论只使用符号0和1的二进制算术

论只使用符号0和1的二进制算术

文/ [德] 莱布尼茨 译/ UCAS-translation (中国科学院大学2015级本科) 编/ LFZ

通常的算术运算是按十进制完成的。其中用到十个符号:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,分别代表零、一和接下来的几个数,到九为止。到了 十,便重新开始,并把十记作10,十个 十即一百记作100,十个一百即一千记作1000,十个一千记作10000,以此类推。

但数年来,我却没用十进制,而是用所有进位方式中最简单的一种——逢二进位,因为我发现它有助于完善数字的科学。因此我使用的符号除0和1外再无其他,逢二便重新开始。由于这个原因,这里二记作10,二乘二即四记作100,二乘四即八记作1000,二乘八即十六记作10000,以此类推。下面是这种方式下的数字表,如果需要我们可以继续下去。

这里我们看一下就会知道为什么对整数会有以二为公比的几何级数的著名性质:如果级数中各个不同次数的方幂系数都是1,那么小于最高次方幂两倍的整数都可以由它们表示。因为这里就好像是说111即7是是四、 二、 一的和。而1101即13则是八、四、一的和。利用这一性质,化验官[1]通过少量砝码就可以称出各种不同的质量;在货币制度中则可以使用少量硬币表示多种不同的价值。

有了数字的这种表达方式,我们就可以很轻松地进行各种算数运算了。

图1

这些运算又是如此容易,与通常的除法运算不同,不用试也不用猜,也不像通常的运算中一样要熟记一些东西,比如通常我们要事先知道6和7相加得13,而按毕达哥拉斯[2]“一一得一”的乘法表,5乘3得15。而在这里,这一切都可以直接发现并从源头上得到证明,前面使用☽和⊙记号的例子中就看得很清楚。

尽管如此,我并不建议在日常应用中以这种计数方式取代十进制,因为大家已经习惯了十进制,没有必要重新学习已经熟悉的内容。此外,十进制计数法更精炼,数字更短。设想我们惯用的是十二或十六进制,十进制的优点就更加明显了。不过,用0与1组成的二进制计数虽然表达冗长,却是科学中最基本的计数方式,还可以引出新的发现。这类发现甚至对数字的实际应用,特别是几何学也是有益的。原因在于,当数字被简化为最朴素的本质,比如0和1时,处处都能明显见到美妙的秩序。在数字表中便能清楚地看到,每列都被循环出现的[[周期控制着。第一列循环的是01,第二列是0011,第三列是00001111,第四列是0000000011111111,依此类推。为填充表中每一列开头出现的空位,以及更好地显示出周期,表中添加了小小的零。另外还引入了竖线,代表竖线所包围的部分周期重复。甚至平方数、立方数、其它次幂;三角形数、锥体数和其他有形数[3]均具有类似的周期性,因此我们无需运算便可立即在表中写出这类数。这项任务开始时有点麻烦,但能使得计数更加高效,可以按规则无穷无尽地写下去,因此优点也是无穷尽的。

出人意料的是,这种使用0和1的算术中还暗藏一位古代帝王与哲学家的线条符号的玄机。这位帝王与哲学家名叫伏羲,据信生活在四千多年前,中国人将他视为他们的王国与科学的始祖。其中有几个线条符号被人们说是他发明的,它们均与这种算术有关。不过我们只要在这里给出被称为基本符号的所谓八卦图就够了,注意到以下两点即可:第一,一条完整直线的意思是整体或1;第二,断线表示零或0。


图2

大概一千多年前,中国人丢失了伏羲的八卦或者说线条符号的真正含义。他们为此撰写了大量注疏,然而据我了解他们挖掘出的内容并没有什么深刻含义,所以现在欧洲人有必要为他们提供正确的解释。过程是这样的:两年多一点以前,我将自己的0-1计数法写信告诉给了白晋神父。白晋是一位生活在北京的著名法国耶稣会神父。无需更多,他马上意识到我的算术是揭开伏羲图之谜的钥匙。1701年11月4日给我写信时,他给我寄来了这位帝王哲学家的大图,图中符号共达64个,我们解释的正确性也再不容置疑了。因此也可以说,这位神父借我与他交流的内容揭开了伏羲之谜。这些图案或许是世界上科学方面最古老的丰碑,过了这么长时间又重新发现了它们的含义,自然更不寻常。

在表中加入前导零后,更能清楚地看出伏羲的图案与我的数字表的一致性。它们尽管显得多余,却能更好地显示出列中的周期,因为我使用了小圈将它们与真正的零分开。这种一致性使我对伏羲思想的深度持高度评价,因为我们现在觉得容易的事情在那遥远的过去却完全不简单。二进制或二元算术在今天看来的确非常简单,不需要太多思考,因为我们通常的计数方式帮了大忙;我们似乎只是将多余的东西去掉了。但这种惯用的十进制算术好像也不是很古老,起码希腊人和罗马人是忽视了,因而未能利用它的优点。看起来这一方法可能是格尔伯特即教皇西尔维斯特二世引进欧洲的,他又是从西班牙的摩尔人那里学来的。

中国人甚至认为中国文字也是伏羲发明的,虽然在历史的演变过程中它们有了很大变化。鉴于这一点,伏羲关于算术的文章使我们做出推断,假如能找到中国文字的起源,在这些文字中便可能会有关于数和思想的重大发现,更何况在中国人们认为伏羲发明文字时是有考虑到数字的。白晋神父有推进这一观点的强烈愿望,他也有足够能力在许多方面取得成功。不过我不清楚这种中国的书面文字中有没有我的通用表意文字项目[4]中必然具有的优点。这个优点是指任何由概念进行的推理,亦可从它们的文字符号中通过某种演算得出。而这是帮助人进行思维活动最重要的方式之一。



注释

  1. 原文:“essayeur”,英文:assayer,通常指负责检验铸造及用于铸币的金、银的化验官。
  2. 原文:“qu’on appelle Pythagorique”(这个表称为毕达哥拉斯的)。在法国、意大利、俄罗斯等国,乘法表(multiplication table)通常叫做“Table of Pythagoras”,故有此言。
  3. 即所谓figurate numbers,可以排成有一定规律形状的数。
  4. 原文:“Caractéristique que je projette”,即莱布尼茨本人设想的通用的形式化语言。拉丁文:characteristica universalis。