События в теории вероятности и комбинаторике

Предлагаю вам начать переходить от теории к практике и рассмотреть несколько типовых ситуаций, которые можно назвать базовыми в теории вероятности и комбинаторике.

Пусть есть некоторые события A и B. Возьмём произвольно вероятность каждого события по 0,1. Требуется найти вероятность того, что произойдёт событие A или событие B.

Когда в задаче присутствует слово "или", это говорит о том, что должно произойти хотя бы одно событие из заданных (произойдет событие А или событие B или оба события одновременно).

Тогда решать будем так: Вероятность того что произойдет событие A или B равна P(A) + P(B) = 0,1 + 0,1 = 0,2 (где P(A) и P(B) - вероятности событий A и B соответственно)

Операция такая называется сложением событий.

Рассмотрим второй тип:

Пусть есть некоторые события A и B. Возьмём произвольно вероятность каждого события по 0,1. Требуется найти вероятность того, что произойдёт событие A и событие B.

Ключевое слово в задаче это "и". Оно говорит о том, что оба события должны произойти одновременно и никак иначе.

В таком случае вероятность мы будем находить через умножение:

P(A) * P(B) = 0,1 * 0,1 = 0,01

Эта операция называется умножением событий.

Итак:

"или" - сложение вероятностей

"и" - умножение вероятностей

Разберём пример:

Игральный кубик с шестью гранями бросают два раза. Определите вероятность того, что в первый раз выпадет пять очков, а во второй не выпадет пять очков.

Вероятность того, что выпадет пять очков равна 1/6

Вероятность того, что пять очков не выпадет равна 1 - 1/6 = 5/6 (по основной теореме теории вероятности)

Мы видим что в задаче нет слова "или" и вообще по смыслу предполагается что произойдет и первое событие и второе. Следовательно нам надо применить умножение вероятностей: 1/6 * 5/6 = 5/36 - итоговая вероятность.

Теперь поговорим о сложении и умножении в комбинаторике (идея похожа на теорию вероятностей):

1. Пусть у нас есть некоторый объект A, который можно выбрать из некоторого множества n способами. И есть объект B, который можно выбрать из этого же множества m способами. Тогда объект A или объект B можно выбрать n+m способами.
2. Пусть у нас есть некоторый объект A, который можно выбрать из некоторого множества n способами. И есть объект B, который можно выбрать m способами (после того как уже был выбран объект A). Тогда объекты A и B можно выбрать n * m способами.

Для того, чтобы понять было легче, приведу примеры на каждый вид задач:

В магазине канцелярских товаров есть две коробки: в одной лежит 50 различных ручек, в другой лежит 35 разноцветных карандашей (все попарно отличны). Сколькими способами можно выбрать три товара одного типа. (То есть только три ручки или три карандаша)

Мы видим тут ключевое слово "или" (вообще его может не быть в условии, но вы должны понимать что имеется в виду)

Следовательно количества комбинаций мы будем складывать.

Три ручки можно выбрать C(50, 3) = 50!/(47! * 3!) = 48 * 49 * 50 / 6 = 19600 способов.

Для карандашей: C(35, 3) = 35!/(32! * 3!) = 33 * 34 * 35 / 6 = 6545

Итого: 19600 + 6545 = 26145 способов

Пример на второй тип:

Пин-код банковской карты состоит из четырёх цифр. Сколько существует всевозможных пин-кодов? (Цифры могут быть любыми от 0 до 9)

Первую цифру пин-кода можно выбрать С(10, 1) = 10 способами (так как всего десять возможных цифр), так же как и вторую и третью и четвёртую.

Следовательно, на первом месте может стоять 10 цифр и одновременно с этим на втором месте тоже может стоять 10 цифр и так далее.

Итог: 10 * 10 * 10 * 10 = 10000 всевозможных пин-кодов.

P.S. Это последняя статья с теорией по комбинаторике и теории вероятности. Осталось только закрепить на практике)

@honey_and_money - С каждым днём всё ближе к своей мечте!