s15.5
15.5. Вдоль окружности растут c) 44 дерева. На них сидят чижи (по одному на каждом дереве). Любые 2 чижа могут одновременно вспорхнуть и перелететь на соседние деревья: один – по часовой стрелке, другой – против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?
Решение. (ответ - нет).
Давайте всем деревьям присвоим номера по порядку. От 1 до 44 – 1, 2, 3....44
Я теперь буду смотреть какой номер дерева у чижиков среднем. Что происходит при операции, когда Чижи разлетаются в разные стороны, у одного номер дерева увеличивается, у другого номер дерева уменьшается почти всегда. Это значит, что у них сумма номеров деревьев, на которых они сидят, вроде бы, не меняется. Но есть один нюанс. Когда дерево 44 и дерево 1, если у нас кто то перелетает с 44 на 1, здесь уменьшается на один (с 1 на 2), а здесь уменьшается на 43 (с 44 на 1). Эта сумма может уменьшится или увеличится на 44. Так да. Если наши Чижи собрались на одном дереве, в конце концов. То у нас была сумма номеров деревьев. Мы к ней прибавили или вычли 44 на какое-то количество штук? И получили, что это 44 умножить на какой-то номер дерева. Тогда получается, что сумма номеров деревьев делится на 44 (1+2+3+…+43+44=990). А по условию она не делится на 44, потому что сумма чисел от 1 до 44 не делится на 44. Это противоречие.
Значит, на самом деле здесь противоречие состоит в модуле 4. Здесь важно, что 44 это число кратное четырем. И поэтому эту задачу можно решить раскраской в 4 цвета. Давайте это проделаем. Присвоим всем чижам номера. 1230. То есть у нас есть итак 11 раз, что происходит с чижиком у него либо плюс один? Либо минус один. И всё это по модулю 4, то есть на самом деле сумма чисел, которая написана под деревом под чижом по модулю 4 не меняется. Сумма номеров деревьев, на которых сидят чижи по модулю не меняется, но изначально она 6 на 11 66 не кратно четырем, а в конце будет кратно четырем, если они все собрались на одном дереве. Но этого получается знакомая покраска в 4 цвета. Работает, мы пронумеровали деревья, все получились просто по кругу.