Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства. x − 6 < 8

Так как в неравенстве «x − 6 < 8» неизвестное «x» стоит в первой степени, такое неравенство называют линейным.

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом «1».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

При переносе из левой части в правую (и наоборот) член неравенства меняет свой знак на противоположный.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

x −6 < 8  x < 8 +6  x < 14

Итак, мы получили ответ к неравенству «x < 14». Но что означает такой ответ?

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного «x» и отметим на ней число «14».

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу «x < 14» все решения неравенства, то есть область слева от числа «14».

Возьмем, например число «12» из заштрихованной области и подставим его вместо «x» в исходное неравенство «x − 6 < 8».

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ «x < 14» можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее «14») будет являться решением неравенства «x − 6 < 8».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство. 2x − 16 > 0

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть. 2x − 16 > 0 2x > 16

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном «x» стоял коэффициент «1». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число «2».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

Если неравенство умножается (делится) на положительное число, то знак самого неравенства остаётся прежним.

Если неравенство умножается (делится) на отрицательное число, то знак самого неравенства меняется на противоположный.

Разделим «2x > 16» на «2». Так как «2» — положительное число, знак неравенства останется прежним.

 2x > 16   | (:2)

2x (:2)> 16 (:2)      

x > 8       

Рассмотрим другое неравенство 9 − 3x > 0

Используем правило переноса. −3x > −9

Разделим неравенство на «−3». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

−3x ≥ −9

               −3x ≥−9     | :(−3)

−3x : (−3)≤−9 :(−3)

x ≤ 3