Метод интервалов (промежутков) при решении уравнений с модулями

Этод метод заключается в следующем:

1) приравниваются к нулю выражения, стоящие под знаком модуля;

2) полученные значения откладываются на числовой прямой, которая при этом разбивается на интервалы (промежутки), в каждом из которых свой знак под модульного выражения;

3) решаются полученные уравнения в каждом из интервалов.

На практике метод интервалов обычно применяется тогда, когда уравнение содержит более одного модуля.

Рассмотрим применение метода интервалов на конкретных примерах.

Пример 1. Решить уравнение |х + 2| + |х-4| = 5х-20.

Решение.

Обозначим эти интервалы I, II, III, где

I: х<-2; II: -2 ≤ х ≤ 4; III: х>4

Для интервала I имеем: |х+ 2| = -(х+ 2) =-х-2;

|х-4| = -(х-4) = -х + 4.

Отсюда получаем решение уравнения в I интервале:

-х-2-х + 4 = 5х-20 <=> -2 + 4 + 20 = х + х + 5х <=> 22 = 7х <=> х = 22/7.

Однако значение х = 22/7 не принадлежит I интервалу, где x<-2, иначе говоря, 22/7 ∉ (-∞;-2), отсюда в I интервале исходное уравнение |х + 2|+|х - 4| = 5х - 20 решений не имеет.

Для II интервала |х + 2| = х + 2, |х-4| =-(х-4) =-х + 4 => исходное уравнение имеет вид х + 2 + (-х + 4)=5х-20=> 5x = 2 + 4+26 <=> x=26/5.

Однако 26/5 не входит в интервал -2 ≤ х ≤ 4, значит, во II интервале исходное уравнение решений не имеет.

Для ІII интервала |х + 2| = х + 2, |х-4| = х- 4 => исходное уравнение имеет вид: х + 2 + х- 4 = 5х-20 <=> 2 - 4 + 20 = -х - х + 5х <=> <=> 18 = Зх <=> х = 6. Т. к. 6 входит в интервал х>4, то х = 6 является решением исходного уравнения.

Ответ: {6}.

Замечание. Решение примера 1 можно записать в следующей форме, применяя понятие совокупности смешанных систем, т. е. систем, содержащих уравнения и неравенства.

|х + 2| + |х-4| = 5х-20.

Имеем три интервала I: х < -2; II: - 2 ≤ х ≤ 4; III: х > 4. Отсюда, в зависимости от того, в каком интервале мы ищем решение, исходное уравнение равносильно совокупности следующих смешанных систем:

Пример 2. Решить уравнение |х-2| + |х + 2| = 4.

В I интервале |х-2| = -(х-2), |х + 2| = -(х + 2).

Во II интервале |х-2| = -(х-2), |х + 2| = х + 2.

В III интервале |х-2| = х-2, |х + 2| = х + 2.

Отсюда получаем совокупность, состоящую из трех смешанных систем:

Первая и третья системы решений не имеют, поскольку -2 ∉ (-∞;-2), 2 ∉ (2;∞). Т. к. 4=4 — это тождество, то для второй системы любое х є [-2;2] является решением, т. е. решением второй системы является весь отрезок [—2;2].

Ответ: х є [-2;2].