Інтегральні перетворення Лапласа. Реферат. Математика.
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Інтегральні перетворення Лапласа
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
В
багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна
точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж
самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою
перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і
класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також
розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити
обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням,
коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії,
що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш
проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов
повертаються до числа. В операційному методі широко використовується
перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f ( t ) дійсної змінної t в функцію-зображення F ( p ) комплексної змінної p .
1 . Означення
перетворення Лапласа . Оригінал і зображення .
Нехай f [ t] -інтегрована на (0,Т) при довільному Т>0 функція, що
дорівнює нулю при t>0 : f[t]=0 при
t<0. Якщо ця функція при t>0 задовольняє оцінці:
При виведенні (1.3) була застосована оцінка (1.1). З оцінки (1.3), зокрема, випливає, що . Функція є аналітичною функцією комплексної змінної в півплощині . Для того щоб це
перевірити, знаходимо поки формально:
Останнє
означає що інтеграл рівномірно по Rep>a збігається і випливає що похідна існує при , і формула (1.4) справедлива при .
Інтеграл
(1.2) називається перетворенням Лапласа функції і позначається - . В цьому випадку функція називається оригіналом, а функція –
зображенням.
Перетворення
Лапласа можна зв’язати з перетворенням Фур’є. Дійсно з (1.2) маємо:
Де (Перетворення Фур’є із
знаком «-»)
2.
Властивості
перетворення Лапласа L
Для m=1 властивість вже
встановлено.
Для довільного m властивість
доводиться аналогічно.
Для m=1 за допомогою інтегрування
частинами знаходимо
При цьому ми
врахували, що виконуються наступні оцінки:
При и . Для довільного m властивість 2.3 встановлюється за індукцією
Перетворення
Лапласа і його подібності .
Зсув оригінала в
перетворенні Лапласа.
Тому за допомогою
інтегрування частинами знаходимо
При цьому ми
врахували що g[+0]=0 в силу умови (1.1)
Доведення.
Позначив Ф[ p ]=£[ f [ t ]\ t ][ p ] . Знайдемо
Останню рівність
про інтегруємо по довільному шляху від р до довільної точки z = Rez =∞
Враховуючи, що в силу (1.3) Ф[ ∞ ]=0. І отримаємо потрібну
властивість (2.8).
При довільному έ>0. Для доведення останньої
нерівності ми використовуємо також оцінку.
Тут ми
скористалися теоремою Фуббіні і змінили порядок
інтегрування.
3.
Обчислення перетворення Лапласа основних функцій
3. f[t]=cos[ωt], ω L[cos[ωt]][p] =
За означенням
гіперболічних функцій Sh[ωt]= /2
Як і у прикладі
6, знаходимо для функції
Застосуємо далі
для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини,
вважаючи р дійсним і додатнім.
Теорема 4.1 (основна) Нехай
функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній
точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується
формула подання:
Розглянемо функцію
. Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. Розглядаючи F[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.
Після множення
останньої рівності на отримаємо
4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою
Мелліна. Теорему доведено. ■
Теорема має
недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості
вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється
формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].
Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Re p > a що задовольняє умовам:
1)
При
будь-якому існує
інтеграл:
- дуги кола
радіуса R з центром в точці ( ,0)
Тоді, - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1
( )
Розглянемо
прямокутний контур (мал..4.1)
За теоремою Коши
інтеграл Г [ σ1, σ2, р ] по контуру J 1[ σ1, σ2, р ] дорівнює нулю. Перейдемо до границі
в J 1[ σ1, σ2, р ] при р →∞. Легко
переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують
до 0 при р →∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі
виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від
вибору .
Доведемо, що
побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно
є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що
для інтеграла (4.1) справедлива оцінка
Звідси випливає,
що інтеграл (4.1) рівномірно по збігається.
Доведемо, що f[t]=0, при t<0.
Для цього
розглянемо інтеграл по
замкненому контуру в
півплощині , що
складається з дуги кола радіуса R і відрізка прямої (мал. 4.2). За
теоремою Коши :
В силу леми
Жордана інтеграл по дузі кола прямує до нуля при t<0 і R→∞.
Інтеграл що залишився в границі переходить до інтегралу по прямій , дорівнює нулю при t<0. Покажемо
нарешті що перетворення Лапласа в точці p = q ( ) співпадає з F [ q ]. За допомогою формули Коши знаходимо
при
При виведенні ми врахували що інтеграл по
прямій можна замінити на інтеграл за замкненим контуром , так як
Лема Жордана. Нехай t>0 і - півколо радіуса R в півплощині . Якщо функція задовольняє умовам:
Задача Знайти перетворення Лапласа
функції
Розглянемо
спочатку L[f[t]][p] при p>0. За допомогою простої заміни змінних знаходимо
Нехай далі і . Для визначеності будемо вважати , (випадок розглядається аналогічно). Покладемо . Легко перевіряється що ps=t – додатне число.
де - відрізок променя . Побудуємо замкнений контур (мал. 5.1). За теоремою Коши:
Оцінимо інтеграл
по дузі і кола радіуса R
Перейдемо до
границі при R→∞, →0 в рівності (5.3), отримуємо
5. Приклади розв’язання базових задач
Зауваження.
Функцією-оригіналом
називається будь-яка комплексно значна функція f ( t ) дійсного аргументу t , що задовольняє
умовам:
1°. f ( t ) інтегрована на будь-якому скінченому
інтервалі вісі t (локально
інтегрована).
3°. f ( t ) зростає не
швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі і , що для усіх t
Задача1.
Показати
що функція є функцією-оригіналом.
Дійсно,
функція f ( t ) локально інтегрована
існує для
будь-яких скінчених і . Умова 2° виконана в силу завдання функції.
І
врешті решт, для будь-яких дійсних
Тобто в якості М
в умові 3° можна вибрати довільне число >1
Задача2.
Користуючись
означенням, знайти означення функції
Для функції маємо
. Тому зображення буде в усякому разі
визначене і аналітичне на півплощині . Маємо:
Тобто, . Ця функція аналітична при , і крім того вона аналітична всюди,
за виключенням точки .
Це не суперечить означенню, так як останнє гарантує аналітичність при , але не стверджує, що якщо , тоді функція буде всюди
аналітична.
Маємо .
За теоремою про інтегрування оригінала
Для знаходження
оригіналу для функції скористаємось, наприклад. Теоремою
про диференціювання зображення.
Застосування
методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в
розв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки,
радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно
дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних
рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу
згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення
розв’язання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними
коефіцієнтами задовільнє алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже може
бути легко знайдено.
1.
Владимиров
В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров-М.:Наука, 1988.-512 с.
2.
Свешников А.Г.
Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.:
Наука, 1970. – 304с.
3. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного
переменного / Ю.В.
Сидоров М.В. Федорюк М.И. Шабунин; под ред. Ю.В. Сидорова. – М.: Наука, 1982.
-488с
Похожие работы на - Інтегральні перетворення Лапласа Реферат. Математика.
Реферат: Облік і аналіз фінансових результатів
Сочинение О Известном Человеке
Практические Работы 10 11 Класс Информатика
Реферат: Сравнение основных законов мышления в формальной логике
Пример Отчета По Производственной Практике На Предприятии
Сочинение По Личным Впечатлениям 5 Класс
Дипломная работа по теме Исследование концепции ПАММ-счетов и схемы их работы
Анализ работы сервисного центра
Сочинение Бедная Лиза 350 Слов
Реферат по теме Белорусская культура как тип: структура, функции, универсалии (ценности, идеология, техника)
Список литературы по предмету: "экономическая теория"
Дружба Между Мужчиной И Женщиной Сочинение
Реферат Организация Дошкольных Учреждений
Курсовая работа по теме Анализ дебиторской и кредиторской задолженности ООО 'Центр'
Реферат по теме ПБОЮЛ
Курсовая работа по теме Создание брендбука
Реферат по теме Электронные блоки управления двигателем (ECU)
Реферат: Media Violence Essay Research Paper BLOOD GUNS
Реферат: Gender Bias In Literature Essay Research Paper
Публицистическое Сочинение О Памятнике Культуры Ломоносову
Реферат: Этика коммерсанта 2
Реферат: Андрусовское перемирие
Реферат: Olaudah Equiano Response Paper Essay Research Paper