Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью - Физика и энергетика контрольная работа
Главная
Физика и энергетика
Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью
Свойства и структура акустических волн. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде с флуктуирующей плотностью: одномерный и трехмерный случаи. Корреляционные функции, метод релаксации для решения систем нелинейных уравнений.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Аморфное состояние формируется, как правило, из жидкого или парообразного в условиях сверхбыстрой закалки, предотвращающей кристаллизацию. Отличительными особенностями такого состояния являются отсутствие дальнего порядка в расположении атомов и неравновесность. Структурный беспорядок аморфной фазы характеризуется флуктуациями величины межатомных расстояний, а так же плотности вещества. Кроме того, в сплавах имеют место флуктуации концентрации атомов различных компонентов (химический беспорядок). В аморфном состоянии отсутствует точка плавления. При повышении температуры аморфное вещество размягчается и переходит в жидкое состояние постепенно. Эти особенности обусловлены отсутствием в аморфном состоянии так называемого дальнего порядка- строгой периодической повторяемости в пространстве одного и того же элемента структуры. В то же время у вещества в аморфном состоянии существует согласованность в расположении соседних атомов- так называемый ближний порядок, соблюдаемый в пределах первой координационной сферы, и постепенно теряющийся при переходе ко второй и третей сферам, т.е. соблюдающийся на расстояниях, сравнимых с размерами кристаллической ячейки. С расстоянием согласованность уменьшается и через 5-10 исчезает [1].
Кристаллический и ориентационный порядки сильно отличаются. Ориентация сохраняется на расстояниях 100-1000 , когда кристаллический порядок разрушен. На рис. 1 условно изображена атомная структура, в которой координаты атомов существенно стохастизуются уже при расстояниях , а ориентация оси кристаллографической ячейки сохраняется примерно однородной на гораздо больших расстояниях . Такая модель (с разными элементами стохастизованной кристаллической решетки, имеющими разные корреляционные радиусы) существенно меняет представление о структуре аморфного состояния.
Рис. 1. Условное изображение модели атомной структуры аморфного вещества, в которой различным параметрам стохастизованной решетки соответствуют различные радиусы корреляций. Расстояния между атомами (черными кружками) стохастизованы на расстояниях , средняя ориентация элементарной ячейки (прямоугольники) имеет гораздо больший радиус корреляций .
Корреляционный радиус экспериментально определяется методами хорошо развитыми для кристаллических материалов (рентгеновская, электронная, нейтронная спектроскопии). Для определения корреляционных радиусов порядка 100-1000 потребовалось обоснование и развитие новых методов исследования. Теоретически было показано, что корреляционные радиусы крупномасштабных композиционных и структурных неоднородностей должны проявляться в виде характерных особенностей на законах дисперсии и затухании всех элементарных возбуждений твердого тела: спиновых, упругих [2, 3], плазменных, и электромагнитных волн [4].
В данной работе рассматриваются упругие волны, распространяющиеся в среде с флуктуирующей плотностью. Решение задачи проводится методом, развитым в работе [2], однако спектральные характеристики вычисляются в приближении Бурре.
2. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде
Объемная плотность лагранжиана для вектора упругого смещения в сплошной одномерной среде определяется выражением
где первый и второй член- плотность кинетической и потенциальной энергии, соответственно, G- плотность вещества, A- константа взаимодействия. Уравнение движения имеет вид
Для начала рассмотрим случай, когда G и A постоянные величины, не зависящие от координаты.
Получили уравнение колебаний в привычном виде.
Положим, что плотность вещества меняется в зависимости от координаты , а константа взаимодействия остается постоянной.
Удобно переписать , где G- средняя плотность, - среднеквадратичная флуктуация плотности, - безразмерная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю , и дисперсией . Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайных функций.
Положим, что константа взаимодействия меняется в зависимости от координаты , а плотность вещества остается постоянной. Сразу заменим
В большинстве реальных материалов, преобладает неоднородность какого-то одного физического параметра. Поэтому мы здесь не будем рассматривать случай одновременных флуктуаций A и G.
Рассмотрим уравнение колебаний (7) с неоднородной плотностью G(x).
Выполним в (7) преобразование Фурье
В (11) после интегрирования по возникает свертка.
тогда уравнение (12) перепишется в виде
Если положить (), т.е. плотность среды однородная, то уравнение (15) принимает вид
Поскольку амплитуда упругой волны отлична от нуля, то уравнение (16) выполняется при . Решение этого дисперсионного уравнения дает линейный закон дисперсии волны
где - скорость звука, - волновой вектор возбуждений.
В случае неоднородной плотности, закон дисперсии должен некоторым образом модифицироваться. Получим эту модификацию на основе теории возмущений, считая параметр .
Запишем формальное решение уравнения (15)
Подставим это решение в подинтегральное выражение уравнения (15), получим
Для однородной случайной функции справедливо , или
где - спектральная плотность корреляционной функции. Подставим (23) в (21)
выполним интегрирование по , получим
Таким образом получено дисперсионное уравнение в приближении Бурре (25) для усредненной волны.
Дисперсионное соотношение несет информацию о спектральной плотности , т.е. о корреляционной функции флуктуирующего в пространстве параметра плотности среды.
Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1).
где - характерное волновое число (2/характерный размер неоднородности, - радиус корреляций случайной функции , описывающей неоднородности); D- дисперсия (в нашем случае D=1 по определению).
Подставим (26) и (14) в (25), получаем
Введем обозначения . Тогда уравнение (27) примет вид
Из граничных условий , где - действительные и положительные числа, а k- действительное волновое число, определяемое размерами образца.
Под интегралом будем считать - действительным. В соответствии с выбранной формой преобразования Фурье имеем
Этот интеграл вычислим методом вычетов вводя комплексную переменную Z. Контур представлен на рис. 2. .
Рис. 2. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки
Особые точки- полюсы первого порядка. В результате имеем
Подставив (32) в уравнение (29), получим
Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.
Удобно работать с безразмерными величинами. Введем обозначение , . Тогда (33) принимает вид
Как было указано выше, , . Тогда уравнение (34) от комплексной переменной , можно представить в виде системы двух уравнений
Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена двумя способами: с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений и метода релаксации (см. приложение 2). Совпадение получилось до шестого знака.
Если в правой части (33) положить как это делалось в работах [2], (разложение Релея-Шредингера), то имеем
Таким образом, для модифицированного закона дисперсии упругой волны получаем простое выражение,
совпадающее с соответствующим выражением в работе [2].
В безразмерных величинах (36) принимает вид
На рис. 3 приведены кривые: сплошные- приближение Бурре (решение системы (35)), штриховые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая- линейный закон дисперсии. Было взято.
Рис. 3. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривые- приближение Бурре (решение системы (35)), штриховые кривые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая соответствует невозмущенному дисперсионному соотношению. .
Уравнение колебаний для трехмерного вектора упругого смещения в сплошной среде с флуктуирующей плотностью имеет вид
Выполним в (39) преобразование Фурье
В (40) после интегрирования по возникает свертка.
В обозначениях (14), уравнение (41) примет вид
Так же, как и в одномерном случае модификацию закона дисперсии будем получать на основе теории возмущений, считая параметр .
Запишем формальное решение уравнения (43)
Подставляя это решение в подинтегральное выражение уравнения (43), получим
усредним (45) по случайным реализациям
Расцепив коррелятор и выполнив интегрирование по получим
Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1)
Подставляя (49) и (14) в (48), получаем
Выполнив интегрирование в (50) по угловым переменным, используя сферическую систему координат, получим
Этот интеграл вычислим методом вычетов. Контур представлен на рис. 3. .
Рис. 4. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки
Особые точки- полюсы первого порядка. В результате имеем
акустическая волна флуктуирующая плотность
Подставив (53) в уравнение (51), получим
Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.
Перепишем (54) в безразмерных величинах.
. Тогда уравнение (55) от комплексной переменной , можно представить в виде системы двух уравнений
Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений.
Если в правой части (54) положить (разложение Релея-Шредингера), то имеем
Таким образом, для модифицированного закона дисперсии получаем простое выражение, совпадающее с соответствующей формулой в [2].
В безразмерных величинах (57) принимает вид
На рис.5 приведены кривые: сплошные- приближение Буре (решение системы (56)), штриховые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая- линейный закон дисперсии. Было взято.
Рис. 5. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривые- приближение Бурре (решение системы (56)), штриховые кривые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая соответствует невозмущенному дисперсионному соотношению. .
Рассмотрим пределы применимости полученных законов дисперсии. Приближение сплошной среды (39) применимо при условии
где - межатомное расстояние. Приближенное решение интегрального уравнения (43) было получено при условии малости возмущений
Приближение Релея-Шредингера накладывает условие связанное с требованием малости затухания. В трехмерном случае, как это следует из выражения (57) имеем
Численное решение в приближении Бурре дало меньшее затухание в области . Значит это приближение применимо в более широкой области значений , определяемой только неравенствами (60) и (61).
Необходимо так же отметить, что закон дисперсии в приближении Бурре имеет точку излома при больших значениях волнового вектора k (см. рис. 3,5), чем в приближении Релея-Шредингера. При обработке эксперимента с использованием этой теоретической кривой могут получиться другие значения корреляционного радиуса.
Аморфный магнетик является стохастической системой, параметры которой (намагниченность, константа обмена и т.п.) есть случайные функции координат. Как известно, характеристики случайной функции координат представляют собой неслучайные функции- моменты различного порядка. Основные из них: момент первого порядка- математическое ожидание и центрированный момент второго порядка- корреляционная функция
где - центрированная случайная функция.
Параметры аморфного материала описываются однородными случайными функциями, для которых корреляционные функции зависят только от модуля разности координат . Здесь мы будем иметь дело только с однородными случайными функциями. В пространстве волновых векторов эквивалентном корреляционной функции является связанная с ней преобразованием Фурье спектральная плотность
где . Спектральная плотность связана с трансформантой Фурье флуктуации следующим соотношением (мы будем обозначать трансформанты Фурье случайных функций теми же буквами, что и сами функции):
Корреляционная функция (или спектральная плотность ) является основной характеристикой стохастичности в системе, ибо она описывает и величину флуктуаций случайной функции (дисперсию или среднеквадратичное отклонение ), и характерный пространственный размер флуктуаций (радиус корреляций ). Расчет и измерение корреляционной функции каждого флуктуирующего параметра (и функции взаимной корреляции при флуктуации нескольких параметров) есть основная задача при изучении любой стохастической системы.
В данной работе, для оценок была выбрана экспоненциальная корреляционная функция и связанная с ней преобразованием Фурье спектральная плотность. В одномерном случае функции имеют вид
Их вид представлен на рис. 6. В трехмерном случае
Рис. 6. Корреляционная функция случайной функции и спектральная плотность (1.4). Одномерный случай
Рис. 7. Спектральная плотность (1.5). Трехмерный случай
Метод релаксации для решения систем нелинейных уравнений
Дана система уравнений, или подробно
Когда , то - начальное приближение.
Перепишем систему (2.2) через индексы
Полагая что переменные зависят от , ,в (2.3) возьмем производную по от левой и правой части, получим
Так как функция от независимых переменных, то можно перейти к частным дифференциалам. Из элементов (2.5) можно составить матрицу размерности n на n.
В (2.4) явно распишем скалярное произведение
Умножим левую и правую часть в (2.9) на слева
Система дифференциальных уравнений (2.10) решается методом Рунге- Кутта четвертого порядка. Разностная схема для уравнения
1. Займан Дж. Модели беспорядка. М.: “Мир”, 1982г.
2. Игнатченко В. А., Исхаков Р. С. Стохастическая магнитная структура и спиновые волны в аморфном ферромагнетике. Сб. Физика магнитных материалов. Новосибирск: “Наука”, 1983. Стр. 3-30.
3. Хандрих К., Кобе С. Аморфные ферро- и ферримагнетики. М.: “Мир”, 1982г.
4. Игнатченко В. А., Исхаков Р. С. Стохастические свойства неоднородностей аморфных магнетиков. Сб. Магнитные свойства кристаллических и аморфных сред. Новосибирск: “Наука”, 1989. Стр. 128-144.
Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волны. Принцип суперпозиции, разложение Фурье и эффект Доплера. Наложение встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Зависимость длины волны от относительной скорости движения. презентация [2,5 M], добавлен 14.03.2016
Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде. дипломная работа [1,1 M], добавлен 17.03.2014
Изучение уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией. Частотная дисперсия диэлектрической проницаемости. Соотношение Крамерса–Кронига. Особенности распространения волны в диэлектрике. Свойства энергии магнитного поля в диспергирующей среде. реферат [111,5 K], добавлен 20.08.2015
Интерференция и дифракция волн на поверхности жидкости. Интерференция двух линейных волн, круговой волны в жидкости с её отражением от стенки. Отражение ударных волн. Электромагнитные и акустические волны. Дифракция круговой волны на узкой щели. реферат [305,0 K], добавлен 17.02.2009
Параметры упругих гармонических волн. Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение стоячей волны. Распространение волн в однородной изотропной среде и принцип суперпозиции. Интервалы между соседними пучностями. Скорость распространения звука. презентация [155,9 K], добавлен 18.04.2013
Метод последовательных приближений. Генерация второй гармоники. Параметрическая генерация и усиление волн. Коэффициент параметрического усиления. Нелинейная поляризация на собственной частоте. Воздействие одной волны на другую. Фазовая скорость волны. контрольная работа [81,0 K], добавлен 20.08.2015
Свойства независимых комбинаций продольной и поперечной объемных волн. Закон Гука в линейной теории упругости при малых деформациях. Коэффициент Пуассона, тензоры напряжения и деформации. Второй закон Ньютона для элементов упругой деформированной среды. реферат [133,7 K], добавлен 15.10.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью контрольная работа. Физика и энергетика.
Курсовая работа по теме Почвенно-экологические условия выращивания озимой пшеницы в Тамбовской области
Преддипломная Бухгалтерская Практика Отчет
Сочинение Рассуждение План Клише
Юнева Английский Язык Эссе
Реферат: Magical Realism Essay Research Paper Fantasy is
Контрольная работа: Великобритания. Возникновение буржуазного государства. Скачать бесплатно и без регистрации
Отчеты По Практике Трактористов
Любовь Может Изменить Человека До Неузнаваемости Сочинение
Дипломная Работа Психолога Педагога
Подготовка К Контрольной Работе По Ссп
Этиология инфекционного эндокардита (иэ)
Реферат: The Four Fundamental Freedoms Of The Charter
Реферат: Индия её географическое положение и население. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Екатерина II как личность. 'Золотой век' Екатерины
Контрольная работа: Контрольная работа по Банковскому делу 2
Лыжное Двоеборье Реферат
Контрольная Работа По Математике 10 Класс Логарифмы
Реферат по теме Віктар Казько: біяграфія і творчасць
Сочинение На Тему Поступок
OLE и DDE и их использование в Office
Діти в Інтернеті - Педагогика презентация
Анализ деятельности государственных служащих в системе государственной службы - Государство и право курсовая работа
Проектирование зоновой связи для Пружанского района - Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника курсовая работа