3 типа задач из линейной алгебры

Итак, здесь описание 3х типов задач:

1. Нахождение решения системы линейных уравнений
2. Нахождение многочлена по его значениям
3. Исследование векторов на линейную независимость. 

Поехали!

Тип 1. Нахождение решения системы линейных уравнений

Суть: задана система линейных уравнений. Необходимо найти неизвестные. Линейные — значит, что неизвестные входят в уравнение только в первой степени. 

Базовые подходы к решению: методы Крамера и Гаусса.

1. Метод Крамера — метод определителей. Если в вашей системе 3 неизвестных, то вам придется вычислить 4 определителя, если n неизвестных, то соответственно n + 1 определитель.

Нулевой определитель — определитель матрицы системы. Первый — определитель матрицы, где вектор-столбец свободных членов стоит на первом месте, второй — матрицы, где вектор-столбец свободных членов стоит на втором месте и так далее.

Свободные члены — те, которые входят в уравнение без домножения на неизвестные.

Здесь важно обратить внимание на 2 нюанса:

- определитель нулевой не должен быть равен 0. Если так вышло — смело заключаем, что решений нет

- для существования определителя матрица должна быть квадратной

Примеры:

2. Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных. Суть — последовательно привести матрицу к ступенчатому виду.

Приводить можно при помощи 3х элементарных преобразований:

• перестановка строк
• умножение (оно же деление) строки на число
• Прибавление(оно же вычитание) к строке другой строки/линейной комбинации других строк

Здесь важно обратить внимание на 1 нюанс:

• Все элементарные преобразования делать с расширенной матрицей системы.

Пример:

Трюк при решении СЛУ:

Сначала упростить расширенную матрицу системы, чтобы получить максимальное количество нулей. Это поможет разложить определитель по строке/столбцу (о том, как разлагать, поговорим позже, нужно учитывать позицию элемента в матрице), и меньше считать. 

Тип 2. Нахождение многочлена по его значениям

Формулировка: «найти многочлен n-й степени по его значениям»

Как решать: общий вид многочлена n-й степени: a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n. Следовательно имеем систему с n неизвестными (и как правило задано значением многочлена в n точках).

Пример: 

Тип 3. Исследование векторов на линейную независимость.

Что значит линейная зависимость?

Говоря неформально, «если ты линейно зависим, то тебя можно выкинуть» =). Говоря формально, линейно зависимые векторы — это те, среди которых один можно выразить через другие.

Как решать:

Составляем матрицу из векторов и стараемся привести ее к ступенчатому виду. Если это вышло — то векторы линейно независимы. Если хотя бы один из векторов ушел в ноль, или явно видно, что его можно получить из остальных — система линейно зависима.

Пример:

Трюк при решении:

Если векторов меньше, чем координат (например 2 вектора размерности 3) и нет линейных комбинаций, то система векторов линейно-независима.

На этом в сегодняшнем разборе всё!
Ваш Дата-автор =)