Теория игр и все-все-все...
Однажды Винни Пух с Пятачком пошли вместе охотиться на Слонопотама. Вырыли яму-ловушку, а в качестве приманки положили на дно горшок с медом. Ночью, однако, медвежонок почувствовал, что ему чего-то очень не хватает. Уговорив себя, что он только оближет немного меда, он пошел к яме и... съел всю приманку. Естественно, Слонопотам не явился к ловушке. В терминах теории игр, Винни Пух выбрал стратегию предать свою команду ради собственной выгоды и этим лишил всех игроков коллективного блага.
В 1944 г. вышла книга «Теория игр и экономическое поведение». Ее написали двое: математик Джон фон Нейман и экономист Оскар Моргенштерн. Истоки идей фон Неймана прослеживаются еще в его статье «К теории салонных игр» (1928, на немецком). Однако задним числом историки науки находят элементы теоретико-игрового подхода уже в теории дуополии Огюстена Курно.
Идею подсказала фон Нейману игра в покер, которой он иногда отдавал свое время отдыха. Сообщают, что он не был особо хорошим игроком. Как видим, однако, никому из тех, кто его обыгрывал, идея в голову не пришла.
Покер отличается от многих других игр тем, что игроку приходится делать догадки о том, как другие игроки реагируют на его поведение, а также блефовать – стараться обмануть соперников относительно своих намерений в игре. То же самое относится и к каждому из соперников.
Книга была предназначена для математиков и экономистов. «Большинство экономистов ее не читали (и никогда не прочитают), - пишет Паундстоун. – Ее даже нет в библиотеках многих экономических вузов. В одном рекламном объявлении было сказано, что несколько экземпляров купили профессиональные игроки». Интересно, пригодилась ли им такая «теория игр»?..
Книга эта – больше полутысячи (в английском издании, а в русском – почти тысяча) страниц, заполненных математическими формулами. Читать ее непросто. Но ведь нынешних экономистов математикой не удивишь, почему же данная теория экономического поведения не стала элементом стандартного экономического анализа?
Об этом потом. Начнем с того, что теория игр не учит, как выигрывать и даже как играть в реальные игры. Игра в теории игр – это конфликт рациональных индивидов, не доверяющих друг другу. Вернее, это схема конфликта с набором заданных «очков». Очки зависят от того, какие ходы делает игрок (примерно, как у боксеров). Возможные ходы известны наперед и называются они стратегиями. Если игра многоходовая, то стратегией называют набор последовательных ходов. Так что иногда говорят о теории стратегических игр.
Фактически, эта теория есть анализ конфликтных ситуаций различного рода. Теория игр есть, в определенном смысле, раздел математической логики.
Ходы известны наперед? Где же конфликт?
У каждого участника есть выбор из нескольких возможных стратегий, каждая из которых приносит ему какие-то очки. Здесь и заложен конфликт, потому что участники, зная наперед все доступные другим стратегии, не знают заранее, кто из соперников какую именно стратегию выберет.
Выигрыш одного из участников зависит от выбора других. А выбор каждого из них зависит от выбранной им стратегии. Он строит предположения о выбранных партнерами стратегиях, но может ошибиться. Более рискованная для него стратегия обещает больше очков в случае успеха, но зато в случае неуспеха он теряет очки. И так – для всех участников игры. Ее результат определяется всеми сделанными выборами.
Известно, что фон Нейман считал свою теорию неприложимой к шахматам. Потому что теоретически, для каждой позиции в шахматной игре у каждого из игроков не только существует одна наилучшая стратегия, но она в принципе может быть просчитана обоими. Здесь нет места гаданию о том, каков будет ход противника, и нет места обману и блефу.
Общий итог выигрышей и проигрышей называется суммой игры. Если выигрыш одной стороны в точности равен проигрышу другой, имеем игру с нулевой суммой. Примеры салонных игр с нулевой суммой в реальной жизни - преферанс, покер, бридж. Когда выигрыш превышает проигрыш, имеем игру с ненулевой (положительной) суммой. В реальной жизни примером такой игры выступает взаимовыгодный обмен между лицами или странами.
Игроков может быть двое или больше. При этом, игроком (лицом) считаться может и группа, если она выступает как команда. Игра двух лиц с нулевой суммой называется антагонистической. При числе участников больше двух есть два класса игр. В одном допускаются стратегии вступать в коалицию. Это есть кооперативная игра (такие вещи допускаются, например, в преферансе, когда двое спасовавших открывают карты и объединяются против того, кто взял игру на себя). Во втором случае перед нами некооперативная игра (каждый только за себя, как обычно, хотя и не всегда, в покере).
В спортивных командных играх (футбол, хоккей...) обычно важны многие показатели (соотношение мячей, число только забитых...) – ввиду прицела на конечные результаты турнира. Но если взять изолированно один матч (что почти нереально), то важен здесь только выигрыш или проигрыш. Один выигрывает, другой проигрывает – игра с нулевой суммой. Если учитывать очки, тогда это игра с положительной суммой (1 + 0 или ½ + ½). Турнир (чемпионат) – игра с положительной суммой.
Джон фон Нейман смолоду был признан математическим гением. Его называют одним из величайших математиков. Теория игр поначалу, скорее, была его хобби. Но в итоге он увидел в ней возможность анализа реальных конфликтов жизни и мира – таких, как гонка вооружений или варианты внезапной ядерной атаки.
Он скоро понял, что теория игр дает возможность анализировать реальные дилеммы (в том числе, этического порядка), выявлять их логическую структуру и пытаться найти наилучшее решение.
В дальнейшем фон Нейман основное внимание посвятил изучению кооперативных игр (с числом игроков больше двух). Когда, например, кооперация является лучшей стратегией, чем стратегии «каждый за себя»?
Смысл кооперативных игр, которыми занимался фон Нейман, в предположении, что рациональные игроки будут стремиться вступать в групповые коалиции, если только увидят в этом свою выгоду. В таком подходе есть большой смысл, как показывает экономическая практика. Примерами служат торги, предшествующие заключению коллективного договора, сговоры фирм той или иной отрасли с целью поддержать цены, а также коалиции организованных интересов. Разнообразные, свободно формируемые самими людьми, коалиции – непременный атрибут свободного предпринимательства и, шире, свободного общества. Единственный тип некооперативных игр, рассматривавшийся фон Нейманом, это антагонистические игры, где один непременно выигрывает, а другой столько же проигрывает. Именно для такого случая он доказал теорему о минимаксе.
Минимакс есть наилучшее решение антагонистической игры. Это такое решение, когда максимальный проигрыш одного из игроков – минимален из всех возможных, а минимальный выигрыш другого – максимален из всех возможных.
Напомним, что выигрыш одного равен проигрышу другого.
Поскольку каждый из игроков стремится максимизировать свою выгоду или минимизировать потерю, равновесие достигается в точке минимакса, или, что то же самое, в седловой точке. Преследование своей выгоды каждым игроком, не доверяющим партнеру, ведет обоих к равновесию минимакса.
Продолжение следует...