Как не ошибаться

Глава восемнадцатая
«Я создал странный новый мир из ничего!»

Кондорсе считал, что на вопросы типа «Кто самый лучший лидер?» обязательно найдется какой-то
правильный ответ
, а граждане – что-то вроде прибора для научных исследований таких вопросов. Конечно, полной уверенности нет, поскольку подобный метод грешит некоторой неточностью измерений, но в среднем подлинности оценок граждан доверять можно. В понимании Кондорсе, демократия и принцип большинства – способ не ошибаться, благодаря математике.

В наше время мы уже так не говорим о демократии. Сегодня для большинства людей привлекательность демократического выбора состоит в его справедливости. Мы говорим на языке прав человека и, руководствуясь соображениями морали, верим в то, что люди должны иметь возможность выбирать своих правителей, даже если их выбор не всегда бывает мудрым.

Это не просто дискуссия о политике – здесь вопрос фундаментальный, применимый к любой области психической деятельности. Мы пытаемся понять, что соответствует истине, или определить, какие умозаключения позволяют нам устанавливать существующие правила и процедуры. К счастью, эти понятия обычно приходят к соглашению, однако настоящие трудности, а вместе с ними и все самое концептуально интересное происходят там, где они расходятся.

Возможно, вы считаете очевидным, что именно поиск истины и есть то, чем мы должны заниматься. Однако так бывает не всегда и особенно в уголовном праве, где расхождения налицо: есть совершившие преступление обвиняемые, но им нельзя вынести приговор (хотя бы потому, что доказательства получены с нарушениями); есть невиновные, осужденные за преступление, которого они не совершали. Что можно считать справедливым в этом случае – наказать виновного и освободить невиновного или придерживаться принципов уголовного судопроизводства, к чему бы это ни привело? В экспериментальной науке мы уже видели дискуссию между Рональдом Фишером с одной стороны и Ежи Нейманом и Эгоном Пирсоном – с другой. Нужно ли нам, как считал Фишер, пытаться понять, какие гипотезы мы должны считать истинными? Или нужно придерживаться философии Неймана и Пирсона, согласно которой следует воздерживаться от размышлений об истинности гипотез и вместо этого ставить вопрос следующим образом: какие гипотезы необходимо признать корректными согласно выбранным нами правилам вывода, независимо от того, истинны они или нет?

Мы сталкиваемся с такими проблемами и в математике, которая считается обителью определенности, причем сталкиваемся не в дебрях каких-то загадочных современных исследований, а в старой доброй классической геометрии. Эта тема присутствует даже в аксиомах Евклида, о которых шла речь в предыдущей главе. Пятая аксиома гласит:
Если
P
 – это точка, а 
L
 – прямая, которая не проходит через
Р
, существует только одна прямая, проходящая через точку
Р
 и параллельная прямой
L
.

Забавно, не правда ли? На самом деле эта аксиома несколько более сложная и менее очевидная, чем остальные. Во всяком случае, так ее воспринимали геометры на протяжении многих столетий
[303]
. Считается, что сам Евклид испытывал неприязнь к этой аксиоме, доказав первых двадцать восемь теорем, представленных в «Началах», с использованием только первых четырех аксиом.

Неизящная аксиома – как пятно в углу на полу: мешать не мешает, но с ума сводит, и вы тратите уйму времени, чтобы истребить его, вымыть пол, сделав его снова чистым и красивым. В математическом контексте это сводилось к попыткам показать, что пятая аксиома, так называемый постулат о параллельности, вытекает из всех остальных аксиом. Если это было бы так, проблему пятой аксиомы можно было бы удалить из списка Евклида, оставив его безупречно чистым.

После двух тысяч лет чистки пятно все еще оставалось на своем месте.
Венгерский математик Фаркаш Бойяи, который всю жизнь безуспешно пытался решить эту задачу, в 1820 году посоветовал сыну Яношу не следовать по этому пути:

Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути; я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую радость моей жизни я в ней похоронил. Мало того, оставь в покое учение о параллельных линиях… Я был готов сделаться мучеником этой истины, чтобы только очистить геометрию от этого пятна, чтобы передать роду человеческому безукоризненную науку. Я проделал ужасную гигантскую работу; я достиг много лучшего, нежели то, что было получено до меня; но совершенного удовлетворения не получил… Я отказался от этого, когда понял, что ни один человек не способен достичь дна этой тьмы. Я оставил эти попытки без всякого утешения, жалея себя и все человечество. Извлеки урок из моего примера

{271}
.
Сыновья не всегда прислушиваются к советам отцов, а математики не всегда легко бросают то, чем занимаются. Младший Бойяи продолжил работать над параллельными прямыми, и в 1823 году у него было готово в общем виде решение этой древней задачи. Он написал отцу ответное письмо, в котором было сказано следующее:

Я открыл нечто столь удивительное, что был потрясен, и было бы величайшим несчастьем, если это было бы утеряно. Когда ты, мой дорогой отец, увидишь это, ты все поймешь; сейчас же я могу сказать только одно:
я создал странный новый мир из ничего
.

Гениальная идея Яноша Бойяи состояла в том, чтобы взглянуть на эту задачу под другим углом. Вместо того чтобы пытаться вывести постулат о параллельности из других аксиом, он позволил своему разуму поставить вопрос так: что если аксиома о параллельных прямых ошибочна? Следует ли из этого противоречие? Янош Бойяи пришел к выводу, что ответ на этот вопрос отрицательный и что существует
другая

геометрия (не геометрия Евклида, а нечто иное), в которой первые четыре аксиомы верны, а постулат о параллельности – нет. Следовательно, постулат о параллельности не может быть доказан на основании первых четырех аксиом, поскольку такое доказательство исключило бы возможность геометрии Бойяи. Но эта геометрия существует.

Иногда то или иное математические открытие «витает в воздухе»: по едва понятным причинам сообщество ученых готово к очередному достижению, поэтому оно приходит из нескольких источников одновременно. В то время, когда Бойяи в Австро-Венгрии разрабатывал свою неевклидову геометрию, Николай Лобачевский
[304]

делал то же самое в России. А великий Карл Фридрих Гаусс, старый друг старшего Бойяи, сформулировал много аналогичных идей в работе, которая до сих пор не опубликована. (Когда Гауссу сообщили о публикации Бойяи, он отреагировал несколько неучтиво: «Хвалить это было бы равносильно тому, чтобы хвалить себя»
{272}
.)

Для описания так называемой гиперболической геометрии Бойяи, Лобачевского и Гаусса понадобится намного больше книжного пространства, чем у нас осталось. Однако, как отметил Бернхард Риман несколько десятилетий спустя, существует более простая неевклидова геометрия, которую нельзя назвать безумным новым миром. Речь идет о геометрии сферы.
Давайте вспомним первые четыре аксиомы:
• существует прямая, соединяющая любые две Точки;

• любой отрезок Прямой можно расширить до отрезка Прямой любой требуемой длины;
• для любого отрезка Прямой
L
 есть Окружность с радиусом
L
;
• все Прямые Углы равны между собой.

Наверное, вы обратили внимание на то, что я внес в описание этих аксиом некоторые изменения, написав термины
точка, прямая, окружность
и 
прямой угол

с прописной буквы. Я сделал это не ради имитации старинного издания, а чтобы подчеркнуть, что с сугубо логической точки зрения не имеет значения, как обозначены «точки» и «прямые». Мы вольны назвать их 
лягушками
и 
кумкватами

, но структура логического вывода из этих аксиом осталась бы прежней. Это напоминает плоскость Джино Фано из семи точек, на которой «прямые» выглядят совсем не так, как нас учили в школе, однако это не имеет значения: весь смысл в том, что эти прямые ведут себя как прямые согласно законам геометрии. В каком-то смысле было бы даже лучше называть точки лягушками, а прямые кумкватами, поскольку это позволило бы нам избавиться от предвзятого мнения по поводу значений слов
Точка
и 
точка, Прямая

и 
прямая
.
Вот что означают эти термины в сферической геометрии Римана. Точка – это
пара
точек на сфере, которые являются
антиподальными
, или диаметрально противоположными друг другу. Прямая – это
большая окружность
 – другими словами, окружность на поверхности сферы, а отрезок прямой – это отрезок такой окружности. Окружность – это и есть окружность, которая теперь может иметь любой размер.

При таких определениях первые четыре аксиомы Евклида верны! Для любых двух точек (то есть любых двух
пар
антиподальных точек на сфере) существует прямая (другими словами, большая окружность), которая их соединяет
[305]
. Более того (хотя это и не одна из аксиом), любые две прямые пересекаются в одной точке.

У вас могут быть претензии ко второй аксиоме: как мы можем утверждать, что отрезок прямой можно продолжить до любой длины, если он не может быть длиннее самой прямой, которая является окружностью сферы? Это вполне обоснованное возражение, но все сводится к вопросу интерпретации. В понимании Римана в аксиоме идет речь о неограниченных, а не о бесконечно протяженных прямых. Между этими двумя понятиями есть едва уловимое различие: прямые Римана, которые являются окружностями, имеют конечную длину, но они не ограничены, то есть по ним можно передвигаться бесконечно, не останавливаясь.

И наконец пятая аксиома – совсем другая история. Предположим, у нас есть точка
Р
 и прямая
L
, не содержащая точку 
P
. Есть ли одна и только одна прямая, проходящая через точку
Р
, параллельная 
L
? Нет, по очень простой причине: в сферической геометрии
нет такой штуки
, как параллельные прямые! Любые две большие окружности на сфере должны пересекаться.


Доказательство на один абзац. Любая большая окружность
С

 делит сферу на две равные части, каждая из которых имеет одну и ту же площадь; обозначим эту площадь символом 
А
. Теперь допустим, что существует еще одна большая окружность
C
', параллельная окружности 
С
. Поскольку окружность
C
' не пересекается с окружностью
С
, она должна быть полностью расположена с одной или другой стороны
С
, на одной из полусфер с площадью 
А
. Но это означает, что площадь, ограниченная окружностью
C
', меньше площади
А

, что невозможно, поскольку каждая большая окружность ограничивает область, площадь которой равна в точности
А
.
Следовательно, постулат о параллельности опровергается самым эффектным образом. (В геометрии Бойяи ситуация прямо противоположная. Существует слишком много параллельных прямых: в действительности не просто две, а 
бесконечное множество
прямых проходят через
Р
 параллельно
L
[306]
. Как вы догадываетесь, такую геометрию трудно визуализировать.)

Если вам кажется знакомым столь странное утверждение, что две прямые не могут быть параллельными, то причина в том, что мы уже сталкивались с чем-то подобным. Это тот же феномен, что и в случае проективной плоскости, которую Брунеллески и его друзья-художники использовали для разработки теории перспективы
[307]
. Там также любые две прямые пересекались. И это не случайное совпадение: геометрия точек и прямых Римана – это
то же самое
, что и геометрия проективной плоскости.

Если интерпретировать пять аксиом в виде утверждений по поводу точек и прямых на сфере, первые четыре аксиомы верны, а пятая нет. Если бы пятая аксиома была логическим следствием первых четырех аксиом, существование сферы представляло бы противоречие: пятая аксиома была бы и истинной (в силу истинности первых четырех аксиом), и нет (в силу того, что мы знаем о сферах). Согласно старому доброму доказательству от противного это означает, что сфер не существует. Но сферы все же существуют, а значит, пятую аксиому невозможно вывести из первых четырех аксиом. Что и требовалось доказать.

На первый взгляд может показаться, что для выведения этого пятна с пола понадобилось слишком много времени и труда. Однако мотивация для доказательства утверждений такого рода заключена не просто в одержимости эстетикой (хотя я не могу отрицать тот факт, что такие чувства играют определенную роль). Дело вот в чем: как только становится понятным, что первые четыре аксиомы применимы ко многим разным геометриям, тогда любая теорема, доказанная Евклидом на основании этих аксиом, должна быть истинной не только в евклидовой геометрии, но и во всех остальных геометриях, в которых верны эти аксиомы.

И эти теоремы касаются не просто абстрактных геометрий, созданных только ради того, чтобы доказать какую-то мысль. В постэйнштейновскую эпоху мы понимаем, что неевклидова геометрия – не просто игра. Нравится вам это или нет, но именно так в действительности выглядит пространственно-временной континуум.
Такая история повторяется в области математики снова и снова: мы разрабатываем метод, применимый к решению одной задачи, и, если это
хороший

метод (то есть метод, содержащий поистине новую идею), в большинстве случаев мы обнаруживаем, что то же самое доказательство работает во многих ситуациях, которые могут отличаться от исходной ситуации в такой же мере, в какой сфера отличается от плоскости, или даже больше. В настоящее время молодой итальянский математик Оливия Карамелло создает настоящую сенсацию своими заявлениями, что теории, которые управляют различными областями математики, по сути своей тесно взаимосвязаны друг с другом (если вы отдаете предпочтение формальным терминам, они «классифицированы в соответствии с одними и теми же топосами Гротендика»). Следовательно, теоремы, которые доказаны в одной области математики, можно спокойно перенести в другую область, которая кажется на первый взгляд совершенно иной. Сейчас слишком рано говорить, удалось ли Карамелло создать «странный новый мир», как это сделал Бойяи, но ее работа в значительной степени согласуется с давней традицией в математике, частью которой был Бойяи.

Эта традиция обозначается термином «формализм». Именно об этом говорил Годфри Гарольд Харди, когда с восхищением отметил, что математики XIX столетия начали наконец спрашивать «как
определить
1 − 1 + 1 − 1 +…», а не «что
есть

1 − 1 + 1 − 1 +…». Это позволяло им избежать «ненужных затруднений», преследовавших математиков более ранних времен. Согласно самой чистой версии этой точки зрения, математика становится своего рода игрой с участием символов и слов. Утверждение можно считать теоремой, если его выводят из аксиом посредством логических операций. Но что к чему отсылают аксиомы и теоремы, что они
означают

 – этим пусть занимается кто-то другой. Что такое Точка, Прямая, лягушка или кумкват? Это может быть все, что ведет себя так, как того требуют аксиомы, а смысл можно выбирать, исходя из текущих потребностей. Сугубо формальная геометрия – это геометрия, которой можно заниматься, даже если вы никогда не видели или не представляли себе точку или прямую; это геометрия, в которой не имеет значения, как на самом деле выглядят точки и прямые в обычном их понимании.

Безусловно, Харди посчитал бы душевные страдания Кондорсе совершенно лишними. Он посоветовал бы ему пытаться выяснить не то, кто в действительности самый лучший кандидат или даже кого избиратели на самом деле хотели бы видеть на соответствующей должности, а скорее, какого кандидата мы должны
определить

как выбор народа. И такой формалистский подход к демократии получил достаточно большое распространение в современном свободном мире. Во время президентских выборов в штате Флорида в 2000 году, результаты которых были оспорены в суде, тысячи избирателей округа Палм-Бич, которые были убеждены в том, что голосуют за Альберта Гора, на самом деле отдали свои голоса за кандидата от палеоконсервативной Партии реформ Патрика Бьюкенена из-за некорректного оформления «бюллетеня-бабочки». Если Гор получил бы эти голоса, он победил бы на выборах в штате Флорида и стал бы президентом США.

Однако Гор не получил эти голоса; на самом деле он даже не боролся за них всерьез. Наша избирательная система носит формалистский характер: значение имеет отметка, сделанная на бюллетене, а не то, о чем думает избиратель, когда делает эту отметку. У Кондорсе вызвали бы обеспокоенность и те люди, которые проголосовали за Ральфа Нейдера. При условии (которое кажется вполне допустимым), что большинство этих людей отдавали предпочтение Гору перед Бушем, именно Гор является тем кандидатом, который должен был выиграть выборы согласно аксиоме Кондорсе: большинство избирателей предпочитали Гора Бушу, а еще более значительное большинство отдавали ему предпочтение перед Нейдером. Однако все эти предпочтения не играют никакой роли в действующей избирательной системе. Мы определяем волю народа как отметку, которая чаще всего появляется на листах бумаги, собранных в кабинках для голосования.

Безусловно, даже это количество можно оспорить. Как подсчитывать бюллетени, в которых перфорируемое отверстие пробито не полностью? Что делать с результатами голосования, переданными по почте с зарубежных военных баз, если нет возможности удостовериться, что эти голоса были отданы избирателями в день выборов или накануне? И в какой степени в округах штата Флорида следовало провести пересчет избирательных бюллетеней в попытке как можно более точно определить результаты голосования?

Последний вопрос был передан на рассмотрение Верховного суда США, где судьи приняли окончательное решение по данному делу. Команда Гора обратилась с просьбой о повторном подсчете голосов в некоторых округах, и Верховный суд штата Флорида дал свое согласие, однако Верховный суд США отменил это решение, зафиксировав результаты выборов, согласно которым Буш одержал победу с перевесом 537 голосов
{273}

. Дальнейший подсчет, по всей видимости, привел бы к более точному учету голосов, но это, по мнению суда, не является высшей целью выборов. Члены суда заявили, что пересчитывать голоса в некоторых округах было бы несправедливо по отношению к тем избирателям, голоса которых повторно не подсчитывались. Задача государства не в том, чтобы подсчитать голоса как можно точнее (то есть знать, что произошло на самом деле), а в том, чтобы подчиняться формальному протоколу, который говорит нам (в терминах Харди), кого следует определить в качестве победителя.

В более общем смысле формализм в области права проявляется в виде строгого следования процедуре и букве закона даже в тех случаях, когда (или особенно когда) они на первый взгляд противоречат тому, что предписывает здравый смысл. Судья Антонин Скалиа, самый ярый сторонник правового формализма, говорит об этом очень откровенно: «Да здравствует формализм. Именно он делает государственную власть властью законов, а не властью людей»
{274}
.

По мнению Скалиа, когда судьи пытаются понять, что подразумевает закон (его дух), их неизбежно вводят в заблуждение собственные предубеждения и предпочтения. Лучше строго придерживаться буквы конституции и законов, обращаясь с ними как с аксиомами, из которых судебные решения можно выводить посредством чего-то вроде логической дедукции.

В области уголовного права Скалиа демонстрирует такую же приверженность формализму: истина по определению представляет собой то, что считает таковым судебный процесс, проведенный надлежащим образом. Скалиа на удивление четко описывает эту позицию в своем особом мнении по делу Троя Энтони Дэвиса за 2009 год, в котором он утверждал, что убийце, которого признали виновным, не следует предоставлять право на новое судебное слушание доказательств даже в случае, если семь из девяти свидетелей по этому делу отказались от своих показаний:

Этот суд
никогда
не исходил из того, что конституция запрещает исполнение приговора в отношении подсудимого, который был признан виновным в результате полного и справедливого судебного разбирательства, но которому впоследствии удалось убедить суд, рассматривающий законность ареста, в том, что он «действительно» невиновен (слово
никогда
выделено курсивом, а слово
действительно
взято в кавычки самим Скалиа. –
Д. Э.
).

Скалиа утверждает, что, с точки зрения суда, значение имеет только вердикт жюри присяжных. Дэвис был убийцей независимо от того, убил он кого-то или нет.
Судья Джон Робертс не такой ярый сторонник формализма, как Скалиа, но в целом он симпатизирует философии коллеги. Во время слушания по вопросу об утверждении обвинений он в 2005 году, как стало известно, описал свою работу в бейсбольных терминах:

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь