Aleph 2

Небольшая предыстория. На YouTube есть канал музыканта по имени Макс Купер (Max Cooper) – музыкальные композиции и видео-клипы которого меня завораживают начиная с момента открытия его творчества. На мой взгляд, это как раз тот случай, когда наука и искусство рождают чудеса.

Хочу поделиться с вами одним из видео Макса Купера, а под видео привожу перевод описания видео с YouTube с английского – возможно, читателям, сильным в математике, будет это интересно.

Перевод выполнен Елизаветой (@q2q4q8), одной из участниц хакерспейса CADR, и публикуется здесь мной с небольшими исправлениями и доработками оформления.

Это не традиционное музыкальное видео. В ходе работы над моим новым аудио-визуальным шоу, я раздумывал над новыми способами визуализации бесконечности. В сотрудничестве с Мартином Крживински мы ударились в исследования некоторых идей Георга Кантора о различных размерностях бесконечности.

То, что вы видите здесь представляет собой аутентичное числовое представление работ Кантора, и если вы не возражаете потратить время чтобы прочитать, что демонстрирует каждая часть представления, это может дать вам хорошее представление о некоторых экзотичных идеях.

Видео начинается со счета натуральных чисел: 1, 2, 3 и т.д. Список продолжается бесконечно, но его можно представить как единую сущность: бесконечное «множество» натуральных чисел.

Далее, мы видим множество целых чисел (включая отрицательные числа), парами сочетаем натуральные и целые числа. Этот процесс называется биекция. Два множества с биекцией имеют одинаковую мощность, или кардинальное число. Множество, имеющее биекцию с натуральными числами считается «счетным».

Несмотря на то, что кардинальные числа множеств натуральных и целых чисел бесконечны, они представляют собой один «тип» бесконечности. Первая (и наименьшая) бесконечность называется «Алеф 0» (число Алеф и названия секций показаны вверху слева).

Далее показана диагональная прогрессия Кантора между рациональными и натуральными числами. Мы выстраиваем бесконечную таблицу рациональных чисел и затем применяя нумерацию Кантора, которая расползается по таблице, связывая каждое дробное число с уникальным натуральным числом. Существует биекция. Таким образом, кардинальное число рациональных чисел то же, что и у натуральных чисел, и мы видим, что рациональные числа можно сосчитать.

Наша история бесконечности теперь расширяется, чтобы включить в себя несчетные бесконечные множества – те, что бесконечны, но не имеют биекции с натуральными числами. Диагональный аргумент Кантора показан, чтобы привести данное доказательство от противного. Сначала, мы делаем предположение, что существует биекция между натуральными и действительными множествами чисел, и создаем список действительных чисел, к каждому из которых приписано натуральное число для счета. Но мы можем увидеть, что бы наш список не содержал, мы всегда можем изменить одну цифру каждого числа в списке и просмотреть их диагонально, чтобы создать новое число, которого нет в списке. Это доказывает, что биекция между натуральными и действительными числами не существует, и что действительные числа, с бесконечными десятичными долями, неисчислимо бесконечны - представляют собой больший тип бесконечности.

Существует большое количество таких множеств, которые, как и действительные числа, больше множества натуральных чисел. Мы можем использовать натуральные числа чтобы составить такое множество: булеан, представляющий собой множество всех возможных комбинаций натуральных чисел. Мы создаем булеан из вариаций нескольких первых натуральных чисел – процесс, сложность которого быстро растет.

Размер множества действительных чисел, так называемое кардинальное число, тот же, что и размер булеана натуральных чисел. Но мы не знаем, существуют ли иные размеры бесконечности между счетным натуральным и несчетным действительным множествами. Этот вопрос разрешен «Континуум-Гипотезой». Если она верна, то кардинальное число действительного множества – Алеф 1, что есть следующая наименьшая бесконечность после Алеф 0. Но так как мы не знаем, верна ли гипотеза, все, что мы можем сказать, это то, что кардинальное число континуума действительных чисел равен или более, чем Алеф 1.

На самом деле, Континуум-Гипотеза очевидно формально неразрешима и наша математика работает вне зависимости от ее верности. Каждое предположение ведет к различным и противоречивым – но внутренне согласующимся – последствиям. Без сомнений эта формальная неразрешимость гипотезы приводила к всплескам беспокойства и нестабильности в умах ее ранних пионеров. Представьте, каково это, тяжко работать над доказательством того, что что-то правдиво, только затем, чтобы далее доказать, что это ложно.

Мы вышли за пределы Алеф 1 и достигли бескрайние бесконечные высоты Алеф 2, которые мы визуализируем булеанами действительных чисел, чье кардинальное число равняется Алеф 2, если Континуум-Гипотеза верна (как мы и предположили для создания анимации). Мы можем продолжить до Алеф 3 (булеаны булеанов действительных чисел) и далее, но Алеф 2 вполне выражает необъяснимую природу этого феномена для меня, и музыкально я достиг предела моего искаженного хаоса уже на Алеф 2, так что пришлось закончить здесь!

Это может звучать несколько сложно с таким коротким объяснением, но смысл в том, что суть техник Кантора, которые заложили надежный фундамент математической бесконечности, были проиллюстрированы. И они формируют собственную, равно интенсивную эстетику для рассказов во время живого выступления. Раздражает, что результат выглядит немного в стиле «Матрицы», однако что вышло, то вышло, и идея должна была быть показана наиболее ясно.

Для более качественного объяснения, посмотрите объяснения Мартина по ссылке: http://mkweb.bcgsc.ca/infinity/math.of.infinity.mhtml

И объяснение проекта по ссылке: https://www.yearningfortheinfinite.net/