Теорема Виета

После того, как вы внимательно изучите, как решать квадратные уравнения обычным образом с помощью формулы для корней можно рассмотреть другой способ решения квадратных уравнений — с помощью теоремы Виета.

Перед тем, как изучить теорему Виета, хорошо потренируйтесь в определении коэффициентов «a», «b» и «с» в квадратных уравнениях. Без этого вам будет трудно применить теорему Виета.

Когда можно применить теорему Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

Приведенное квадратное уравнение— это уравнение, в котором старший коэффициент «a = 1». В общем виде приведенное квадратное уравнение выглядит следующим образом: x^2+ px + q = 0

Обратите внимание, что разница с обычным общим видом квадратного уравнения «ax^2+ bx + c = 0» в том, что в приведённом уравнении «x^2+ px + q = 0» коэффициент «а = 1».

Если сравнить приведенное квадратное уравнение «x^2+ px + q = 0» с обычным общим видом квадратного уравнения «ax^2+ bx + c = 0», то становится видно,  что «p = b», а «q = c».

Теперь давайте на примерах разберем, к каким уравнениям можно применять теорему Виета, а где это не целесообразно.

Как использовать теорему Виета

Теперь мы готовы перейти к самому методу Виета для решения квадратных уравнений.

Рассмотрим пример.

x^2+ 4x − 5 = 0

Так как в этом уравнении «a = 1», квадратное уравнение считается приведённым, значит, можно использовать метод Виета. Выпишем коэффициенты «p» и «q».

• p = 4
• q = −5

Запишем теорему Виета для квадратного уравнения.

Методом подбора мы приходим к тому, что корни уравнения «x1= −5» и «x2= 1». Запишем ответ. Ответ: x1= −5; x2= 1

Рассмотрим другой пример.

x^2+ x − 6 = 0

Старший коэффициент «a = 1» поэтому можно применять теорему Виета.

Методом подбора получим, что корни уравнения «x1= −3» и «x2= 2». Запишем ответ. Ответ: x1= −3; x2= 2

Если у вас не получается решить уравнение с помощью теоремы Виета, не отчаивайтесь. Вы всегда можете решить любое квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней.

Деление уравнение на первый коэффициент

Рассмотрим уравнение, которое по заданию требуется решить, используя теорему Виета.

2x^2− 16x − 18 = 0

Сейчас в уравнении «a = 2», поэтому перед тем, как использовать теорему Виета нужно сделать так, чтобы «a = 1».

Для этого достаточно разделить все уравнение на «2». Таким образом, мы сделаем квадратное уравнение приведённым.

2x^2− 16x − 18 = 0           | (:2) 2x^2(:2)− 16x(:2)− 18(:2)= 0

x^2− 8x − 9 = 0

Теперь «a = 1» и можно смело записывать формулу Виета и находить корни методом подбора.

Бывают задачи, где требуется найти не только корни уравнения, но и коэффициенты самого уравнения. Например, как в такой задаче.

Корни «x1» и «x2» квадратного уравнения «x2+ px + 3 = 0» удовлетворяют условию «x2= 3x1». Найти «p», «x1», «x2».

Запишем теорему Виета для этого уравнения.

x^2+ px + 3 = 0

Решим полученное квадратное уравнение «x1^2= 1» методом подбора и найдем «x1».   

• (Первый корень) x1= 1
• (Второй корень) x1= −1

Мы получили два значения «x1». Для каждого из полученных значений найдем «p» и запишем все полученные результаты в ответ.

(Первый корень) x1= 1

Найдем «x2»

x1· x2= 3

1 · x2= 3

x2= 3

Найдем «p»

x1+ x2= −p

1 + 3 = −p

4 = −p

p = −4;

(Второй корень)x1= −1

Найдем «x2»

x1· x2= 3

−1 · x2= 3

−x2= 3        | ·(−1)

x2= −3

Найдем «p»

x1+ x2= −p

−1 + −3 = −p

−4 = −p

p = 4

Ответ:(x1= 1; x2= 3; p = −4)   и   (x1= −1; x2= −3; p = 4)