Как не ошибаться

Обезумевший барашек уперся в парадокс

Постараемся немного упростить ситуацию, сложившуюся в Берлингтоне. Допустим, у нас есть только три типа избирательных бюллетеней.

Большинство избирателей (все, кто попадает в секторы круговой диаграммы, обозначенные как К и Р) предпочитают Райта Монтроллу. А другое большинство (избиратели из секторов М и К) отдают предпочтение Киссу перед Райтом. Если большинство людей симпатизируют Киссу больше, чем Райту, и большинство людей симпатизируют больше Райту, чем Монтроллу, разве это не значит, что Кисс снова должен победить? Есть только одна проблема: люди отдают предпочтение Монтроллу перед Киссом с большим перевесом – 2845 против 371 голосов. Мы имеем невероятный треугольник голосов: Кисс превосходит Райта, Райт превосходит Монтролла, Монтролл превосходит Кисса

[299]
. Каждый из кандидатов проиграл бы в борьбе один на один одному из оставшихся двух кандидатов. Так как вообще кто-нибудь из них может с полным на то правом занять должность мэра?

Досадная ситуация такого рода называется парадоксом Кондорсе, по имени французского философа эпохи Просвещения, который впервые описал этот парадокс в конце XVIII столетия. Мари Жан Антуан Николя де Карита, маркиз де Кондорсе, сторонник республиканских идей в преддверии Французской революции, выбранный в итоге президентом Национального конвента. Кондорсе был весьма необычным политиком – застенчивый и склонный к переутомлению, со спокойной и слегка торопливой манерой речи; неудивительно, что его предложения часто тонули в революционном шуме. Но его быстро выводили из себя люди, интеллектуальный уровень которых не соответствовал его собственному. За сочетание застенчивости и вспыльчивости наставник Кондорсе Жак Тюрго прозвал его

le mouton enragé
«обезумевший барашек»
{265}
.

Кондорсе со страстью окунулся в политическую деятельность, сохраняя при этом непоколебимую веру в здравый смысл, особенно в математику, как в организующее начало человеческой жизни. Приверженность здравому смыслу была свойственна всем мыслителям эпохи Просвещения, но убежденность Кондорсе, что социальный и нравственный мир можно проанализировать с помощью уравнений и формул, была чем-то принципиально новым. Он был первым социологом в современном понимании. (Сам Кондорсе использовал термин «социальная математика».) Кондорсе, рожденный в аристократической семье, быстро пришел к пониманию универсальных законов мышления, которые нужно ставить выше прихотей королей. Он разделял мнение Руссо, что «общая воля» народа должна верховенствовать над государством, но был не согласен, в отличие от того же Руссо, принимать это утверждение в качестве самоочевидного принципа. По мнению Кондорсе, правило большинства требует математического обоснования, и он нашел его в теории вероятностей.

Свою теорию Кондорсе изложил в трактате «Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix» («Рассуждения о применении анализа к оценке выборов большинством голосов»), который был опубликован в 1785 году. Вот самая кратчайшая версия его метода. Предположим, жюри присяжных из семи человек предстоит принять решение о виновности подсудимого. Четверо членов жюри утверждают, что подсудимый виновен, а трое убеждены в его невиновности. Допустим, каждый из этих граждан придерживается правильной точки зрения с вероятностью 51 %. В таком случае можно предположить, что большинство – то есть четыре голоса против трех – с большей вероятностью примет правильное решение, чем неправильное.

Немного напоминает ситуацию с Мировой серией
[300]
. Если в финале играют команды «Филлис» и «Тайгерс»
[301]

и мы считаем, что «Филлис» – более сильная команда, чем «Тайгерс» (скажем, «Филлис» может выиграть каждый матч с вероятностью 51 %), тогда «Филлис» с большей вероятностью выиграет Мировую серию с перевесом 4:3, чем проиграет с таким же отрывом. Если бы победитель Мировой серии определялся по результатам пятнадцати матчей, а не семи, у команды из Филадельфии было бы еще более весомое преимущество.

Так называемая «теорема жюри» Кондорсе показывает, что достаточно большое жюри присяжных с большой долей вероятности придет к правильному выводу, если только членам жюри свойственна индивидуальная склонность к верным суждениям, какой бы незначительной она ни была
[302]

. Кондорсе утверждал: если большинство людей убеждены в чем-то, это можно считать веским доказательством в пользу того, что это правильно. Наше доверие к мнению достаточно многочисленного большинства имеет под собой математическое обоснование – даже если это противоречит нашим прежним убеждениям. «Мне должно действовать не в соответствии с тем, что я считаю разумным, – писал Кондорсе, – а в соответствии с тем, что каждый, кто, подобно мне, абстрагировался от собственного мнения, должен считать соответствующим здравому смыслу и истине»

{266}
. Роль жюри присяжных во многом похожа на роль зрителей в телеигре Who Wants to Be a Millionaire? («Кто хочет стать миллионером?»). По убеждению Кондорсе, когда у нас есть возможность выяснить точки зрения людей, пусть даже людей незнакомых и не имеющих соответствующей подготовки, мы должны ставить мнение большинства выше своего собственного.

Педантичный подход Кондорсе снискал благосклонность к нему государственных деятелей, не чуждых научным интересам, например Томаса Джефферсона (с которым Кондорсе разделял страстную увлеченность стандартизацией единиц измерения). Джон Адамс, напротив, относился к Кондорсе с презрением: на полях его книг он писал, что автор «мошенник» и «математический шарлатан»
{267}

. Адамс относился к Кондорсе как к безнадежному теоретику-экстремисту, чьи идеи никогда не найдут практического применения, кроме того, он считал, что француз-республиканец оказывает негативное влияние на Джефферсона, разделяющего его взгляды. Но на самом деле жирондистская конституция, которую писал Кондорсе для Республики, – конституция, основанная на математических принципах и сложных правилах проведения выборов, – так и не была принята во Франции и где бы то ни было. Кондорсе, придерживавшийся практики приведения идей в соответствие с вытекающими из них логическими выводами, едва ли не единственный среди своих современников настаивал, чтобы широко обсуждаемые права человека распространялись и на женщин.

В 1770 году двадцатисемилетний Кондорсе и его математический наставник Жан Лерон Д’Аламбер, один из редакторов «Encylopédie» («Энциклопедия, или Толковый словарь наук, искусств и ремесел»), нанесли продолжительный визит Вольтеру в его доме в Ферне на границе со Швейцарией
{268}

. Семидесятилетний, уже не очень здоровый Вольтер, будучи поклонником математики, быстро сделал Кондорсе своим любимцем, увидев в этом многообещающем молодом человеке свою лучшую надежду на то, что ему удастся передать рационалистические принципы эпохи Просвещения следующему поколению французских мыслителей. Возможно, особому благорасположению способствовало то, что Кондорсе написал для Королевской академию éloge (похвальное слово) в адрес старого друга Вольтера ла Кондамина, который когда-то сделал того богатым человеком благодаря своей схеме игры в лотерею. Между Вольтером и Кондорсе сразу началась активная переписка, благодаря чему Вольтер всегда был в курсе последних политических новостей из Парижа.

Некоторая напряженность между ними возникла в связи с другим похвальным словом, написанным Кондорсе в адрес Блеза Паскаля. Кондорсе справедливо превозносил Паскаля как великого ученого. Без развития теории вероятностей, начало которому положили Паскаль и Ферма, Кондорсе не мог бы проводить свои научные изыскания. Кондорсе, как и Вольтер, отвергал аргументацию, лежавшую в основе пари Паскаля, но по другой причине. Вольтер считал крайне несерьезной идею, чтобы обходиться с метафизическими вопросами как с игрой в кости. У Кондорсе накопились скорее математические возражения (как потом у Р. А. Фишера), он не был согласен с использованием языка вероятностей для обсуждения таких вопросов, как существование Бога, которые в буквальном смысле не подвержены воле случая

{269}
. Но, несмотря ни на что, убежденное стремление Паскаля рассматривать человеческое мышление и поведение сквозь призму математики оставалось притягательным для начинающего «социального математика».

Напротив, Вольтер думал, что работой Паскаля движет религиозный фанатизм, который он презирал, и считал предположение Паскаля, что математика может объяснить находящееся за пределами наблюдаемого мира, не только неправильным, но и опасным. Вольтер охарактеризовал «хвалебное слово» Кондорсе как «прекрасное, но пугающее…». В личной переписке он предостерегал: «Если он [Паскаль] был столь великим человеком, тогда все мы полные идиоты, раз не способны мыслить так же, как он. Кондорсе причинит нам большой вред, если опубликует эту книгу в таком виде, в каком ее мне прислали»

{270}

. Здесь можно увидеть и вполне закономерные интеллектуальные различия, и ревнивое недовольство по поводу заигрываний своего любимчика со старым философским противником. В словах Вольтера почти прочитывается мысль: «Так на чьей ты стороне, парень, на его или на моей?» Кондорсе удалось избежать этого выбора (хотя в более поздних изданиях он все-таки отдал должное Вольтеру и несколько приглушил похвальный тон в адрес Паскаля). Он пошел на компромисс, объединив приверженность Паскаля широкому применению математических законов с радостной верой Вольтера в здравый смысл, секуляризм и прогресс.

В вопросах голосования Кондорсе был истинным математиком. Обыватель, взглянув на результаты выборов 2000 года во Флориде, мог бы воскликнуть: «Вот судьба! В итоге кандидат левого крыла повернул выборы в пользу республиканца», а изучив результаты выборов в Берлингтоне 2009 года, удивиться еще больше: «Вот странно! Центристский кандидат нравился практически всем и вылетел в первом же раунде». Математик воспринимает происходящее не как «странности поведения», а как интеллектуальную задачу. Можно ли точно определить,

что именно
делает эту ситуацию странной? Можно ли формально описать систему голосования, которая
не была бы
 странной?
Кондорсе был уверен, что можно. Он сформулировал аксиому, или, иначе говоря, утверждение, которое считал абсолютно самоочевидным и не требующим доказательств. Вот аксиома Кондорсе:
Если большинство избирателей отдают предпочтение кандидату А перед кандидатом Б, тогда кандидат Б не может быть выбором народа.

Кондорсе с восхищением отзывался о работе Борда, но считал метод Борда неудовлетворительным по той же причине, по которой классический экономист считает иррациональным поведение слизевого гриба. В системе Борда, как и в случае голосования большинством голосов, включение третьей альтернативы может склонить чашу весов в пользу кандидата Б, а не кандидата А. Это нарушает аксиому Кондорсе: если кандидат А выиграл бы борьбу против кандидата Б на выборах с участием двух кандидатов, тогда Б не может победить в выборах с тремя кандидатами, одним из которых является кандидат А.

На основе своей аксиомы Кондорсе намеревался построить математическую теорию голосования подобно тому, как Евклид создал целую теорию геометрии на основе пяти аксиом о поведении точек, прямых и окружностей:
• существует прямая, соединяющая любые две точки;
• любой отрезок прямой можно расширить до отрезка прямой любой требуемой длины;
• для любого отрезка прямой
L
 есть окружность с радиусом
L
;
• все прямые углы равны между собой;
• если
P
 – это точка, а 
L

 – прямая, которая не проходит через
Р
, существует только одна прямая, проходящая через точку
Р
 и параллельная прямой
L
.

Вообразите, что могло бы произойти, если кто-то сконструировал бы сложное геометрическое доказательство, показывающее, что аксиомы Евклида неизбежно приводят к противоречию. Подобное кажется совершенно невозможным, не так ли? Но имейте в виду, что в геометрии заложено множество тайн. Стефан Банах и Альфред Тарский в 1924 году показали, как можно разделить сферу на шесть частей, смешать их, а затем собрать из них две сферы того же размера. Разве такое возможно? Некоторые естественные системы аксиом по поводу трехмерных тел, их объема и движения, которые мы считаем истинными в силу своего опыта, не всегда бывают верными, какими бы интуитивно правильными они ни казались. Безусловно, фрагменты сфер Банаха – Тарского – невероятно сложные фигуры, а не объекты, которые можно представить в примитивном физическом мире. Поэтому, если вы задумали купить платиновый шар, разбить его на фрагменты Банаха – Тарского, сложить из этих фрагментов новые шары и повторять этот процесс до бесконечности, пока не будет получен вагон драгоценного металла, то вам вряд ли удастся это сделать.

Будь в аксиомах Евклида хоть какое-то противоречие, геометры пришли бы в ужас, и не без оснований, поскольку это означало бы, что одна или более аксиом, на которые они опирались, оказалась неправильной. Можно сказать и жестче: если в евклидовых аксиомах есть противоречие, то все точки, прямые и окружности, как Евклид понимал их, просто
не существуют
.
* * *
Именно с такой неприятной ситуацией столкнулся Кондорсе, когда открыл свой парадокс. Как показано на представленной выше

круговой диаграмме
, аксиома Кондорсе гласит, что Монтролл не может быть избран, поскольку он проигрывает в противостоянии один на один с Райтом. То же самое можно сказать о Райте, который проигрывает Киссу, и о Киссе, проигрывающем Монтроллу. Нет такой вещи, как выбор народа. Его просто не существует.

Парадокс Кондорсе стал серьезным вызовом для его мировоззрения, основанного на логике. Если есть объективно правильный рейтинг кандидатов, ситуация вряд ли может сложиться так, чтобы Кисс был лучше Райта, который лучше Монтролла, который лучше Кисса. Кондорсе вынужден был допустить, что при наличии таких примеров его аксиому придется ослабить: иногда большинство может оказаться неправым. Однако остается еще одна проблема: как рассеять туман сомнений и избавиться от противоречий, чтобы предугадать истинную волю народа – а в ее существовании Кондорсе никогда не сомневался.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь