3 свойства интегралов
3 свойства интеграловСкачать файл - 3 свойства интегралов
Постоянный множитель можно не выносить за знак определенного интеграла: Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функцйй равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых. Так, в случае двух слагаемых Докааательство. Доказательство проводится аналогично для любого числа слагаемых. Свойства 1 и 2, хотя и доказаны только для случая остаются в силе и при Однако следующее свойство справедливо при Свойство 3. Если на отрезке , где функции удовлетворяют условию , то Доказательство. Рассмотрим разность Здесь каждая разность Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, неотрицательна вся сумма и неотрицателен ее предел, т. Если то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически рис. Так как то площадь криволинейной трапеции не больше площади криволинейной трапеции Свойство 4. Если и М — наименьшее и наибольшее - значения функции на отрезке то Доказательство. По условию На основании свойства 3 имеем Но см. Подставляя эти выражения в неравенство 4 , получим неравенство 4. Если то это свойство легко иллюстрируется геометрически рис. Если функция непрерывна на отрезке то на этом отрезке найдется такая тонка что справедливо следующее равенство: Пусть для определенности Если и М суть соответственно наименьшее и наибольшее значения на отрезке то в силу формулы 4. Так как непрерывна на отрезке то она принимает все промежуточные значения, заключенные между. Следовательно, при некотором значении будет , т. Для любых трех чисел а, b, с справедливо равенство если только все эти три интеграла существуют. Предположим сначала, что и составим интегральную сумму для функции на отрезке Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на части, то мы будем разбивать отрезок на малые отрезки так, чтобы точка с была точкой деления. Разобьем далее интегральную сумму соответствующую отрезку на две суммы: Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. Функция, стремящаяся к бесконечности. Сравнение бесконечно малых Упражнения к главе II ГЛАВА III. Уравнения касательной и нормали. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу Упражнения к главе III ГЛАВА IV. Выпуклость и вогнутость кривой. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. Радиус и круг кривизны. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. Интегралы, зависящие от параметра. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. Основные свойства определенного интеграла Свойство 1. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функцйй равен алгебраической сумме интегралов. Пусть для определенности Если и М суть соответственно наименьшее и наибольшее значения. Аналогичным образом доказывается это свойство при любом другом расположении точек а, b и с. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII.
Найти неопределённый интеграл: примеры и приёмы
Через сколько известны результаты цт
1.3. Свойства двойных интегралов
Сколько нужно варить капусту в борще
Конев В.В. Определенные интегралы
Когда лучше делать чистку лица