(Не)совершенная случайность

Но даже после перехода на удобную для использования систему счисления понадобилось не одно столетие, прежде чем люди признали сложение, вычитание, умножение и деление основополагающими математическими операциями и медленно осознали, что специальные символы облегчат выполнение этих операций. Поэтому лишь к XVI в. западный мир созрел для теории вероятностей. Несмотря на неудачную систему счисления, именно римляне, эти завоеватели греков, сделали первые шаги к пониманию случайности.

Вообще-то римляне относились к математике с презрением, по крайней мере, к математике греков. По словам римского сенатора Цицерона, жившего с 106 по 43 гг. до н. э., «греки более всего почитали геометрию; соответственно, в математике они достигли величайших успехов. Однако мы, действуя в пределах этого искусства, извлекли из математики пользу, приспособив ее для измерений и вычислений»
{32}

. В самом деле, в то время как в греческих книгах доказывалось равенство абстрактных треугольников, в римских книгах приводился ход вычислений глубины реки, другой берег которой занял неприятель
{33}
. Неудивительно, что греки дали миру стольких великих математиков: Архимеда, Диофанта, Евклида, Евдокса, Пифагора, Фалеса, а римляне — ни одного. С такими-то приоритетами
{34}

! Римляне ценили удобства и вели войны, их не интересовали истина и красота. Но именно благодаря своей практичности они разглядели пользу от понимания вероятности. Поэтому, не видя особого проку от абстрактной геометрии, Цицерон написал, что «вероятность ведет нас по жизни»
{35}
.

Цицерона можно было бы назвать величайшим античным поборником принципа вероятности. Он прибегал к нему, когда оспаривал общепринятое объяснение успеха в азартных играх как божественного вмешательства, говоря, что «тому, кто играет, рано или поздно выпадет бросок Венеры, рано или поздно выпадет и два, три броска подряд. Но надо быть слабоумным, чтобы утверждать, будто это — результат личного вмешательства Венеры, а не чистой воды везенье»
{36}

. Цицерон верил, что событие возможно предвидеть, пусть даже оно и произойдет совершенно случайно. Он даже приводил доказательство из области статистики, высмеивая веру в астрологию. Цицерону не нравилось, что астрология, хоть и запрещенная в Риме, процветала; он отметил, что в 216 г. до н. э. в сражении при Каннах Ганнибал со своим пятидесятитысячным карфагенским войском, а также союзными войсками разгромил гораздо более многочисленную римскую армию: из 80 тыс. солдат полегло 60 тыс. «Едва ли у всех римских солдат, погибших в битве, был одинаковый гороскоп, — говорил Цицерон. И тем не менее всех постигла одна и та же участь

{37}
». Цицерону наверняка было бы приятно узнать, что пару тысячелетий спустя в одном солидном научном журнале ученые, изучив обоснованность астрологических предсказаний, согласились с его выводами
{38}
. С другой стороны, сегодня в «Нью-Йорк пост» напечатали, что мне, Стрельцу, следует отнестись к критике объективно, приняв ее во внимание.

В итоге Цицерон внес немалый вклад в развитие идей вероятности — термин probabilis, который он использовал, лег в основу современного термина. И лишь в «Дигестах», одной из частей римского права, составленного императором Юстинианом I, появляется документ, в котором впервые вероятность упоминается как юридический термин
{39}

. Чтобы оценить то, как римляне применили математические суждения в теории права, необходимо представлять себе те времена: римское право в Средние века основывалось на обычном, т. е. основанном на обычаях, праве германских племен. Которые мягкостью не отличались. Взять, к примеру, свидетельские показания. Правдивость мужа, отрицающего любовную связь с портнихой жены, определялась бы не способностью муженька выдержать уколы адвоката противной стороны, а тем, станет ли он придерживаться своей версии даже после уколов — настоящих, каленым железом. (Вот увидите: стоит только вернуться к такому обычаю, как очень многие будут разводиться без всякой помощи со стороны суда.) И если обвиняемый скажет, что колесница даже не пыталась затормозить, а привлеченный в качестве эксперта свидетель по следам лошадиных копыт заявит, что пыталась, германское право предписывало довольно-таки простой рецепт: «Пусть спор разрешится посредством поединка на копьях между двумя с обеих сторон. Проигравший будет сочтен лжесвидетелем, и ему отсекут правую руку»

{40}
.

Заменяя или скорее дополняя судебную практику сражением, римляне стремились с помощью математической точности исправить недостатки своей старой, произвольной системы. Как мы видели, римская идея справедливости включала в себя прогрессивные понятия. Признавая, что доказательства и свидетельские показания зачастую вступают в противоречие и что наилучший способ разрешить такое противоречие — выразить неизбежную неопределенность в количественном виде, римляне ввели понятие неполного доказательства. Оно применялось в тех случаях, когда отсутствовали неопровержимые основания для того, чтобы верить или не верить доказательствам или свидетельским показаниям. В некоторых случаях римская теория допускала еще более детальные степени доказательства, как, например, в положении о церкви: «епископ может быть осужден только при наличии семидесяти двух свидетелей… иерей может быть осужден только при наличии сорока четырех свидетелей, дьякон города Рима — при наличии тридцати шести свидетелей, иподьякон, пономарь, заклинатель, изгоняющий беса, псаломщик или дверник — при семи свидетелях

{41}
». Чтобы человека осудили при таких правилах, он должен не только совершить преступление, но и убедить в этом других. И все же признание того, что вероятность истины в показаниях может варьировать и что необходимы правила для сочетания таких вероятностей, — уже что-то. И вот в таком маловероятном месте, как древний Рим, впервые возник упорядоченный набор правил, в основе которых лежала вероятность.

К сожалению, едва ли возможно с ловкостью жонглировать числами вроде «VIII» или «XIV». В конце концов, хотя римское право было не лишено определенной доли юридического рационализма и связности, ему недоставало математической обоснованности. К примеру, в римском праве два неполных доказательства составляли полное доказательство. Это может показаться резонным тому, чей ум не привык мыслить категориями количества. При сегодняшней распространенности дробей напрашивается вопрос: если два неполных доказательства составляют полное доказательство, то чему равны три неполных доказательства? Согласно правильному методу сложения вероятностей, полное доказательство невозможно составить не только из двух неполных доказательств, но и из любого количества неполных доказательств, потому что при сложении вероятностей нужно не складывать их, а умножать.

Что подводит нас к очередному закону, правилу сложения вероятностей: «Если два вероятных события, А и В, не зависят друг от друга, то вероятность того, что А и В произойдут, равна произведению их отдельных вероятностей». Предположим, каждый год у человека женатого вероятность развестись равна примерно 1 к 50. С другой стороны, каждый год у полицейского вероятность погибнуть при исполнении равна 1 к 5000. Какова вероятность для женатого полицейского развестись и погибнуть в одном и том же году? Согласно вышеприведенному принципу, если события независимы друг от друга, шансы окажутся примерно такими:

1
/
50
×
1
/
5000
, то есть
1
/
250000
. Конечно же, события эти не являются независимыми друг от друга, они связаны: если полицейский погибнет, как он, черт возьми, может развестись? В таком случае вероятность такого исключительного невезения на самом деле получается чуть менее 1 из 250 000.

Но почему умножение, а не сложение? Предположим, у вас фотографии 100 парней, с которыми вы познакомились через сайт знакомств в Интернете, тех самых парней, в профиле у которых висит фотография, напоминающая Тома Круза, а в жизни они скорее смахивают на Дэнни Де Вито. И вот вы подбираете наиболее привлекательных кандидатов. Предположим также, что на оборотной стороне каждой фотографии вы пишете два качества парня, к примеру, честный («да» или «нет») и привлекательный («да» или «нет»). И, наконец, предположим, что 1 из 10 возможных родственных душ получает в каждом случае «да» или «нет». Сколько парней из 100 пройдут тест по обеим категориям? Возьмем честность как основную черту (впрочем, можно основной сделать и привлекательность). Поскольку 1 из 10 получает «да» в категории «честный», в итоге останутся 10 парней из 100. Сколько парней из этих 10 окажутся привлекательными? Снова 1 из 10. В итоге у вас остается одна фотография. Первые 10 из 100 снижают вероятность на

1
/
10
, то же самое происходит и при следующем отборе — 1 из 10. Как результат, 1 из 100. Вот почему мы умножаем. И если ваши требования не ограничиваются честностью и привлекательностью, придется все умножать и умножать, так что… удачи!

Прежде чем мы продолжим, стоит обратить внимание на одну важную деталь: условие «если два вероятных события, А и В, не зависят друг от друга». Предположим, в самолете осталось 1 свободное место, а регистрацию не прошли еще 2 пассажира. Предположим, что работники аэропорта по своему опыту знают: в 2 из 3 случаев пассажир, забронировавший место, все же прибывает. Воспользовавшись правилом умножения, бортпроводница у входа на посадку может прийти к следующему выводу: вероятность того, что ей придется иметь дело с недовольным пассажиром, равна

2
/
3
×
2
/
3
, то есть примерно 44%. С другой стороны, вероятность того, что пассажир не явится вовсе, а самолет так и улетит с одним незанятым местом, равна
1
/
3
×
1
/
3

, то есть примерно 11%. Но это при условии того, что пассажиры не зависят друг от друга. А если, скажем, они летят вместе? В таком случае вышеприведенные выкладки не действуют. Вероятность того, что прибудут оба пассажира, равна 2 из 3 — такая же, что и вероятность появления одного пассажира. Важно не забывать, что суммарная вероятность из простых вероятностей получается только при условии, если события никоим образом не связаны друг с другом.

Правило, которым мы только что воспользовались, вполне возможно применить и к римской идее неполных доказательств: вероятность ошибочности двух независимых друг от друга неполных доказательств равна 1 из 4, таким образом, два неполных доказательства составляют
3
/
4
доказательства, а не целое. Римляне применили сложение там, где следовало применить умножение.

Однако существуют ситуации, в которых вероятности следует суммировать, и тут мы переходим к следующему закону. Потребность в нем возникает, когда нам надо узнать: каковы шансы того, что произойдет одно либо другое событие, в противоположность предыдущей ситуации, когда нужно было узнать: каковы шансы того, что и одно и другое событие произойдут вместе. Закон гласит: «Если событие состоит из ряда элементарных исходов А, В, С и т. д., то вероятность А или В равна сумме отдельных вероятностей А и В, а сумма вероятностей всех возможных исходов (А, В, С и т. д.) равна 1 (те. 100%)». Если вы хотите узнать, какова вероятность того, что два независимых друг от друга события, А и В, произойдут, вам надо будет произвести умножение; если вы хотите узнать вероятность того, что любое из двух взаимоисключающих событий, А или В, произойдет, вы производите сложение. Вернемся к нашему самолету. Когда бортпроводнице нужно будет суммировать вероятности, а не умножать их? Предположим, она хочет узнать, какова вероятность того, что явятся либо оба пассажира, либо не явится ни один. В таком случае она должна сложить отдельные вероятности, которые согласно произведенным нами выше подсчетам будут равны 55%.

Эти три правила, такие простые, и лежат в основе теории вероятностей. Если применять их должным образом, можно многое понять в механизмах природы и повседневной жизни. Принимая решения, мы постоянно пользуемся этими правилами. Однако, как и римские законодатели, не всегда корректно.

Легко задним числом качать головами и писать книжки вроде «Этих ужасных римлян» («Схоластик», 1994). Но чтобы предупредить ничем не оправданное самодовольство, в заключение этой главы рассмотрим некоторые способы, при помощи которых те самые основные правила, о которых я рассказал, могут быть применены и к нашей правовой системе. Оказывается, этого достаточно, чтобы отрезвить любого опьяненного своим культурным превосходством.

Радует тот факт, что в наше время неполных доказательств не существует. Однако существует что-то вроде 999 000/1 000 000 доказательства. Об этом знают специалисты, которых привлекают на уголовном процессе к анализу ДНК с места преступления на предмет ее совпадения с ДНК подозреваемого. Насколько надежны такие сравнения? Когда впервые ввели анализ ДНК, целый ряд специалистов отметили: теперь ошибка исключена. В наше же время признают, что вероятность совпадения ДНК с места преступления с ДНК случайного человека равна менее 1 из 1 млн или 1 из 1 млрд. При такой-то вероятности едва ли можно винить присяжного за мысли вроде: «Тюрьма по нему плачет!». Но существует и другая статистика, в которую присяжных обычно не посвящают, и связана она с тем фактом, что совершают ошибки лаборатории: когда берут образец или производят с ним манипуляции, когда случайно путают образцы, подменяют один другим, неверно интерпретируют результаты или же ошибаются в отчетах. Каждая из этих ошибок случается редко, однако не реже совпадения образца ДНК с ДНК случайного человека. К примеру, в филадельфийской криминалистической лаборатории признались, что при расследовании случая изнасилования перепутали контрольный образец обвиняемого с образцом жертвы, да и в компании «Селлмарк Диагностикc», выполняющей анализы, рассказали о подобном случае

{42}

. К сожалению, сила данных по ДНК анализу такова, что оклахомский суд, основываясь на этих данных, приговорил некого Тимоти Дарема к более чем 3 тыс. лет тюремного заключения, и это несмотря на показания одиннадцати свидетелей, которые утверждали, что на момент совершения преступления Дарем находился в другом штате. Оказалось, что на начальном этапе анализа в лаборатории не удалось полностью разделить ДНК насильника и ДНК жертвы, в результате чего получившаяся комбинация дала положительный результат при сравнении с ДНК Дарема. Позднее повторный анализ выявил ошибку и Дарема выпустили, однако к тому времени он провел за решеткой почти четыре года

{43}
.

Данные подсчетов частоты ошибок, возникших по вине человека, различаются, однако многие специалисты говорят о примерно 1%. Но так как частоту ошибок по многим лабораториям никто не проверял, в судах редко принимают во внимание показания относительно подобной общей статистики. Даже если бы и принимали, как бы присяжные смогли оценить их? Большинство присяжных допускают, что при наличии двух типов ошибок — 1 из 1 млрд при случайном совпадении и 1 на 100 при ошибочном совпадении в лаборатории — общая частота ошибок должна находится где-то посередине, скажем, 1 из 500 млн. Цифра, по мнению присяжных, не дающая поводов для обоснованного сомнения.

А ход мысли такой. Раз обе ошибки крайне маловероятны, можно не обращать внимания на вероятность и случайного совпадения, и ошибки лаборатории. Следовательно, находим вероятность того, что случится либо одна ошибка, либо другая. Что, по правилу сложения, равно: вероятность ошибки лаборатории (1 из 100) + вероятность случайного совпадения (1 из 1 млрд). Поскольку второе в 10 млн меньше первого, то в весьма хорошем приближении вероятность обеих ошибок равна вероятности более вероятной ошибки, то есть, 1 из 100. Таким образом, можно пренебречь предупреждением специалистов о возможности случайного совпадения, и обратить внимание на гораздо более вероятный риск лабораторных ошибок. А ведь зачастую суды не позволяют адвокатам предоставлять эти данные! Выходит, что мнения о надежности анализа ДНК преувеличены.

И это не отдельный вопрос. Использование математических выкладок в современной правовой системе сопряжено с затруднениями ничуть не в меньшей степени, чем в Риме много столетий назад. Одним из наиболее известных дел, служащих примером правильного и неправильного применения вероятности в юриспруденции, является дело «Штат против Коллинзов», слушания по которому проходили в 1968 г. в калифорнийском Верховном суде
{44}
. Вот выдержка из судебного решения:

18 июня 1964 г. около 11:30 миссис Хуанита Брукс, совершавшая покупки, шла вдоль переулка в Сан-Педро, г. Лос-Анджелес. За собой она катила тележку с плетеной корзиной, в которой лежали продукты, а поверх — кошелек. Миссис Брукс опиралась на трость. Когда она наклонилась, чтобы поднять пустую коробку, ее внезапно сбил человек — она не видела и не слышала его приближения. После падения миссис Брукс не сразу пришла в себя — она больно ударилась. Подняв голову, миссис Брукс успела заметить убегавшую молодую женщину. По словам миссис Брукс, женщина была среднего сложения, одета «во что-то темное», а о цвете волос миссис Брукс отозвалась как о «чем-то среднем между русым и светлой блондинкой», но светлее, чем волосы обвиняемой Джанет Коллинз, как выяснилось во время суда. Сразу после случившегося миссис Брукс обнаружила, что исчез ее кошелек, в котором было долларов 35 или 40.

Примерно в то же самое время, как произошло ограбление, Джон Басс, живущий в том же переулке, только в самом конце, поливал газон перед домом. Его внимание привлекли «плач и крики». Он повернулся на звуки и увидел, как из переулка выбегает женщина и садится в желтую машину через дорогу. Машину тут же завели; она рванула, на скорости объезжая другую машину, и при этом проехала совсем рядом с Бассом. Басс заметил, что за рулем сидел негр с усами и бородой… Другие свидетели описывали машину как желтую, желтую с кремово-белым верхом, желтую с верхом цвета яичной скорлупы. О самой машине отзывались как о большой либо средних размеров.

Через несколько дней после ограбления Лос-анджелесский полицейский заметил желтый «линкольн» с кремово-белым верхом — машина стояла у дома обвиняемых. Полицейский вступил с ними в разговор, объясняя, что расследует ограбление. Он отметил, что внешность подозреваемых соответствовала описанию свидетелей, за исключением бороды у мужчины, впрочем, мужчина сказал, что раньше носил бороду. В тот же день, только позднее, полиция арестовала подозреваемых, ими оказались Малькольм Рикардо Коллинз и его жена Джанет.

Улик против подозреваемой пары было недостаточно, и дело строилось в основном на их опознании жертвой и свидетелем, Джоном Бассом. К несчастью для обвиняющей стороны, ни миссис Брукс, ни Джон Басс не годились в качестве главных свидетелей. Миссис Брукс не могла опознать Джейн как исполнителя преступления, а водителя машины вообще не видела. Джон Басс не видел саму преступницу, а из нескольких лиц, предъявленных к опознанию, не смог с уверенностью показать водителя. Казалось, дело разваливается.

И тут появляется главный свидетель, который в бумагах суда записан всего лишь как «учитель математики из государственного колледжа». Этот свидетель сделал заявление: факта того, что обвиняемые были «белой женщиной со светлыми волосами, завязанными в хвост… {и} негром с бородой и усами», который сидел за рулем частично желтой машины, достаточно для признания пары виновной. Чтобы наглядно доказать свое утверждение, обвиняющая сторона представила следующую таблицу, слово в слово приведенную из решения суда:

Характерная особенность
Отдельная вероятность
частично желтая машина
1/10
мужчина с усами
1/4
негр с бородой
1/10
женщина с волосами, завязанными в хвост
1/10
женщина со светлыми волосами
1/3
мужчина и женщина разной расовой принадлежности в машине
1/1000

Учитель математики, выступавший со стороны обвинения, сказал, что к этим данным применимо правило умножения вероятностей. Умножая все вероятности, можно прийти к выводу, что шанс Коллинзов на соответствие всем этим четким характеристикам равен 1 из 12 млн. Соответственно, по словам обвинителя, можно заключить, что вероятность Коллинзов оказаться невиновными равна 1 из 12 млн. Затем обвинитель отметил, что эти отдельные вероятности являются оценочными показателями, и предложил присяжным высказать свои собственные догадки, а затем перейти к математическим подсчетам. Сам он, продолжал обвинитель, полагает, что показатели достаточно скромные; у него вероятность с учетом факторов приближается к 1 из млрд. Присяжные согласились и вынесли обвинительный приговор.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь