Мозгоускорители

Нормальное распределение — это математическая абстракция, но к ней на удивление часто стремится «поведение» непрерывных переменных величин. Например, количество яиц, которые еженедельно откладывают разные курицы; количество ошибок при сборке автомобильных коробок передач за месяц; результаты теста разных людей на IQ — все эти значения часто приближаются к нормальному распределению. Никто не знает почему, но это так.

Существует несколько способов описать дисперсию (разброс, отклонение) значений переменной от ее среднего значения. Один из них — подсчитать размах выборки — разность наибольшего и наименьшего значений. Другой, более эффективный способ измерения дисперсии — метод среднего отклонения от среднего значения. Если среднее качество блюд, которые попробовала Кэтрин при первом посещении ресторанов, обозначить как, скажем, «хорошее», а среднее отклонение от среднего значения равняется, скажем, «очень хорошему» в положительную сторону и «весьма посредственному» в отрицательную сторону, мы можем сказать, что степень дисперсии — среднего отклонения мнения Кэтрин о блюдах, которые она впервые пробует в ресторанах, не очень велика. Если же среднее отклонение варьирует от «великолепного» в положительную сторону до «весьма посредственного» в отрицательную сторону, то можно сказать, что дисперсия довольно велика.

Но есть еще более действенный способ вычисления дисперсии, который можно применить к любой непрерывной переменной величине. Это среднеквадратическое отклонение, оно же СКО, обозначаемое греческой буквой σ (сигма). Среднеквадратическое отклонение — это квадратный корень из дисперсии переменной величины. В принципе, среднеквадратическое отклонение не слишком отличается от среднего, но обладает кое-какими чрезвычайно полезными свойствами.

На кривой нормального распределения на рисунке 2 отмечены среднеквадратические отклонения. Примерно 68% значений переменной находятся в пределах от +σ до
-

σ (от плюс одного до минус одного стандартного отклонения от среднего значения выборки). Возьмем, например, результаты теста на IQ. В большинстве IQ-тестов средним значением принято считать 100 баллов, а среднеквадратическим отклонением — 15. То есть человек с уровнем IQ, равным 115, является среднеквадратическим отклонением выше среднего значения. Расстояние между средним значением и среднеквадратическим отклонением выше среднего довольно велико. Можно ожидать, что человек с IQ, равным 115 баллам, окончит университет и даже займется научной работой. Люди с таким уровнем IQ обычно получают высшее образование и становятся специалистами в какой-то области, менеджерами или инженерами. Люди с уровнем IQ, равным 100 баллам, чаще получают среднее специальное образование или вообще нигде не учатся после школы и становятся продавцами, секретарями или рабочими.

Еще один набор полезных фактов о среднеквадратическом отклонении касается соотношения между процентилями (сотыми частями распределения, выстроенными в ряд по их величине) и среднеквадратическими отклонениями. Примерно 83% наблюдаемых случаев имеют менее одного среднеквадратичного отклонения, превышающего среднее значение. Наблюдение с одним СКО от среднего значения находится в 84% распределения. Оставшиеся 16% наблюдаемых случаев превышают 84 процентиля. Почти 98% количества всех наблюдений содержат менее двух СКО выше среднего значения. Ровно два СКО от среднего значения входят в 98%. Всего 2% оставшихся наблюдаемых случаев превышают это значение. Почти все наблюдения окажутся между тремя СКО ниже среднего значения и тремя СКО выше среднего значения.

Знание соотношения между среднеквадратическими отклонениями и процентным выражением помогает судить о большинстве непрерывных переменных величин, с которыми мы сталкиваемся. Например, расчет среднеквадратического отклонения часто используется в финансовой сфере. Среднеквадратическое отклонение уровня дохода на инвестиции определяет уровень нестабильности инвестиций. Если пакет акций в среднем приносит 4% прибыли за последние десять лет с среднеквадратическим отклонением 3%, это означает, что наиболее вероятным предположением будет то, что 68% времени в будущем уровень прибыли составит от 1 до 7% и 96% времени доход будет больше, чем -2%, и меньше 10%. Это довольно стабильно. Такой доход не сделает вас богачом, но и нищим вы тоже не будете. Если среднеквадратическое отклонение равно восьми, это означает, что 68% времени уровень дохода будет между -4 и +12%. Этот пакет акций может действительно принести хорошую прибыль. 16% времени вы будете получать более чем +12% прибыли. В то же время, 16% времени вы будете терять более чем 4%. Это весьма нестабильно, 2% времени вы будете зарабатывать более чем 20%. Можно разбогатеть, а можно и остаться без гроша.

Так называемые устойчивые акции обладают высокой стабильностью как относительно дивидендов, так и относительно цены. Они могут приносить 2, 3, 4% прибыли каждый год и, вероятно, не слишком поднимутся в цене при растущем рынке, но также и не слишком упадут в цене в ситуации, когда цены на рынке снижаются. Так называемые акции роста обычно приносят прибыль с более высоким среднеквадратическим отклонением, что означает более высокий потенциал роста наряду со значительно более высоким риском падения курса.

Финансовые консультанты обычно советуют молодым клиентам выбирать акции роста и продержаться в те периоды, когда цены падают, потому что в долгосрочной перспективе акции роста все-таки растут — хотя периоды падения могут быть утомительно долгими. Клиентам постарше консультанты чаще советуют выбирать более устойчивые акции, чтобы момент выхода на пенсию не совпал с периодом падения курса.

Что интересно — все, что вы только что прочитали про нормальное распределение, существует независимо от формы нормального распределения, которая лишь иногда похожа на кривую распределения. В разных случаях это разные кривые эксцесса. Это может быть островершинная кривая с положительным эксцессом, напоминающая ракету из комиксов 1930-х гг. с острой вершиной и короткими хвостами. Это может быть плосковершинная кривая с отрицательным эксцессом, напоминающая удава, проглотившего слона, с низкими вершинами и низкими хвостами. Тем не менее для обоих распределений 68% всех значений находятся в пределах от плюс до минус одного среднеквадратического отклонения.

Островершинная кривая с положительным эксцессом


Плосковершинная кривая с отрицательным эксцессом

Но вернемся к вопросу о том, почему Кэтрин обычно разочаровывается, вернувшись в ресторан, где ее отлично кормили в первый раз. Мы пришли к выводу, что ее оценка ресторанных блюд является переменной величиной: она варьирует, скажем, от «отвратительно» (1-й процентиль) до «божественно» (99-й процентиль). Предположим, что великолепные блюда относятся приблизительно к 95-му процентилю или даже выше — то есть это лучше 94% блюд, которые ей подают в ресторанах. А теперь спросите себя, вспомнив собственный опыт, — что кажется вам более вероятным: что каждое блюдо, которое вы съедите в ресторане, где никогда не бывали раньше, окажется великолепным или что великолепными окажутся только некоторые из них? Если вы полагаете, что не следует ожидать, что все блюда будут великолепными, но вам повезло и в первый раз в ресторане вам приносят именно такое блюдо, то ожидаемое значение второй (следующей) величины должно быть как минимум немного ниже, чем первой.

Опыт Кэтрин с посещением ресторанов во второй раз можно представить как регрессию к среднему значению. Если впечатления от блюд, попробованных в ресторанах, распределяются нормально, то предельные (крайние) значения по определению маловероятны, поэтому случай данного вида, следующий за предельным случаем (крайностью), как правило, оказывается менее предельным. Предельные случаи регрессируют до менее предельных.

Эффект регрессии легко увидеть повсюду в нашей жизни. Почему лучший молодой игрок бейсбольной команды этого года так часто разочаровывает своей игрой во втором сезоне? Регрессия. Показатели этого игрока в первый год были аномально высокими по сравнению с его обычными результатами, и у него нет другого пути, кроме как вниз. Почему акции, выросшие в цене больше, чем какие-либо другие, в этом году дают весьма средний доход, если не падают вообще, на следующий год? Регрессия. Почему ребенок, который учился хуже всех в третьем классе, вдруг начинает учиться немного лучше на следующий год? Регрессия. Однако ни один из этих примеров не представляет собой чистую регрессию и ничего больше. Среднее значение распределения — это не черная дыра, которая затягивает в себя все крайние наблюдаемые значения. На снижение или повышение показателей может повлиять множество факторов. Но, не зная точно, что это за факторы, необходимо признать, что за предельными значениями обычно следуют менее предельные значения, потому что сочетание всех факторов, которые привели к предельному значению, как правило, не может оставаться неизменным в течение длительного времени. Новому игроку команды посчастливилось иметь тренера, у которого также выдался необычайно продуктивный сезон; в первых матчах он играл против относительно слабых соперников, что придало ему уверенности в своих силах; он только что обручился с девушкой своей мечты; у него было идеальное здоровье; у него не было травм, которые могли бы повлия

Вот два вопроса, на которые нужно отвечать, используя принцип регрессии (как это ни странно):
1. Какова вероятность того, что американец в возрасте от 25 до 60 лет будет иметь доход, который позволит ему войти в 1% самых богатых людей в этом году?
2. Какова вероятность того, что этот человек останется в числе 1% самых богатых людей в следующие десять лет?

Вероятность, что человек войдет в 1% людей с самым высоким доходом, составляет 110 на 1000. Готов поспорить, что сами вы бы не догадались. А вот вероятность, что человек останется на этом же уровне в течение десяти лет, составляет всего 6 на 1000. Поразительно на фоне вероятности разбогатеть на один год. Эти данные особенно удивляют потому, что мы не думаем о доходе как о величине в высокой степени переменной и подверженной эффекту регрессии. Но на самом деле изменчивость доходов индивида от года к году очень велика (особенно это касается распределения доходов в верхнем сегменте). Предельные значения доходов, как ни странно, широко распространены среди населения в целом. Но именно потому, что они предельные, они не часто будут повторяться из года в год. Подавляющее большинство этих злополучных богачей из 1% уже скоро не будут в него входить, так что не слишком завидуйте им!

Тот же самый принцип можно применить к предельно низким доходам. Более 50% американцев оказывались за чертой бедности или крайне близко к ней хотя бы раз в своей жизни; но вовсе не так много людей живут за чертой бедности постоянно. Редко можно встретить человека, который постоянно сидит без работы. Большинство тех людей, которые когда-либо в своей жизни жили на социальное пособие, жили на него максимум пару лет или около того
[106]
. Так что не принимайте и их слишком близко к сердцу.

Мы можем наделать серьезных ошибок, неправильно истолковав событие в смысле возможности регрессии к среднему значению. Психолог Даниэль Канеман, беседуя с группой израильских авиаинструкторов, сказал однажды, что похвала более эффективна, чем критика, если нужно изменить чье-то поведение в желательном направлении
[107]

. Один из инструкторов возразил, сказав, что, если похвалить пилота за хорошо выполненный маневр, в следующий раз он выполнит его хуже, а вот если наорать на него за плохой маневр, то в следующий раз он выполнит его лучше. Однако этот инструктор не заметил тот факт, что показатели работы неопытного пилота нестабильны и после очень хороших полетов следует ожидать регрессию к среднему значению — как и после очень плохих полетов. Исходя из чистой теории вероятностей можно ожидать, что после полета, прошедшего лучше, чем обычно, последует полет, более близкий к средним показателям, то есть он будет хуже. Если же полет прошел хуже обычного, следует ожидать улучшения в последующие разы.

По всей вероятности, показатели учеников этого инструктора были ниже, чем могли быть, если бы он воспринимал эти показатели как непрерывную переменную величину и ожидал, что за любым предельным значением обязательно последует значение менее предельное. В таком случае он бы только поощрял выдающиеся успехи своих учеников, что позволило бы ему вырасти как учителю.

Восприятие — обоюдоострый меч, который мы всегда носим с собой, — дает мощный импульс такой ошибке инструктора. Мы все мастера сочинять гипотезы о причинах тех или иных событий. Узнав о событии, мы проявляем завидную находчивость, объясняя его причины. Увидев разницу в наблюдениях на протяжении длительного времени, мы с готовностью выдаем интерпретацию причин этих различий. Большую часть времени причинные связи отсутствуют вообще — а есть лишь случайные совпадения. Когда мы начинаем замечать, что какое-то событие постоянно происходит в связке с другим событием, желание дать этому объяснение становится поистине непреодолимым. Наличие такого соотношения событий почти автоматически провоцирует на нас на соответствующие выводы и объяснение причин. Конечно, полезно быть все время начеку, ища причинно-следственные связи, объясняющие, почему в мире все происходит так, а не иначе. Но тут возникают две проблемы: 1) объяснения даются нам слишком легко — если бы понимали, насколько поверхностны наши гипотезы о причинно-следственных связях, мы бы доверяли им намного меньше; 2) в большинстве случаев никакая причинно-следственная интерпретация не подходит вообще, и нам даже в голову не пришло бы ее выдумать, если бы мы лучше понимали, что такое случайный характер явлений.

Давайте рассмотрим пару других примеров применения принципа регрессии.
Если IQ матери ребенка 140, а отца — 120, каково наиболее вероятное предположение о том, каким будет IQ их ребенка?
160  155  150  145  140  135  130  125  120  115  110  105  100

Психотерапевты обычно рассказывают об эффекте «до и после», свойственном многим пациентам. До начала лечения пациенты считают, что их состояние хуже, чем оно есть на самом деле, в конце лечения считают, что состояние лучше, чем на самом деле. Почему?

Если вы ответили, что ожидаемое значение уровня IQ ребенка — с учетом того, что IQ одного родителя 140, а другого 120, — будет 140 или выше, вы не учли феномен регрессии к среднему значению. IQ, равное 120, это уровень выше среднего, как и 140. Если вы не думаете, что между IQ родителей и ребенка возникает идеальное соотношение, вы должны спрогнозировать, что IQ ребенка будет ниже, чем среднее значение IQ его родителей. Так как соотношение между средними значениями IQ обоих родителей и среднее значение IQ ребенка равно 0,50 (чего вы, полагаю, не знали), ожидаемая величина IQ ребенка окажется где-то посередине между средним значением этой величины у родителей и средним значением всего населения в целом, а именно 115. У очень умных родителей родятся дети, которые будут просто умны (выше среднего уровня). У очень умных детей обычно родители, которые просто умны (выше среднего уровня). Регрессия работает в обоих направлениях.

Эффект «до и после» обычно объясняют тем, что пациенты притворяются, что им хуже, чем на самом деле, чтобы было видно, что они нуждаются в лечении. Но к концу лечения им хочется снискать расположение лечащего врача. Независимо от того, насколько это объяснение правдиво, мы ожидаем улучшения состояния пациента в конце лечения, а не в начале, потому что эмоциональное состояние пациента в то время, когда они ожидают лечения, вероятно, также хуже, чем обычно, и потому что сам по себе тот факт, что время идет, вызывает регрессию к среднему значению. Этот эффект проявляется даже при отсутствии лечения вообще.

Кстати говоря, время работает на врачей: со временем пациент ожидаемо идет на поправку, конечно, за исключением случаев, когда болезнь прогрессирует. Поэтому, каким бы ни было врачебное вмешательство, у него всегда будут шансы считаться действенным. «Я съела суп из одуванчиков, и простуды как не бывало». «Моя жена выпила отвар столетника, как только заболела гриппом, и у нее все прошло в два раза быстрее, чем у меня». Статистика «Один Человек Сказал» в сочетании с эвристическим правилом «после этого — значит вследствие этого» помогла разбогатеть многим производителям чудодейственных средств от всех болезней. И они не соврут, утверждая, что большинство людей почувствовало себя лучше после того, как приняли их лекарство.

Но я немного забегаю вперед, говоря о регрессии. Мы незаметно перешли от закона больших чисел к обсуждению концепции ковариации или корреляции. А это тема следующей главы.

Выводы

Зачастую наблюдения за объектами или явлениями должны восприниматься как примеры выборки. Качество еды в конкретном ресторане в конкретный день, качество игры конкретного спортсмена в конкретной игре, сколько раз шел дождь за ту неделю, которую вы провели в Лондоне; приятно ли вам общество человека, с которым вы встретились на вечеринке, — все это нужно рассматривать лишь как выборку из огромного общего количества примеров. И любая оценка, подходящая к данной переменной величине, будет в той или иной степени ошибочна. Чем больше выборка, тем (при прочих равных составляющих) больше вероятность, что ошибки станут взаимоисключающими и мы приблизимся к правильному ответу. Закон больших чисел применяется к тем событиям, количество которых сложно определить, равно как и к тем, которые достаточно легко закодировать таким образом.

Фундаментальная ошибка атрибуции изначально возникает из-за нашей склонности игнорировать ситуационные факторы и осложняется тем, что мы отказываемся признавать тот факт, что короткое знакомство с человеком представляет собой лишь крохотную выборку его поступков. Иллюзия собеседования также основана на ошибке — увидев, как человек говорил и вел себя на получасовой беседе, мы по своей самоуверенности воображаем, что знаем, что он из себя представляет.

Увеличение выборки уменьшает ошибки только в том случае, если выборка является несмещенной (объективной). Добиться этого можно, предоставив каждому явлению, событию или человеку из данной популяции равные шансы участия в выборке. Нужно с вниманием относиться к опасности смещения выборки: отдохнул ли я, сходив в ресторан с женой, или был напряжен, потому что с нами была ее сестра, которая вечно всех критикует? А использовав расширенную смещенную выборку, можно лишь еще больше утвердиться в своем ошибочном выводе.

Среднеквадратическое отклонение — это простой способ измерения дисперсии непрерывной переменной величины относительно среднего значения. Чем больше среднеквадратическое отклонение в наблюдении данного типа, тем меньше мы можем быть уверены, что конкретное наблюдение будет близко к среднему значению, верному для всей выборки. Большое среднеквадратическое отклонение для инвестиции означает, что ее доходность окажется под вопросом.

Если мы знаем, что наблюдение переменной величины определенного вида относится к предельным значениям распределения этой переменной, то очень вероятно, что результаты последующих наблюдений не будут предельными. Студент, получивший высший балл на последнем экзамене, вероятно, хорошо сдаст следующий экзамен, но вряд ли снова получит высший балл. Акции десяти компаний, занимавшие самые высокие позиции в прошлогоднем рейтинге, не останутся на тех же позициях в этом году. Предельные значения стали предельными, потому что так расположились звезды (или не расположились). В следующий раз звезды, скорее всего, поменяют свое положение.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь