, У =36, Z =27, после сокращения на девять Х =5, У =4, Z =3.
1225 = 1х1225; 5х245; 7х 175; 25х49.
1521=1х1521; 3х507; 9х 169 ; 13х117.
в) После преобразований получается:
От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z ,
Получается девять систем уравнений.
И после подстановки в эти девять систем значений
из соотношений (3) , получается также девять систем значений Х, У, Z .
И далее, - все девять систем надо решить.
- нет решения в целых числах при любых m .
Решим уравнение ( X - Z )( X + Z )=64 перебором произведений
Разберём до конца У =12 и соответственно У 2 =144.
Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения
Из формулы (Х- Z )( X + Z )=У 2 получим следующие значения Х, У, Z .
- пусть все три числа чётные и Х> У>Z , как и > > .
Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 2 2 уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.
Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения
Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н) , (п) , (р) .
н) и преобразуя - Z =2 m , получились все чётные числа при m ?1.
В таблице приведены значения троек для m ?10, при условии Х-У=2 .
п) - то же выражение, что и в (н) .
При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.
Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет дан лишь в качественной оценке. Количественный анализ принципиально не труден, но нуден.
I А - чётное число, В - нечётное число;
II А - нечётное число, В - чётное число.
Каждый из вариантов распадается опять же на два случая:
После подставим в уравнение (а) получим
Тогда варианты 13, 14, 15, 16 - не верны.
Из рассмотренных выше задач, при всех вариантах начальных условий, - 8 задач решений в целых числах не имеют.
Для закрепления материала предлагаю рассмотреть два заведомо не имеющих решения уравнения.
А > В , Х > У , Х - чётное число , У - нечётное число.
Основное противоречие состоит в условии А > В , Х > У .
, что, конечно же, не возможно, т.к. левая часть всегда больше правой.
А > В , Х > У , Х - чётное число , У - нечётное число.
После соответствующих преобразований
, где А , В , С - взаимно простые числа и Х , У , Z > 2.
I А - чётное число, В - нечётное число, С - нечётное число;
II А - нечётное число, В - чётное число, С - нечётное число.
Строго говоря, чтобы полностью разобрать ГБ , надо рассмотреть все варианты решения уравнений.
Но дело в том, что новый метод исследования диофантовых уравнений говорит о том, что ГБ не верна, т.е. уравнение при некоторых сочетаниях А , В , С , Х , У , Z может иметь место. По этому будет рассмотрено лишь два примера, которые указывают на возможность решения уравнения.
а) Пусть А > В > С, и Х < У < Z , и А - чётное число, В - нечётное число, С - нечётное число.
Подразумевая систему функциональных уравнений, возьмём к = - 3
Уравнение (1) примет вид уравнения Каталана
И именно из этого и следует наличие решений у уравнения ГБ .
а) Пусть А > В > С, и Х < У < Z , где Х , У - нечётные числа, А - нечётное число, В - чётное число, С - нечётное число.
Решая относительно основания, получим
Проведу преобразование в показателях
Вполне реальное уравнение, которое должно иметь место.
В настоящей работе представлен сравнительно небольшой анализ. Более серьёзным анализом займусь в зиму 2009-2010 годов.
Заведомо противоречивое начальное условие - в примере (а) пусть
И тогда не может иметь место знак равенства.
Т.е. задача с заведомо неверными начальными условиями исключается сразу.
Вот почему и есть основание верить в решения в целых числах у уравнения ГБ.
Данному алгоритму на момент появления в интернете всего два месяца. Дитё.
Что можно нарешать за два месяца? А больше я себе не могу позволить заниматься непрофилирующим предметом в моей трудовой деятельности.
Напоследок хочу коснуться одной практической проблемы при решении Диофантовых уравнений данным методом.
Сколько раз можно «бить» по уравнению, представленным алгоритмом?
Можно по отношению к конкретному уравнению теоретически на единицу меньше, чем число неизвестных в данном уравнении.
Первая стадия - убираем самое меньшее неизвестное. А на второй стадии уже надо знать разницу между оставшимся самым маленьким числом, и предстоящим. Или же не зная этой разницы, вводить параметр.
Метод исследования Диофантовых уравнений и решенные этим методом: теорема Ферма, уравнение Пелля, эллиптических кривых, иррациональные корни уравнения, поиск Пифагоровых троек, уравнение Каталана, гипотезы Билля. Закон распределения простых чисел. доклад [323,1 K], добавлен 01.05.2009
Подход к решению уравнений. Формулы разности степеней. Понижение формы члена уравнения. Компьютерный поиск данных чисел. Система Диофантовых уравнений. Значения натурального ряда. Уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах. доклад [166,1 K], добавлен 26.04.2009
Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах. курсовая работа [657,0 K], добавлен 11.02.2014
Система параметров, итерационные формулы, используемые для расчета и анализа пифагоровых троек. Дерево основных пифагоровых треугольников, виды, алгоритм определения. Абиссальные системы диофантовых уравнений; комментарии к десятой проблеме Гильберта. контрольная работа [116,3 K], добавлен 07.02.2012
Алгоритма решения диофантовых уравнений. Системный анализ свойств пифагоровых троек. Разработка способов и алгоритмов вычисления пифагоровых троек вида х2=у2+z2. Графические модели, отображающие каждый член пифагоровой тройки в виде составных квадратов. статья [793,0 K], добавлен 31.12.2015
Основы геометрии чисел. Решетки, подрешетки и их базисы. Основные теоремы геометрии чисел. Связь квадратичных форм с решетками. Методы геометрии чисел для решения диофантовых уравнений. Теорема Минковского о выпуклом теле. Квадратичная форма решетки. дипломная работа [884,6 K], добавлен 24.06.2015
Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера. реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Алгоритм решения Диофантовых уравнений учебное пособие. Математика.
Реферат: Перспективы и темпы развития информационных компьютерных систем нанотехнологии
Сочинение по теме Изобразительные средства на примерах поэзии Маяковского
Бухгалтерские Программы Реферат
Чудный Собор Редкое Сочинение
Контрольная Работа По Теме Многогранники Атанасян
Сочинение по теме Последние книги "Тихого дона" и "Поднятой целины" в единстве исканий М. А. Шолохова
Курсовая работа: Модели жизненного цикла автоматизированных информационных систем
Реферат: Cuba Crimes Against Human Rights Essay Research
Достопримечательности Москвы Кремль Доклад
Контрольные Работы По Русскому Канакина
Налогообложение малого бизнеса
Курсовая работа по теме Проектирование и анализ активного электрического фильтра
Реферат: Экологическая ниша лося
Курсовая работа: Виды наказаний, связанных с ограничением свободы в российском законодательстве
Реферат по теме История описания болезней сердца
Отчет По Практике Таможенное Дело
Контрольная работа: Аудит у зарубіжних країнах
Курсовая работа: Механізоване відділення в наступі з ходу на противника що обороняєт
Контрольная Работа Степенная Функция 11 Класс Мордкович
Курсовая работа по теме Техника выполнения приемов игры в волейбол
Структура гражданского права - Государство и право курсовая работа
Прогнозирование и оценка возможного банкротства предприятия - Бухгалтерский учет и аудит контрольная работа
Охрана культурного наследия - Культура и искусство реферат