如何解一元三次方程？ - 知乎日报
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历史上，最早尝试一元三次方程的根式解的，是一批意大利数学家.
意大利数学家Scipione del Ferro（1465 年——1526 年）首先得出不含二次项的一元三次方程求根公式.
之后，另一位意大利数学家Niccolò Fontana "Tartaglia"（1499 年或 1500 年——1557 年）独立得出一元三次方程求根公式.
意大利数学家Girolamo Cardano（1501 年——1576 年）拜访了 Tartaglia，并获得了包含一元三次方程求根公式的暗语般的藏头诗.
很快，Cardano 从藏头诗中悟出了求解一元三次方程的方法，所以现在这个方法经常被称为“Cardano 法”
再往后，Cardano 的学生Lodovico Ferrari（1522 年——1565 年）在一元三次方程的求根公式的基础之上，给出了一元四次方程的求根公式.
我就简单讲一下一元三次方程的 Cardano 法，这也是最一般最通用的解法：
首先，对于一般一元三次方程
……（1）
（
，
）
由代数学基本定理，它必然在复数域上有根，而且只有 3 个根（包括重根）
我们总可以将所有系数除以
，化成一个首一三次多项式
即
……（2）
（
）
进一步，我们可以通过配方的办法，作代换
，以消去原方程的二次项，将之化成如下形式：
……（3）
（
）
然后，我们令
方程可以化为
整理可得
也即
……（4）
考虑方程组
……（5）
显然方程组（5）的解一定是不定方程（4）的一个解，而方程组（5）一定是有解的
可得
所以
可得
不妨取
这样
而
就是一元三次方程（3）的一个根
这个
叫做该一元三次方程的判别式
我们知道，
，
，
恰好是三次方程
的三个根
（实际上构成了一个三阶循环群）
我们很容易发现，如果
，
是方程组（5）的一组解
那么
，
和
，
同样是方程组（5）的解
这样，一元三次方程（3）的三个根分别为：
至于更一般的一元三次方程（1）、（2）的根，你再换元换回来便是，当然表达式看起来就得更复杂了……
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