Принцип Дирихле

Самая популярная формулировка принципа Дирихле такова: «Если в n клетках сидит N зайцев, причем N > n, то хотя бы в одной клетке сидят по крайней мере два зайца». На первый взгляд даже непонятно, почему это совершенно очевидное замечание является весьма эффективным методом решения задач. Дело в том, что в каждой конкретной задаче нелегко бывает понять, что же здесь «зайцы» и «клетки» и почему зайцев больше, чем клеток. Выбор зайцев и клеток часто неочевиден; далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться принципом Дирихле. А главное, этот метод даёт неконструктивное доказательство (мы, естественно, не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть), а попытка дать конструктивное доказательство, т. е. доказательство путем явного построения или указания требуемого объекта, может привести к гораздо большим трудностям.

2. Некоторые задачи решаются также методами, в какой-то мере аналогичными принципу Дирихле. Сформулируем соответствующие утверждения (все они легко доказываются методом от противного).

а) Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков. сумма длин которых больше 1, то по крайней мере два из них имеют общую точку.

б) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2p, то по крайней мере две из них имеют общую точку.

в) Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1, то по крайней мере две из них имеют общую точку.