Математика

Матема́тика ([др.-греч.] μᾰθημᾰτικά[1] < μάθημα «изучение; наука») — [наука] о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов[2]. [Математические объекты] создаются путём [идеализации] свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к [естественным наукам], но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы[3].

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде [аксиом], либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства ([теоремы]). Эта [теория] в совокупности образует [математическую модель] исследуемого объекта. Таким образом, первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики[4].

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, [формальная логика] может рассматриваться и как часть [философских наук], и как часть математических наук; [механика] — и [физика], и математика; [информатика], компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к [инженерии], так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.

Этимология

Слово «математика» произошло от [др.-греч.] μάθημα, что означает изучение, знание, наука, и [др.-греч.] μαθηματικός, первоначально означающего восприимчивый, успевающий[5], позднее относящийся к изучению, впоследствии относящийся к математике. В частности, μαθηματικὴ τέχνη, на [латыни] ars mathematica, означает искусство математики. Термин [др.-греч.] μᾰθημᾰτικά в современном значении этого слова «математика» встречается уже в трудах [Аристотеля] (IV век до н. э.). По мнению [Фасмера] в русский язык слово пришло либо через [польск.] matematyka, либо через [лат.] mathematica[6].

В текстах на [русском языке] слово «математика» или «маѳематика» встречается, по крайней мере, с XVII века, например, у [Николая Спафария] в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год)[7]

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал [Декарт][8]:

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из [БСЭ][9], данное [А. Н. Колмогоровым]:

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение [Энгельса][10]; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Формулировка [Бурбаки][11]:

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

[Герман Вейль] пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
«Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным[12].

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в [Российской Федерации] на [элементарную математику], изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

• арифметика
• элементарная алгебра
• элементарная геометрия: планиметрия и стереометрия
• теория элементарных функций и элементы анализа

и [высшую математику], изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика[13] образована следующими учебными дисциплинами:

• Математический анализ
• Алгебра
• Аналитическая геометрия
• Линейная алгебра и геометрия
• Дискретная математика
• Математическая логика
• Дифференциальные уравнения
• Дифференциальная геометрия
• Топология
• Функциональный анализ и интегральные уравнения
• Теория функций комплексного переменного
• Уравнения в частных производных (вместо этого курса физикам читаются Методы математической физики)
• Теория вероятностей
• Математическая статистика
• Теория случайных процессов
• Вариационное исчисление и методы оптимизации
• Методы вычислений, то есть численные методы
• Теория чисел

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации[14] подразделяется на специальности:

• Вещественный, комплексный и функциональный анализ
• Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
• Математическая физика
• Геометрия и топология
• Теория вероятностей и математическая статистика
• Математическая логика, алгебра и теория чисел
• Вычислительная математика
• Дискретная математика и математическая кибернетика

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика»[15] [универсальной десятичной классификации] (УДК).

4. Американское математическое общество ([AMS]) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется [Mathematics Subject Classification]. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это [MSC 2010]. Предыдущая версия — [MSC 2000].

Обозначения

Поскольку математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений в ней также очень сложна. Современная система записи [формул] сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также потребностей возникших позднее разделов математики — [математического анализа], [математической логики], [теории множеств] и др. Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, [коммутативные диаграммы]), нередко также применяются обозначения на основе [графов].