(Не)совершенная случайность

Глава 7
ИЗМЕРЕНИЕ И ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОШИБОК

Не так давно мой сын Алексей, вернувшись из школы, сообщил об оценке по английскому, полученной им за последнее сочинение. Ему поставили 93 балла. Будь все как обычно, я бы поздравил его с высшей оценкой —
A
. Но поскольку в пределах
A

это невысокий балл, а я знаю, что он способен на большее, я бы не преминул добавить: оценка говорит о том, что если в следующий раз он приложит чуть больше усилий, то получит более высокий балл. Однако все было отнюдь не как обычно, и я счел 93 балла возмутительной недооценкой сочинения. Здесь вам, верно, подумалось, что предыдущие несколько предложений говорят больше обо мне, нежели об Алексее. Что ж, вы совершенно правы. На самом деле, вся эта история обо мне, потому что сочинение за Алексея написал я.

О да, позор на мою голову! В свою защиту должен сказать, что в более мирных обстоятельствах скорее дотянулся бы за Алексея пяткой до подбородка на его занятиях по кунг-фу, чем писал бы за него сочинение. Но дело в том, что Алексей подошел ко мне с просьбой взглянуть на его работу как обычно, поздно вечером, в день перед сдачей сочинения. И я пообещал взглянуть. Начав читать сочинение с экрана компьютера, я поначалу внес несколько незначительных изменений — ничего такого, на что стоило бы обратить внимание. Однако затем редактор во мне начал шаг за шагом переставлять и перефразировать то и это, а когда дошел до конца, оказалось, что Алексей уже спит крепким сном, а я по сути написал новое сочинение. На следующее утро, смущенно признавшись, что поленился сохранить файл под новым именем, я сказал ему, чтобы он просто сдал мой вариант.

Сын протянул мне проверенное сочинение, похвалив его весьма сдержанно. «Неплохо, — сказал он. — Оно, конечно, 93 балла — это скорее
A
с минусом, чем
A

, но было уже поздно, и если бы у тебя не слипались глаза, наверняка справился бы лучше». Не сказать, чтобы я был рад. Во-первых, мало приятного в том, что твой пятнадцатилетний сын говорит тебе те самые слова, которые ты прежде обращал к нему, и при этом они кажутся тебе совершенно пустыми. Но кроме того, как могло мое сочинение — труд человека, которого даже собственная мать считает профессиональным писателем, — не получить достойной оценки у школьного учителя английского? Понятное дело, я был не одинок. Уже потом мне рассказали о другом писателе, с которым приключилась точно такая же история, с той лишь разницей, что его дочь получила еще более низкую оценку —

B

. Тексты, выходившие из-под пера этого писателя с докторской степенью по английскому языку, вполне удовлетворяли даже столь взыскательные издания, как «Роллинг Стоун», «Эсквайр» и «Нью-Йорк Таймс», но только не учителя средней школы. Алексей попытался утешить меня, поведав еще одну историю. Как-то раз двое его друзей сдали одно и то же сочинение. Сын решил, что они сглупили, и их немедленно разоблачат. Однако перегруженная учительница не только не заметила удвоения, но и поставила за одно сочинение 90 баллов (

A
), а за другое — 79 (
C
). На первый взгляд, странно, но только если вам не доводилось, как мне, ночь напролет проверять здоровенную стопку работ, гоняя по кругу, чтобы ненароком не заснуть, музыку из «Стар Трек».

Числам всегда приписывается особый вес. Рассуждение, во всяком случае, неосознанно, строится примерно так: если учитель оценивает сочинение по сто-балльной шкале, эти незначительные различия и в самом деле что-то значат. Но если десять издателей сочли, что рукопись первого тома «Гарри Поттера» не заслуживает публикации, то каким образом бедная миссис Финнеган (на самом деле ее зовут не так) проводит тонкое различение между двумя школьными сочинениями, ставя за одно 92 балла, а за другое 93? Если мы допускаем, что качество сочинения в принципе поддается определению, то нам придется признать, что оценка — не описание качества сочинения, но его измерение, а измерение, как ничто другое, подвержено случайности. В случае с сочинением измерительный инструмент — учитель, а в выставляемых им оценках, как и в любом измерении, проявляются случайная дисперсия и ошибки.

Еще один вид измерения — голосование. В этом случае мы измеряем не столько количество людей, поддерживающих того или иного кандидата на момент выборов, сколько количество тех, кто не поленился прийти в избирательный участок и проголосовать. В этом измерении тоже множество источников случайной ошибки. Одни законные избиратели, приходя в участок, обнаруживают, что их имя не внесено в списки для голосования. Другие по ошибке голосуют не за того, за кого собирались. Конечно же, ошибки возникают и при подсчете голосов. Часть бюллетеней ошибочно признается недействительными или, напротив, действительными. Еще часть может быть утеряна. Как правило, даже все эти факторы в совокупности не могут повлиять на исход выборов. Однако в случае выборов, где у соперников шансы на победу приблизительно равны, они могут сыграть свою роль, и тогда голоса обычно подсчитываются не один, а несколько раз, как если бы второй или третий подсчет были меньше подвержены влиянию случайной ошибки, чем первый.

Например, в 2004 г. во время выборов губернатора штата Вашингтон победителем в конечном счете был объявлен кандидат от демократов, хотя при первом подсчете кандидат от республиканцев обходил его на 261 из приблизительно 3 млн голосов
{119}

. Поскольку результаты обоих кандидатов были столь близки друг к другу, по закону штата требовался повторный подсчет голосов. По результатам этого подсчета республиканец вновь обошел демократа, но только на 42 голоса. Неизвестно, счел ли кто-нибудь дурным предзнаменованием тот факт, что разница в 219 голосов между первым и вторым подсчетами в несколько раз превосходила новое значение перевеса в количестве голосов, но в итоге состоялся третий подсчет голосов, на сей раз полностью «вручную». Перевес в 42 голоса получался благодаря лишь одному голосу на каждые 70 000, а потому ручной пересчет голосов можно сопоставить с попыткой попросить 42 человек посчитать от 1 до 70 000 в надежде, что каждый сделает в среднем меньше 1 ошибки. Естественно, результат вновь изменился. На сей раз получился перевес в 10 голосов в пользу демократа. Впоследствии он вырос до 129 голосов, когда в подсчет было включено 700 вновь обнаруженных «утерянных бюллетеней».

Ни процесс подсчета голосов, ни сам процесс голосования нельзя назвать совершенным. Если, например, по причине ошибки в работе почтовой службы 1 из 100 потенциальных избирателей не получит извещения с адресом избирательного участка, а еще 1 на каждых 100 таких избирателей по этой причине не проголосует, то в вашингтонских выборах это вылилось бы в 300 избирателей, которые хотели бы проголосовать, но не получили такой возможности в силу ошибки правительства. Выборы, как и любое измерение, неточны, пересчеты тоже, поэтому когда кандидаты набирают близкое количество голосов, разумнее принять результаты выборов такими, какие они есть, или попросту подбросить монетку, а не тратить время на бесконечные пересчеты.

Вопрос неточности измерений приобрел особо важное значение в середине XVIII в., когда в центре внимания астрономов и математиков оказалась проблема согласования законов Ньютона и наблюдаемого движения Луны и планет. Один из способов получения единственного значения на основе целого ряда не совпадающих измерений — усреднение, или вычисление среднего значения. По всей видимости, первым эту процедуру использовал в оптических исследованиях молодой Исаак Ньютон
{120}

. Однако, как и в целом ряде других случаев, Ньютон опередил здесь свое время. В ту пору, да и в следующем веке, большинство ученых не занимались подсчетом среднего. Вместо этого они выбирали среди своих измерений «золотой стандарт» — значение, которое интуитивно признавали наиболее надежным среди своих результатов. Дело в том, что отклонения в измерениях они рассматривали не как неизбежный побочный продукт процесса измерения, но как свидетельство небрежности, у которой могли быть последствия, в том числе и этического характера. Они даже избегали публиковать результаты множественных измерений одного и того показателя, полагая, что это будет сочтено проявлением неаккуратности в работе и вызовет недоверие. Но к середине XVIII в. положение дел начало меняться. В наши дни рассчитать примерные орбиты небесных тел, представляющие собой набор эллипсов, приближенных по форме к окружности, может любой сообразительный старшеклассник, который при этом даже не подумает снять наушники с громыхающей в них музыкой. Однако же описать движение планет с большей точностью, учитывая не только силу притяжения Солнца, но также и притяжение других планет, а кроме того, отклонения в форме Луны и планет от совершенной сферы, непросто даже сейчас. Чтобы достигнуть этой цели, необходимо согласовать сложные и приближенные математические вычисления с неточностями наблюдений и измерений.

Но есть еще одна причина, по которой в конце XVIII в. оказалась востребована математическая теория измерения: в 1780-х гг. во Франции начала складываться новая область точной экспериментальной физики
{121}

. До этого времени в физике сосуществовали две не связанные друг с другом исследовательские традиции. С одной стороны, математики занимались изучением строгих следствий из ньютоновых теорий движения и тяготения. С другой стороны, те, кого принято именовать экспериментальными философами, проводили эмпирические исследования электричества, магнетизма, света и температур. Представителей экспериментальной философии, зачастую ученых-любителей, строгая научная методология занимала в значительно меньшей степени, нежели математически ориентированных исследователей, и потому возникло движение, направленное на то, чтобы реформировать и математизировать экспериментальную физику. И вновь ведущую роль здесь сыграл Пьер-Симон де Лаплас.

Лаплас заинтересовался физикой благодаря работам своего коллеги и соотечественника, французского ученого Антуана Лорана Лавуазье, которого считают отцом современной химии
{122}

. Лаплас и Лавуазье много лет работали вместе, однако Лавуазье в значительно меньшей степени преуспел в искусстве выживания в то беспокойное время. Чтобы заработать деньги на свои многочисленные опыты, ему пришлось стать членом привилегированной частной коллегии откупщиков, работавших под защитой государства. Я не представляю себе времен, когда человека, занимающегося сбором налогов, жаждали бы пригласить домой на чашечку горячего кофе с имбирными пряниками, но когда грянула Французская революция, должность эта оказалась особенно ненадежным прикрытием. В 1794 г. Лавуазье арестовали вместе со всеми членами коллегии и приговорили к смертной казни. Будучи человеком до конца преданным науке, Лавуазье попросил об отсрочке исполнения приговора, чтобы закончить некоторые опыты и опубликовать результаты. На что председатель трибунала дал знаменитый ответ: «Республике ученые не нужны». Отца современной химии безотлагательно обезглавили, а тело бросили в общую могилу. По легенде, он поручил своему ассистенту подсчитать количество слов, которые попытается выговорить его лишенная тела голова.

Работы Лапласа и Лавуазье, а также ряда других ученых, прежде всего Шарля-Огюстена де Кулона, проводившего опыты с электричеством и магнетизмом, преобразили экспериментальную физику. Кроме того, эти работы внесли вклад в развитие в 1790-х гг. новой метрической системы, пришедшей на смену множеству разрозненных и несопоставимых систем, тормозивших развитие науки и нередко служивших причиной споров между торговцами. Новую метрическую систему, разработанную группой ученых, сформированной по указу Людовика XVI, революционное правительство узаконило уже после падения Людовика. По иронии судьбы, Лавуазье был одним из членов этой группы.

Требования как астрономии, так и экспериментальной физики были таковы, что на долю математиков конца XVIII — начала XIX вв. выпали прежде всего осмысление и подсчет случайной ошибки. Их усилиями возникла новая область — математическая статистика, занимающаяся разработкой методов для интерпретации данных наблюдений и опытов. Специалисты в области статистики зачастую считают, что рост современной науки начался именно с этих разработок — с развития теории измерения. Однако статистические методы используются и для решения задач повседневной жизни: например, для оценки эффективности лекарственных препаратов или популярности политиков. Поэтому понимание правил осуществления статистических выводов важно не только для тех, кто занимается наукой, но и для каждого из нас.

Один из парадоксов нашей жизни заключается в том, что хотя измерения всегда несут в себе некоторую погрешность, когда речь заходит об измерениях, реже всего говорят именно о погрешности. Если въедливый полицейский докладывает судье, что его радиолокатор показал, будто бы вы ехали со скоростью 62 км в час в зоне, где допустимый предел скорости — 56, то штрафа вам не избежать, хотя в показаниях прибора возможны отклонения на несколько км в час
{123}

. И хотя большинство школьников (не говоря уже об их родителях) согласились бы даже спрыгнуть с крыши, если бы это увеличило балл на выпускном тесте по математике с 598 до 625, исследования, о которых вам расскажет редкий работник в области образования, показывают: достаточно высока вероятность получить лишних 30 баллов, если пройти тест еще разок-другой
{124}

. А иногда малозначащие различия попадают в выпуски новостей. Некоторое время тому назад в августе Статистическое управление министерства труда США сообщило, что безработица находится на уровне 4,7%. В июле управление сообщало о показателе 4,8%. Изменение показателя немедленно нашло отражение в газетных заголовках; к примеру, вот что напечатала на первой странице «Нью-Йорк Таймс»: «Количество рабочих мест и уровень заработной платы за прошлый месяц несколько выросли»
{125}

. Однако, как замечает Джин Эпштейн, редактор отдела экономики «Barron's», «из того, что изменилась цифра, совершенно не обязательно следует, что изменилось положение дел. Например, всякий раз, когда показатель безработицы изменяется на десятую долю процента… изменение это столь незначительно, что никоим образом нельзя утверждать, будто бы оно вообще имело место»
{126}

. Иными словами, если Статистическое управление измерит показатель безработицы в августе и повторит измерение через час, то лишь благодаря случайной ошибке второе измерение будет с высокой вероятностью отличаться от первого по меньшей мере на десятую долю процента. И что. неужели мы прочитаем в «Нью-Йорк Таймс»: «Количество рабочих мест и уровень заработной платы к двум часам пополудни несколько выросли»?

Погрешность измерения становится еще более серьезной проблемой, когда количественные показатели приписываются субъективно, как в случае с сочинением Алексея. Например, группа исследователей в Пенсильванском университете Клэрион собрала 120 курсовых работ и проверила их с таким тщанием, с каким работы вашего ребенка не будут проверяться никогда: каждую курсовую независимо друг от друга оценивали восемь сотрудников факультета. Итоговые оценки (по шкале от
A
до
F

) иногда различались на два и более деления шкалы. В среднем различие между ними составило около одного деления шкалы
{127}

. Поскольку будущее студентов очень часто зависит от подобного рода оценок, столь высокая погрешность — факт довольно печальный. Однако ее можно понять, если учесть, что взгляды и философия профессоров любого факультета в любом из университетов охватывают весь диапазон от Карла Маркса до Граучо Маркса. Можно ли подвергнуть этот фактор контролю? Например, дать экзаменаторам четкие критерии оценивания и потребовать следования этим критериям? Исследователь в университете штата Айова предъявил около 100 студенческих работ группе аспирантов, специалистов в области риторики и коммуникации, которых заранее обучил применению подобных критериев

{128}
. Каждую работу оценивали по шкале от 1 до 4 два независимых «экзаменатора». При сопоставлении оценок выяснилось, что мнения экзаменаторов совпали лишь примерно в половине случаев. Аналогичные результаты были получены в Техасском университете при анализе оценок за вступительное сочинение
{129}

. Даже почтенная Центральная приемная комиссия признается, что в случае двух экзаменаторов, согласно ее ожиданиям, «92% сочинений получат оценки, различающиеся в пределах ±1 балла по шестибалльной шкале для сочинений»
{130}
.

Еще одна область субъективных измерений, которым доверяют больше, чем следовало бы — оценка вин. В 1970-х гг. винный бизнес явно не переживал расцвета, а если и развивался, то преимущественно в сфере продаж дешевого столового вина. Однако в 1978 г. произошло событие, с которым часто связывают последующее стремительное развитие отрасли: некий юрист, Роберт М. Паркер-младший, объявил себя экспертом в области вин и решил, что вдобавок к своим публикуемым в прессе критическим обзорам будет давать винам количественную оценку по сто-балльной шкале. Со временем большинство изданий, печатавших материалы о винах, последовали его примеру. На сегодняшний день американцы ежегодно выкладывают за винную продукцию более 20 млрд долларов, однако же среди миллионов любителей спиртных напитков редко когда найдется простак, который согласится раскошелиться, не взглянув предварительно на рейтинг приглянувшегося ему вина. Поэтому, когда журнал «Вайн Спектейтор» выставил, скажем, аргентинскому каберне-совиньону «Валентин Бьянки» 2004 г. не 89, а 90 баллов, этот единственный балл привел к огромному увеличению объема продаж «Валентин Бьянки»

{131}
. В самом деле, заглянув в местную винную лавку, американец обнаружит, что вина, выставленные на распродажу со скидкой, как правило, получают оценки на один или несколько баллов ниже 90. Но какова вероятность того, что аргентинское каберне «Валентин Бьянки» 2004 г., удостоенное 90 баллов, не получило бы 89, если бы процесс оценивания был повторен, предположим, час спустя?

В увидевшей свет в 1890 г. книге «Принципы психологии» Уильям Джеймс выдвинул предположение: умение разбираться в винах может дойти до способности различить вкус старой мадеры из верхней и нижней части бутылки
{132}

. Во время дегустаций вин, на которых мне нередко доводилось бывать, я заметил, что если бородач слева от меня бормочет: «Прекрасный букет!», его поддерживает целый хор голосов. Но если оценивать предлагается самостоятельно и без обсуждений, то зачастую оказывается, что бородач написал «Прекрасный букет», его бритоголовый сосед нацарапал «Вообще никакого букета», а блондинка с перманентом пометила: «Интересный букет с оттенками петрушки и свеже-выдубленной кожи».

С теоретической точки зрения, есть множество оснований поставить под сомнение результаты оценивания вин. Для начала скажем, что вкусовые ощущения определяются сложным взаимодействием между вкусовыми и обонятельными стимулами. Строго говоря, любое вкусовое ощущение определяется пятью типами рецепторов, располагающихся на поверхности языка: рецепторами соленого, сладкого, кислого, горького и «мясного» (умами
[12]

). Последняя группа рецепторов соотносится с определенными аминокислотами (преобладающими, например, в соевом соусе). Но если бы этим все и ограничивалось, то вкус любой пищи — например, вашего любимого бифштекса, жареной картошки, праздничного яблочного пирога и изысканных спагетти по-болонски — можно было бы имитировать, используя лишь столовую соль, сахар, уксус, хинин и глутамат натрия. К счастью, этим дело не обходится, и на помощь приходит обоняние. Именно оно объясняет, почему, если взять два стакана с одинаковым раствором сахара и добавить в один из них клубничную эссенцию (не содержащую сахара), жидкость в этом стакане покажется вам слаще

{133}
. Вкус вина определяется воздействием от 600 до 800 изменчивых органических составляющих на рецепторы как языка, так и носа
{134}
. И что с этим делать — непонятно, ведь исследования показывают: даже профессиональные дегустаторы редко могут с уверенностью определить более 3–4 компонентов в смеси
{135}
.

На восприятие вкуса влияют и ожидания. В 1963 г. трое исследователей тайком добавили в белое вино немного красного пищевого красителя, что придало вину розоватый оттенок. После этого группу экспертов попросили оценить сладость этого вина по сравнению с неподкрашенным. Эксперты, сообразно своим ожиданиям, оценили подкрашенное розовое вино как более сладкое. Другая группа исследователей предъявляла два образца вина будущим виноделам. Это были совершенно одинаковые образцы белого вина, но в один была добавлена капля безвкусного красителя — виноградного антоциана, в результате чего вино стало выглядеть как красное. Ученики-виноделы также сообщили о различиях во вкусе вин в соответствии со своими ожиданиями

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь