Луна падает на Землю!

Сегодня хочу рассказать вам об одном трюке. Не то, чтобы это прям трюк, скорее, школьная задача, но позволяет немного размяться. Она напрямую не относится к астрономии, скорее к школьной физике, но я приведу Луну как пример.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: сейчас будут формулы, но вы их не бойтесь, хорошо?). В расчётах средние данные, сопротивления воздуха нет, а Земля – идеальный шар. И вообще, мир – идеальный:). ^ - означает возведение в степень, в данном случае ^2 - в квадрат.

Если мы стоим на поверхности Земли и бросаем яблоко в яму, например, то за первую секунду яблоко пролетит 4,9 метра (за вторую уже намного больше, т.к. движение равноускоренное). Это происходит потому, что ускорение свободного падения, в среднем, составляет 9,8 м/c^2 (метров на секунду за секунду) на всей Земле. Проверить это очень просто, по формуле зависимости времени падения от высоты: h = (g*t^2)/2 (высота равна ускорению свободного падения, умноженному на время в квадрате и всё это делённое на 2). Таким образом, за первую секунду тело пролетит 4,9 метра: h = (9,8*1^2)/2 = 4,9 метра.

Можем посчитать, сколько времени будет падать яблоко с высоты 10-ти этажного дома (30 метров): 30 = (9,8*t^2)/2, выражаем t^2 = 30*2/9,8, отсюда получаем, что t – это квадратный корень из 6,12 и оно примерно равно 2,5. Действительно, яблоко будет падать с высоты десятиэтажного дома 2,5 секунды! Без учёта сопротивления воздуха.

Мы уже знаем, что тело, отпущенное в свободное падение, за первую секунду пролетает 4,9 метра! Мы это нашли по формуле. Формула, кстати, взята из школьного учебника физики, её тоже можно вывести* (вывод ниже).

Теперь перейдём к Луне. Как вы знаете, Луна тоже падает, и Международная космическая станция (МКС) падает и вообще, всё, что крутится вокруг Земли – падает на неё, но промахивается, поэтому не сталкивается с Землёй, а движется по круговой орбите, если имеет достаточную скорость, чтобы эту орбиту поддерживать, как, например, любой спутник или МКС. Луна движется вокруг Земли со скоростью примерно 1 км/c (или 3600 км/ч, т.е. за час Луна по орбите пролетает 3600 км) – ей этого хватает, чтобы оставаться на орбите. МКС – со скоростью около 8 км/c.

Хорошо, давайте подумаем, если Луна движется по кругу, то значит она не движется по прямой! Логично?) Да! Представим, что Луна движется на 1 км за 1 секунду прямо и, значит, она движется вниз! Ведь она же падает. А насколько вниз она движется? Давайте посчитаем, у нас же есть формула. Но мы упростим себе задачу. Ведь мы получили уже результат, что за первую секунду тело падает на 4,9 метра. Этот результат не зависит от массы, т.к. все тела падают с одинаковым ускорением на Землю. Теперь посчитаем для Луны:

Примем во внимание тот факт, что Земля – шар, и что все тела притягиваются к центру Земли. Это на самом деле так, т.к. из-за шарообразности Земли происходит компенсация всех направлений, в которых тело притягивается к Земле, поэтому проще всего считать, что оно притягивается к центру. Радиус Земли – 6370 км. А расстояние до Луны равно 60,3 радиусам Земли (384 500 км).

Яблоко, падающее на Землю, находится в 60,3 раза ближе к центру Земли, чем Луна. Соответственно, нам можем показаться, что Луна притягивается в 60,3 раза хуже, чем яблоко. Но это не совсем так. Всё дело в том, что сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а не линейно. Т.е. представим, что у нас есть некое количество СИЛЫ! и она распределена по поверхности сферы, например, Земли. Увеличим эту сферу до Луны, таким образом, площадь поверхности сферы увеличится не в 60,3 раза, а в 60,3*60,3 = 3636 раз. Потому что площадь поверхности сферы находится в прямой пропорции к квадрату её радиуса. Увеличиваем радиус сферы в 60,3 раза, площадь увеличивается в 3636 раз. Соответственно, сила уменьшается не в 60,3 раза, а в 3636 раз.

Для большей наглядности описания гравитационного поля вводят силовые линии (см. картинку выше). "Силовые линии направлены радиально к центру Земли (как было сказано выше - из-за шарообразности и компенсации). Сила гравитационного притяжения пропорциональна плотности силовых линий (количеству силовых линий, которые проходят через заданную площадь) (см. рисунок ниже). По мере того как линии приближаются к Земле, они проходят через воображаемые сферы всё меньшей и меньшей площади, а следовательно, гравитация возрастает по мере приближения к Земле - обратно пропорционально площади воображаемой сферы (см. картинку выше). Поскольку площадь воображаемой сферы пропорциональна квадрату её удалённости от центра Земли r, то сила возрастает как 1/r^2. Это и есть ньютоновский закон обратных квадратов для гравитации." (Из книги Кипа Торна "Интерстеллар: Наука за кадром").

Мы получили коэффициент уменьшения силы на орбите Луны, он равен 1/3636. Зная, что на поверхности Земли яблоко за первую секунду падает на 4,9 метра, мы, умножая на коэффициент 1/3636 получаем, на сколько падает Луна на Землю за первую секунду: 1/3636*4,9 = 1,3 миллиметра.

Т.е. Луна, пролетая по орбите со скоростью 1 км/c прямо, за эту же секунду падает на Землю на 1,3 мм! Таким образом, она движется не прямо, а по кругу, всё время падая на Землю. Но, т.к. её скорость 1 км/c, она всё время промахивается, и её траектория замыкается на саму себя, минуя Землю.

Задача для домашней работы (ответ на неё я опубликую завтра): насколько падает МКС, если находится на высоте в 450 км над Землёй. Данные все у вас есть.

*)

Пройденное расстояние равно произведению скорости на время, за которое это расстояние преодолевается: h = V*t, где V = Vср = (Vk-Vн)/2, где Vcp – это средняя скорость, а Vk – конечная, а Vн – начальная, в данном случае, при свободном падении тела, Vн вообще равна нулю, мы же тело отпускаем, а не бросаем с усилием. Т.е. формула превращается в: Vcр = Vk/2. Ну и то, что скорость – это ускорение на время (v = a*t), мы получаем: Vср = (a*t)/2 = g*t/2, (a = g = 9,8, в данном случае ускорение равно ускорению свободного падения, вызванного силой тяжести), то h = (g*t/2)*t = g*t^2/2 . Т.е. получаем первоначальную формулу.

**) Рисунки мои, художник из меня - так себе:).