Аксіоматика шкільного курсу геометрії - Математика курсовая работа
Главная
Математика
Аксіоматика шкільного курсу геометрії
Основні галузі сучасної математичної науки. Розвиток аксіоматичного методу. Різні підходи та трактування логічних основ геометрії. Система аксіом О.Д. Александрова, О.В. Погорєлова, Л.С. Атанасяна. Аксіоматична будова геометрії в "Началах" Евкліда.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Міністерство освіти і науки України
«Аксіоматика шкільного курсу геометрії»
РОЗДІЛ I. АКСІОМАТИЧНА ПОБУДОВА ГЕОМЕТРІЇ.
1.2 Різні підходи та трактування логічних основ геометрії
РОЗДІЛ II. ОГЛЯД РІЗНИХ ПІДХОДІВ ДО АКСІОМАТИЧНОЇ ПОБУДОВИ ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ.
2.1 Короткий історичний огляд розвитку аксіоматичного методу
2.2 Система аксіом О.Д. Александрова
РОЗДІЛ III. АКСІОМАТИКА ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ ЗА ПІДРУЧНИКОМ БУРДА М.І., ТАРАСЕНКОВА Н.А. ГЕОМЕТРІЯ.
3.1 Загальна характеристика підручника геометрії
Аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, за яким в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) - аксіоми або постулати, з яких всі інші твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися шляхом чисто логічних міркувань, що їх називають доведеннями. Логічні правила цих міркувань строго фіксовані. В межах теорії залишається невизначеною невелика кількість вихідних понять (хоча можна вважати, що аксіоми є їхніми непрямими означеннями). На основі вихідних понять шляхом явних означень вводяться всі інші поняття теорії. На основі означень і аксіом доводяться теореми.
Найважливішою вимогою до системи аксіом є її несуперечливість, що можна розуміти так: скільки б теорем з цих аксіом ми не доводили, серед них не буде двох теорем, які суперечать одна одній. Суперечлива аксіоматика не може бути основою для побудови змістової теорії.
У шкільній геометрії важливу роль відіграє аксіоматичний метод. Питання, пов'язані з цим методом, завжди були в центрі уваги математиків. Зародившись в працях давньогрецьких вчених і узагальнений в "Початках" Евкліда, аксіоматичний метод отримав розвиток у роботах Герона Олександрійського (I ст. до н.е. - I ст. н.е.), Порфирія Сирійського (III ст.), Паппи Олександрійського (III ст.), Прокла (V ст.) та ін. Аксіоматичному методу були присвячені роботи вчених Сходу: Ал-Джаухарі, Сабіт ібн Коррі, Ібн Ал-Хайсама, Ал-Біруні, Омара Хайяма та ін.. Особливий розвиток аксіоматичний метод одержав у період Відродження, коли його стали застосовувати до інших областей знання - фізиці, етиці, юридичним наукам. Незважаючи на те, що проблема суворого обґрунтування геометрії на аксіоматичної основі була незалежно один від одного вирішена на рубежі XIX і XX століть у працях М. Пієрі, Д. Гільберта і В.Ф.Кагана, питання, пов'язані з аксіоматичним методом, залишилися в центрі уваги методичної думки.
Рішення проблеми аксіоматичного побудови шкільного курсу геометрії у школі ми знаходимо у підручниках М. Є. Ващенко-Захарченко, С.Е.Гурьева, А. Ю. Давидова, А.П.Кіселева, А. Н. Колмогорова, М.М. Нікітіна, А. В. Погорєлова, В.А.Гусева, в роботах авторських колективів Л.С.Атанасян (В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Е.Г.Позняк, І.І.Юдіна); А.Д.Александрова (А.Л.Вернер, В. І. Рижик); Г.П.Бевза (В.Г.Бевз, Н.Г.Владімірова); В.Г.Болтянского (М. Б. Волович, А . Д. Семушина); В.М. Клопскійго (3. А. Скопець, М. І. Ягодовский); А. Н. Колмогорова (А.Ф.Семеновіч, Р.С.Черкасов); В.Н.Руденко, Г.А. Бахуріна та ін. Тому тема курсової роботи є актуальною, має важливе теоретичне й практичне значення і потребує подальшого розроблення.
Предмет дослідження - аксіоматичний метод в шкільному курсі планіметрії і шляхи формування в учнів умінь продуктивно використовувати його при вивченні геометрії.
Мета роботи: розкрити суть аксіоматичного методу, логічних основ побудови шкільного курсу геометрії і ретроспектива їх співвідношень на практиці.
Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:
1. Дослідити теоретичні основи даної теми, розглянути різні підходи до застосування аксіоматичного методу в курсі геометрії.
2. Обґрунтувати та розробити теоретичні основи вивчення аксіоматичного методу в шкільному курсі планіметрії.
4. Визначити оптимальні умови вивчення основ аксіоматики в навчанні геометрії.
Для досягнення поставлених задач використовувались такі методи дослідження, як інформаційно-пошуковий, порівняльний та статистичний, критичний аналіз джерел, прогнозування.
Початкові поняття і аксіоми запозичують з досвіду. Тому очікується, що всі факти, доведені в аксіоматичній теорії, мають тісний зв'язок з життям і можуть бути використані в практичній діяльності людини.
РОЗДІЛ I. АКСІОМАТИЧНА ПОБУДОВА ГЕОМЕТРІЇ
Аксіоматичний метод широко застосовується в математиці, математичній логіці, у деяких розділах фізики і біології. І все ж за межами логіко-математичних наук сфера його застосування незначна.
У розвитку аксіоматичного методу розрізняють три етапи:
Перший етап - період змістової аксіоматизації, характеризується аксіоматичною побудовою силогістики в працях Аристотеля і геометрії в «Началах» Евкліда. Особливістю цього періоду є змістове застосування аксіоматичного методу. На цей час ще не існувало точного опису структури доведення, в міркуваннях використовувалися посилання на геометричну очевидність та інтуїцію, введення термінів відбувалося без необхідної чіткості та однозначності.
На другому етапі - період напівформальної аксіоматизації (кінець XIX початок XX століття) відбувається поступове звільнення від спроб змістової аксіоматичної побудови теорій і перехід до формального розуміння аксіоматичного методу. Перехід від змістового аксіоматичного методу до напівформального був підготовлений відкриттям неевклідової геометрії М.І.Лобачевским (1829).
На третьому - період формальної аксіоматизації, аксіоматичний метод розуміють як спосіб конструювання формалізованих мовних систем, що веде до чіткого розрізнення штучної формалізованої мови і тієї змістової предметної області, яка в ній відображена.
До XIX століття зразком логічної строгості були «Начала» Евкліда, аж допоки не виявилися суттєві недоліки в їх побудові. Строге аксіоматичне обґрунтування геометрії Евкліда вперше було здійснено наприкінці XIX століття в роботах М. Пієрі (1860 - 1904), Д. Гільберта (1862 - 1943), В.Ф.Кагана (1869 - 1953) та інших. Найбільшу популярність мала система аксіом, сформульована Д. Гільбертом в роботі «Основи геометрії» (1899).
Існують різні системи обґрунтування геометрії, які уможливлюють виведення із запропонованих аксіом усіх теорем евклідової геометрії.
I. Системи аксіом евклідової геометрії, які приймають за вихідне поняття «рух» (М.Пієрі, Ф.Шур, Віллерс, Ф.Бахман, А.Дельсерт).
II. «Метричні» системи аксіом евклідової геометрії (В.Ф.Каган, О.Верлен, Р.Л.Мур, Дж.Д.Біркгоф, О.В.Погорєлов).
III. Векторна аксіоматика евклідової геометрії (Г.Вейль).
Але формально вони еквівалентні, а відрізняються лише методичними підходами до побудови курсу геометрії.
Логічні основи геометрії - це фундамент геометрії, який має відповідати вимогам логіки. А логіка (від давньогрецького лпгпт - слово, розум, міркування) - наука, яка досліджує впорядкованість людського мислення, його закони, форми і прийоми. Основними законами логіки називають закони тотожності, суперечності, виключення третього і достатньої підстави, оскільки вони виражають базові риси логічно правильного мислення. А саме: визначеність, послідовність, несуперечливість і обґрунтованість думки. Основними категоріями логіки є: поняття (їх види і означення), судження, закони логіки, твердження (їх види і доведення), задачі (їх види і розв'язання) тощо. Отже, будувати шкільний курс геометрії на логічних основах - це означає всі його поняття, означення, класифікації, твердження, їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки. Усі складові частини підручника геометрії мають бути коректно викладені з погляду логіки. Досягти цього не легко, але треба.
Вичерпну систематизацію логічних напрямів побудови курсу геометрії було створено Міжнародною комісією з викладання математики на Міланській конференції в 1914 році. Вона містить чотири напрями:
§ В - досвідно-дедуктивний (рівень ВА , ВВ , ВС );
§ О -- інтуїтивно-експериментальний.
Напрям А - характеризується повним відмовленням від інтуїції. Основні поняття (точка, пряма тощо) означаються неявно через аксіоми.
Особливістю напряму В є те, що основні поняття і відношення запозичуються з досвіду. Всі інші міркування та етапи побудови здійснюються дедуктивно. В межах цього напряму розрізняють три рівні:
Ш ВА -- формулюються всі необхідні аксіоми;
Ш ВВ - явно подається тільки частина аксіом;
Ш ВС - формулюються тільки ті аксіоми, зміст яких не здається очевидним.
Напрям С - інтуїтивно-дедуктивний. В побудові курсу одночасно використовується інтуїція і строгі доведення, які не відокремлюються одна від одного.
Напрям В -- інтуїтивно-експериментальний. В побудові курсу геометрії такого рівня основні поняття і відношення запозичуються з досвіду, геометричні факти встановлюють за допомогою експерименту.
Логічні основи побудови шкільної геометрі ї традиційно пов'язували з аксі ома тичним методом, «Началами» Евк ліда та підручниками «Геометрії» ака деміків А.М. Колмогорова і О.В.Погорєлова. Майже 30 років логічну будову шкільної геометрії о тотожнювал и зі створенням аксіома тичних навчальних курсів. З того часу у багатьох учителів і методистів утвердил ась думка, що логічно коректним можна вважати тільки аксіоматичний курс геом етрії.
1.2 Різні підходи та трактування логічних основ геометрії
Основи математики у вигляді логічно досконалої математичної теорії, що виходила з мінімуму вихідних положень, намагався викласти Евклід ще в III ст. до н.е. Основну свою працю грецькою мовою він називав „фпйчеъб”, тобто стихії. Латинською мовою її називали ,,Еlementa” (елементи), російською - „Начала”, тобто початки або основи. Цей твір Евкліда - ранній попередник сучасного способу аксіоматичної побудови математичних наук.
Праця Евкліда складається з 13 книг. Планіметричний матеріал викладено у перших шести книгах, а стереометричний у трьох останніх. У 7-9 книгах подаються елементи теорії чисел, а в 10 - геометрична теорія ірраціональних чисел. Кожна книга починається з означень тих термінів, які зустрічаються в ній, а потім ідуть твердження (теореми і задачі). В першій книзі перераховуються також аксіоми і постулати.
Аксіоматична будова геометрії в «Началах» Евкліда була недосконалою, зокрема:
· не виокремлювалися первісні поняття, а формулювалися означення для всіх понять;
· введення термінів відбувалося без необхідної чіткості та однозначності;
· в міркуваннях використовувалися посилання на геометричну очевидність та інтуїцію;
· не існувало точного опису структури доведення.
До XX століття у всіх країнах геометрію викладали за Евклідом. Це було або майже точне наслідування «Начал» (як в Англії), або вільне трактування, подібно до робіт Лежандра (у Франції). Вітчизняні підручники і посібники з геометрії в різні часи будувалися за напрямами В, С, D - від досвідно-дедуктивного до інтуїтивно-експериментального .
До середини XX століття усі вітчизняні школи дотримувалися рівня ВВ, тобто розповідали учням про можливість аксіоматичної побудови геометрії, але формулювали тільки частину аксіом; важливіші і доступніші для учнів теореми доводили, але й використовували знання, отримані з досвіду. Згодом академіки А.М.Колмогоров [4] і О.В.Погорєлов [6] запропонували для загальноосвітніх шкіл курси геометрії, орієнтовані на рівень ВА - відразу формулювали всі аксіоми, потрібні для викладу перших розділів.
Мрією академіка А.М.Колмогорова було привести логічні основи сучасної математики до такого стану, щоб їх можна було викладати в школі підліткам. Навіть у навчальному посібнику для учнів він умістив пункт «Про логічну будову геометрії» [4, с. 372], який починався такими словами.
«Логічно строгий» курс геометрії будують так:
I. Перераховують основні геометричні поняття, які вводяться без означень.
II. За їх допомогою означаються усі інші геометричні поняття.
IV. На основі аксіом і означень доводять усі інші геометричні твердження».
А.М.Колмогоров, говорячи про логічні основи шкільного курсу геометрії, основну увагу звертав на поняття і твердження.
О.В.Погорєлов найціннішим у геометрії вважав доведення: «Головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учня логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, хто закінчить школу, стане математиками, а тим більше геометрами. Будуть і такі, які в своїй практичній діяльності жодного разу не скористаються теоремою ІІіфагора. Проте навряд чи знайдеться хоча б один, кому б не довелося міркувати, аналізувати, доводити».[8] Поняттям і означенням він не надавав великого значення. Це відмічали навіть його коментатори: «Але означенням в побудові систематичного курсу геометрії відводиться як би другорядна роль. Автор навчального посібника вважає, що нечітке відтворення учнями означення не повинно заважати йому правильно доводити теорему» [8, с. 14]. Так дивилися на шкільну геометрію впродовж двох останніх десятиліть. А оскільки доведення становлять тільки незначну частину логіки, тоді питання про логічну основу шкільної геометрії піднімалось і обговорювалось рідко.
Багаторічна практика переконливо показала, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві. Знання про можливість побудови геометрії на аксіоматичній основі потрібне філософам і математикам. Саме розуміння цього дозволило вченим відкрити неевклідові геометрії, істотно змінити погляди на сутність науки. Ніякої іншої ролі в навчанні геометрії аксіоматика не виконує - ні стосовно кращого осмислення означень понять і доведень теорем, ні щодо умінь розв'язувати задачі.
Адаптований для школи аксіоматичний курс геометрії не тільки малозрозумілий через надмірну абстрактність, а й надто бідний змістом. У ньому основна увага звертається на найперші теми, на очевидні твердження, а на вивчення найцікавіших питань (коло Ейлера, трикутники Наполеона, чевіани трикутника, паркети і орнаменти, задачі на розрізання фігур тощо) не вистачає часу. Він виявляється недостатнім для моделювання об'єктів і процесів реального світу. Люди, тварини, рослини, різні будови і механізми - речі неопуклі, а в шкільній геометрії традиційно обмежувалися вивченням тільки опуклих фігур: опуклих кутів, многокутників, многогранників, тіл обертання. В результаті учні часто не знають, скільки сторін має неопуклий чотирикутник, скільки граней - неопукла шестикутна призма тощо.
Все ж, ще й тепер немало учителів і методистів дотримуються традиційної думки про те, що основне в шкільній геометрії - аксіоми і теореми, що аксіоматичний курс геометрії цікавіший від інших, що він - мов цікава гра, збуджує інтерес учнів. Геометрію вивчають в школі не тому, що вона - «гра», а тому, що вона потрібна багатьом людям. Потрібна так само, як фізика, хімія, географія, астрономія, біологія та інші навчальні дисципліни. Для майбутніх науковців та інженерів вона потрібна як засіб, «знаряддя, таке саме, як штангель, зубило, ручник, терпуг для слюсаря» (О.М.Крилов), для всіх інших -- як чудовий матеріал для розвитку логічного мислення учнів, адже «геометрія - правителька всіх розумових пошуків» (М.В.Ломоносов). А ще вона - великий згусток загальнолюдської культури. «У величезному саду геометрії кожний може підібрати собі букет за смаком» (Д.Гільберт). [7]
Логічні основи - необхідна умова побудови шкільного курсу геометрії, але їх не слід зводити до аксіоматичного методу. Бажано так будувати шкільний курс геометрії, щоб усі його поняття, означення, класифікації, твердження та їх доведення, задачі тощо подавати відповідно до вимог логіки.
Розглянемо кілька алогізмів, яких слід наполегливо позбавлятися.
1. «Означення. Означення -- це твердження, в якому роз'яснюється (через відомі поняття), які саме об'єкти або властивості підпадають під дану назву».
Таке означення не є коректним хоча б тому, що означення - це речення, але не твердження. ( Учням краще пояснити так. Означення -- це речення, в якому за допомогою вже відомих понять і їх властивостей розкривається зміст нового поняття).
2. Поділ трикутників на різносто ронні, рівнобедрені і рівносторонні з логічного погляду неправильний, бо кожний рівносторонній трикутник є водночас і рівнобедреним. (Правильною є інша класифікація. Усі трикутники поділяються на два види: різносторонні і рівнобедрені, а рівнобедрені - на рівносторонні і не рівносторонні).
3. Неправильно ні з погляду математики, ні з погляду логіки ототожнювати відстань від точки до променя (чи відрізка) з відстанню від точки до прямої, якій належать промінь чи відрізок. (Таке розуміння відстані приводить до неправильних формулювань теорем і логічно неправильних доведень).
Тепер школи поступово переходять на нові підручники геометрії. Використовуються підручники таких авторських колективів.
· Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владимирова Н.Г.;
· Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С.;
· Єршова А.П., Голобородько В.В. та ін.;
Вони різні, але логічні основи усіх істотно відрізняються від логічних основ підручників О.В.Погорєлова і А.М. Колмогорова та ін. Жоден з цих підручників не будується на аксіоматичній основі. Це добре, оскільки практика останніх десятиліть переконливо показала, що побудовані на аксіоматичній основі підручники геометрії для основної школи не тільки надто важкі, а й надто нецікаві.
РОЗДІЛ II . ОГЛЯД РІЗНИХ ПІДХОДІВ ДО АКСІОМАТИЧНОЇ ПОБУДОВИ ШКІЛЬНОГО КУРСУ ГЕОМЕТРІЇ
2.1 Короткий історичний огляд розвитку аксіоматичного методу
Починаючи з III ст. до н.е. протягом двох тисяч років зразком викладу геометричного матеріалу були «Початки» Евкліда, зміст яких брався за основу написання підручників з геометрії для різних навчальних закладів.
Перший у Росії підручник під назвою «Генеральна геометрія» був виданий у 1765 р. Н.Г. Курчановим, учнем Л.Ф. Магницького. Цей підручник складався з трьох розділів: лонгіметрія, в якому розглядались суміжні та вертикальні кути, ознаки паралельності прямих та ін.; планіметрії і стереометрії.
Дещо пізніше російські педагоги Е.М. Головін, С.Е. Гур'єв, Т.Д. Осиповський, Ф.І. Буссе видали ряд підручників з геометрії для гімназій, реальних училищ та інших середніх навчальних закладів. Ці підручники вже складались з двох традиційних розділів - планіметрії і стереометрії. Особливо популярним був підручник «Елементарна геометрія в обсязі гімназичного курсу» професора Московського університету А.Ю.Давидова, цей підручник багаторазово видавався з 1864 р. по 1922 р.
Заслуженою популярністю користувався підручник з геометрії для середньої школи А.П. Кисельова, виданий вперше в кінці XIX ст. Тривалий час в школах України геометрію вивчали за цим підручником. У вступі до планіметрії були сформульовані основні властивості площини і прямої. Тут же наведені три аксіоми з «Початків» Евкліда. Доведення планіметричних тверджень проводилось далі без посилання на ці аксіоми (в основному використовувався метод накладання). У стереометрії А.П. Кисельова сформульовані три властивості площини, названі теж аксіомами, які частково використовувались при доведенні теорем. Про яку-небудь систему аксіом, аксіоматичний методу підручнику А.П. Кисельова не йдеться.
Суть аксіоматичного методу побудови геометрії, короткий зміст «Початків» Евкліда і систему аксіом Д.Гільберта викладено в додатках «Про аксіоми геометрії» професора Н.Д. Глаголєва до стереометрії А.П. Кисельова. У 70-ті роки минулого століття в школах України (як і в інших республіках СРСР) планіметрія вивчалась за навчальним посібником, створеним авторським колективом під керівництвом академіка А.М. Колмогорова (А.М. Колмогоров, О.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов. Геометрія: Навчальний посібник для 6-8 класів середньої школи. - К.: Рад. школа, 1973). У першому розділі - «Початкові поняття геометрії» - введені основні (без означення) поняття стереометрії: точка, пряма, площина, відстань між двома точками. Потім сформульовані три основні властивості відстані, на основі яких доведено твердження про те, що для будь-яких трьох точок А, В і С відстань АС більша або дорівнює різниці відстаней АВ і ВС. У цьому ж пункті введене поняття аксіоми, сформульована аксіома прямої, на основі якої доведена теорема про те, що дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки. Далі формулюються твердження, одні з яких не доводяться, інші доводяться, але термін «аксіома» не вживається. Отже, системи аксіом, на якій би будувалась планіметрія, у ході викладення матеріалу не сформульовано, аксіоматичний метод не реалізовано.
У додатках «Про логічну побудову геометрії» з'ясовано суть логічної будови геометрії та запропонована одна із можливих систем аксіом, відповідна системі викладу геометричного матеріалу в даному посібнику. Ця система аксіом складається з дванадцяти аксіом, поділених на п'ять груп:
У 80-ті роки минулого століття з'явилося декілька спроб побудувати шкільний курс геометрії на аксіоматичній основі. Це навчальний посібник О.В. Погорєлова, авторського колективу, очолюваного О.Д. Александровим, посібник Л.С. Атанасяна та ін.
Відомо, що за основу планіметрії можна взяти різні системи аксіом, тому і побудова планіметрії може бути здійснене різними шляхами. Але, незважаючи на різні підходи до побудови планіметрії, в ній вивчають одні й ті ж геометричні фігури і дістають одні й ті ж їх властивості, виражені в аксіомах і теоремах: це теорема Шфагора, теореми про суму кутів трикутника, про площу трикутників і многокутників, ознаки рівності трикутників, операції над векторами і т.д.
2.2 Система аксіом О.Д. Александрова
Спроба аксіоматичної побудови курсу геометрії для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики здійснена авторським колективом під керівництвом академіка О.Д. Александрова у навчальних посібниках з геометрії для 8-9 і 10-11 класів. Формулювання аксіом у цих посібниках передбачає, що учням відома арифметика дійсних чисел і поняття додатної величини.
Основні об'єкти планіметрії: точка і пряма.
Основні відношення: належність (для точки і прямої), лежати між (для трьох точок, які лежать на одній прямій).
Система аксіом розбита на п'ять груп.
1.1. Через кожні дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.
1.2. На кожній прямій існує принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, які не лежать на одній прямій.
2.1. Із кожних трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
2.2. Кожна пряма розбиває площину на дві півплощини. Перед формулюванням аксіоми 2.2 вводиться поняття відрізка і півплощини, а після неї - поняття променя.
3.1. Кожним двом точкам ставиться у відповідність додатна величина, яка називається відстанню між цими точками.
Вводиться позначення відстані між точками А і В: |АВ| або |ВА|
3.2. Для будь-якої відстані г на заданому промені з початком О існує точка А, для якої |ОА| = г.
Цю аксіому ще називають аксіомою відкладання відрізка.
3.3. Якщо точка В лежить між точками А і С, то |АВ| + |ВС| = |АС| (аксіома адитивності довжини відрізка).
3.4. Для будь-яких трьох точок А, В, С має місце нерівність |АВ| + |ВС| > |АС|.
Далі вводиться поняття руху як відображення, при якому зберігаються відстані.
4.1. Нехай промінь 1 з початком у точці О лежить на межі півплощини а, а промінь 1' з початком у точці О' лежить на межі півплощини а'. Тоді існує такий рух, який переводить точку О в. (У, промінь / в Р і швплощину а в а'.
V група. Аксіоми паралельності Евкліда
5.1. Для кожної прямої а і кожної точки А, яка не лежить на прямій а, існує не більше однієї прямої, що проходить через точку А і не перетинає прямої а.
Переходячи до стереометрії, зазначимо, що поняття площини в даній системі аксіом не є неозначуваним.
Означення. Площиною називається фігура, на якій виконується планіметрія і для якої справджуються аксіоми стереометрії.
Аксіома 1 (аксіома площини). У просторі існують площини. Через кожні три точки простору проходить площина. З цієї аксіоми випливає, що в просторі існує більше однієї площини.
Аксіома 2 (аксіома перетину площин). Якщо дві площини мають спільну точку, то їх перетином є їх спільна пряма.
Аксіома 3 (аксіома належності прямої площині). Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона лежить у цій площині.
Перед формулюванням наступної аксіоми вводиться поняття півплощини.
Аксіома 4 (аксіома розбиття простору площиною). Кожна площина розбиває простір на два півпростори.
Аксіома 5 (аксіома відстані). Відстань між будь-якими двома точками простору не залежить від того, на якій площині, що містить точки, вона виміряна.
Після того як вибрано одиничний відрізок, довжина кожного відрізка виражається додатним числом.
Аксіома відстані надає можливість порівнювати фігури на різних площинах, зокрема застосувавши теореми про рівність і подібність трикутників, розміщених у різних площинах.
Зазначимо, що знову є лише вказівка на те, що планіметрію можна побудувати аксіоматичне на основі перелічених аксіом, але фактично це не реалізовано.
У 1982-1983 навчальному році у школах України (та інших республік СРСР), починаючи з 6 класу, геометрію стали вивчати за навчальним посібником академіка О.В. Погорєлова. Основний зміст цього посібника був опублікований у 1972 році в книзі «Елементарная геометрия» [5], яка подавалась на конкурс шкільного підручника з геометрії. В результаті експерименту з викладання геометрії за посібником О.В. Погорєлова у школах Харківської області, міст Києва і Севастополя цей посібник удосконалювався (1977-1982 рр.), і варіант «Геометрія 6-10» з 1982 р. Міністерством освіти СРСР і Міністерством освіти УРСР рекомендований у практику викладання геометрії в середній школі як основний навчальний посібник.
Основне завдання у викладанні геометрії автор нового посібника визначив так: «Пропонуючи цей курс, ми виходили з того, що головне завдання викладання геометрії в школі - навчити учнів логічно міркувати, аргументувати свої твердження, доводити. Дуже небагато з тих, що закінчать школу, будуть математиками, тим більше геометрами. Будуть і такі, що у своїй практичній діяльності жодного разу не використають теорему Шфагора. Проте навряд чи знайдеться хоч би один, якому не доведеться міркувати, аналізувати, доводити».
Можна виділити такі науково-педагогічні особливості цього посібника:
1) традиційний зміст і аксіоматична побудова;
2) економний виклад матеріалу і організуюча роль запитань для повторення;
Відносно традиційного змісту О.В. Погорєлов зауважив: «Увесь багатовіковий досвід викладання елементарної геометрії з часів Евкліда доводить раціональність традиційної системи. Удосконалення її, пов'язане із загальним розвитком науки, не повинне стосуватися її розумних і глибоко продуманих основ» [5, с. 7].
Дедуктивна побудова геометрії визначається її аксіоматикою. Взагалі не слід змішувати аксіоматичну побудову шкільного курсу геометрії з аксіоматичною побудовою геометрії як науки. Спроби авторів ототожнювати їх при написанні шкільних підручників приводили до невдач. Тому досить популярна система аксіом Гільберта для побудови шкільної геометрії не підходить. Для дедуктивної побудови шкільного курсу геометрії необхідно мати просту, природну, зрозумілу для учнів систему аксіом. Цим вимогам найбільше відповідає система аксіом О.В. Погорєлова. В його посібнику здійснено систематизований виклад геометричного матеріалу на базі оригінальної і економної системи аксіом. При цьому аксіоматичний виклад ведеться від початку курсу. Автор вважає, що з педагогічної точки зору необхідно як можна раніше виховати в учнів мотивовану потребу аргументувати свої міркування, доводити нові твердження.
Курс геометрії в підручнику О.В. Погорєлова «Геометрія 7-11» [7] побудовано строго дедуктивно: усі аксіоми у вигляді основних властивостей найпростіших геометричних фігур сформульовані в першому параграфі. По суті, у цьому параграфі закладені основи курсу геометрії.
Основними поняттями є точка, пряма, площина, належати для точок і прямих, лежати між для точок на прямій міра (довжина відрізка, градусна міра кута).
Формулювання аксіом планіметрії і їх кількість у різних виданнях навчального посібника дещо змінювались, уточнювались. Наведемо їх формулювання за підручником [7]. Система аксіом (за цим підручником) складається з дев'яти аксіом планіметрії і трьох аксіом стереометрії. З методичних міркувань і для зручності викладу матеріалу аксіоми стереометрії сформульовані на початку стереометрії (§ 15). У підручнику [7] аксіоми не розбиті на групи, а мають порядкові номери.
I. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
II. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну
III. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
IV. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою.
V. Пряма розбиває площину на дві півплощини.
VI. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
VII. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.
VIII. Від будь-якої півпрямої в дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і тільки один.
IX. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої.
X. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.
А1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй.
А2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
А3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.
Звертаємо увагу на те, що у формулюванні аксіом І-ІХ відсутнє слово площина, оскільки вони формулювались у планіметрії, де всі об'єкти геометрії розміщені в одній площині.
У стереометрії нескінченно багато площин, тому при формулюванні аксіом І-IX в стереометрії необхідно в кожній з них підкреслювати, що названі об'єкти лежать в одній площині.
Наприклад, аксіома IV матиме в просторі таке уточнене формулювання:
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.
Такі уточнення стосуют
Аксіоматика шкільного курсу геометрії курсовая работа. Математика.
Как Пишется Эссе По Истории
Курсовая работа по теме Розничный товарооборот торгового предприятия
Отчет по практике по теме Анализ системы кадровой службы ООО 'АН-Секьюрити С-З'
Философия Единство И Многообразие Мира Реферат
Курсовая работа по теме Острые кишечные инфекции
Курсовая работа по теме Автоматизированная информационная система библиотеки высшего учебного заведения
Курсовая Работа Механизмы Психологической Защиты
Сочинение по теме Стихотворение Н.А. Заболоцкого «Читая стихи»
Курсовая На Заказ Быстро
Илон Маск Қазақша Реферат
Курсовая работа по теме Применение языка PHP, СУБД MySQL и фреймворка CodeIgniter для разработки динамических веб-сайтов
Курсовая работа по теме Проблема правового регулирования авторского права
Реферат На Тему Система Спортивной Тренировки
Дневник Практики Адвокатура
Макс Планк Реферат По Физике
Дипломная Работа На Тему Listening And Memory Training In Translation
Как Правильно Написать Заключение В Курсовой Работе
Темы Итогового Сочинения По Обломову
Реферат На Тему Общая Характеристика Предприятия, Его Организационно-Управленческая Структура. (Руп "Завод Полупроводниковых Приборов" Нпо "Интеграл")
Реферат: Небезпечні і шкідливі фактори їх класифікація
Источники конституционного права - Государство и право курсовая работа
Внешняя политика России в первой половине XIX в. - История и исторические личности контрольная работа
Этапы проведения арбитражного процесса - Государство и право контрольная работа