Математика
Матема́тика ([др.-греч.] μᾰθημᾰτικά[1] < μάθημα «изучение; наука») — [наука] о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов[2]. [Математические объекты] создаются путём [идеализации] свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к [естественным наукам], но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы[3].
Основные сведения
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде [аксиом], либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства ([теоремы]). Эта [теория] в совокупности образует [математическую модель] исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики[4].
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, [формальная логика] может рассматриваться и как часть [философских наук], и как часть математических наук; [механика] — и [физика], и математика; [информатика], компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к [инженерии], так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.
Этимология
Слово «математика» произошло от [др.-греч.] μάθημα, что означает изучение, знание, наука, и [др.-греч.] μαθηματικός, первоначально означающего восприимчивый, успевающий[5], позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη, на [латыни] ars mathematica, означает искусство математики. Термин [др.-греч.] μᾰθημᾰτικά в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах [Аристотеля] (IV век до н. э.). По мнению [Фасмера] в русский язык слово пришло либо через [польск.] matematyka, либо через [лат.] mathematica[6].
В текстах на [русском языке] слово «математика» или «маѳематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, у [Николая Спафария] в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)[7]
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал [Декарт][8]:
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
В советское время классическим считалось определение из [БСЭ][9], данное [А. Н. Колмогоровым]:
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Это определение [Энгельса][10]; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
Формулировка [Бурбаки][11]:
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
[Герман Вейль] пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным[12].
Разделы математики
1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в [Российской Федерации] на [элементарную математику], изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
- арифметика
- элементарная алгебра
- элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
- теория элементарных функций и элементы анализа
и [высшую математику], изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.
Программа обучения по специальности математика[13] образована следующими учебными дисциплинами:
- Математический анализ
- Алгебра
- Аналитическая геометрия
- Линейная алгебра и геометрия
- Дискретная математика
- Математическая логика
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальная геометрия
- Топология
- Функциональный анализ и интегральные уравнения
- Теория функций комплексного переменного
- Уравнения в частных производных (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)
- Теория вероятностей
- Математическая статистика
- Теория случайных процессов
- Вариационное исчисление и методы оптимизации
- Методы вычислений, то есть численные методы
- Теория чисел
2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации[14] подразделяется на специальности:
- Вещественный, комплексный и функциональный анализ
- Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
- Математическая физика
- Геометрия и топология
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическая логика, алгебра и теория чисел
- Вычислительная математика
- Дискретная математика и математическая кибернетика
3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика»[15] [универсальной десятичной классификации] (УДК).
4. Американское математическое общество ([AMS]) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется [Mathematics Subject Classification]. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это [MSC 2010]. Предыдущая версия — [MSC 2000].
Обозначения
Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи [формул] сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики — [математического анализа], [математической логики], [теории множеств] и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, [коммутативные диаграммы]), нередко также применяются обозначения на основе [графов].