Как не ошибаться

Игла Бюффона, лапша Бюффона, окружность Бюффона

Нам придется прервать историю об университетских умниках и их игре в лотерею, поскольку, раз уж мы заговорили об аддитивности ожидаемой ценности, я не могу не рассказать вам о самом красивом из всех известных мне доказательств, основанном на той идее.
Все начинается с игры
франк-карро

, которая, как и генуэзская лотерея, напоминает о том, что в старые времена люди играли практически на всё. Для игры франк-карро необходима монета и пол с квадратной плиткой. Вы бросаете монету на пол и заключаете пари: упадет ли она так, чтобы полностью поместиться в пределах одной плитки или прикоснется к одному из краев плитки. Примерный перевод французского словосочетания
franc-carreau
на английский язык – «squarely within the square»
{166}

(«целиком внутри квадрата»), а в качестве монеты, которая использовалась в этой игре, выступал не франк (его тогда еще не было в обращении), а 
экю
.
Жорж Луи Леклерк, граф де Бюффон был провинциальным аристократом из Бургундии, у которого научные амбиции возникли еще в раннем возрасте
{167}

. Бюффон поступил в юридическую школу, возможно, для того чтобы вслед за своим отцом стать государственным чиновником, но сразу после окончания учебы отказался от карьеры в области права в пользу науки. В возрасте двадцати семи лет, в 1733 году, он уже был готов представить свою кандидатуру на членство в Королевской академии наук в Париже.

Впоследствии Бюффон прославился как естествоиспытатель, написав объемный труд Histoire Naturelle Générale et Particulière («Всеобщая и частная естественная история»)
[177]

 – всего сорок четыре тома, в которых была сформулирована его теория, призванная объяснить происхождение жизни так же просто и всеобъемлюще, как теория Ньютона объяснила движение и силу. Однако на Бюффона, который еще был тогда молодым человеком, большое влияние оказала короткая встреча и долгая переписка со швейцарским математиком Габриелем Крамером
[178]

, поэтому его интересы были сосредоточены в области чистой математики; именно в качестве математика он предложил свою кандидатуру в Королевскую академию наук.
В работе, представленной Бюффоном, речь шла об оригинальном совмещении двух областей математики, которые ранее считались разрозненными: геометрии и теории вероятностей. Работа была посвящена не важным вопросам механики движения планет по их орбитам или экономике великих государств, а скромной игре франк-карро. Бюффон
[179]

поставил вопрос так: какова вероятность того, что монета упадет так, чтобы полностью находиться в пределах одной плитки? И каким должен быть размер напольной плитки, чтобы игра была справедливой для обоих игроков?
Вот как Бюффон сделал это. Если радиус монеты равен
r
, а квадратная плитка имеет сторону длиной
L
, тогда монета касается кромки, когда ее центр попадает внутрь меньшего квадрата со стороной
L
 − 2
r
:


Площадь меньшего квадрата равна (
L
 – 2
r

)², тогда как площадь большего квадрата –
L
². Следовательно, если вы заключаете пари на приземление монеты «прямо внутри квадрата», ваш шанс выиграть равен (
L
 – 2
r
)² /
L
². Чтобы игра была справедливой, этот шанс должен быть равен 1/2, а это означает, что

(
L
 – 2
r
)² /
L
² = 1/2.

Бюффон решил это уравнение (вы также можете его решить, если вам это интересно) и обнаружил, что игра франк-карро может быть справедливой только в случае, если сторона плитки в 4 + 2√2 раза больше радиуса монеты – коэффициент, равный почти 7. Это было интересно с концептуальной точки зрения, поскольку сочетание вероятностных рассуждений с геометрическими фигурами было совершенно новым, но эта задача была совсем не трудной, и Бюффон знал, что не она будет пропуском в академию. Поэтому он решил двигаться дальше:

«А если подбрасывать в воздух не круглую монету вроде экю, но предмет совсем иной формы: скажем, взять квадратик старинного испанского пистоля, или иглу, или какую палочку, или что еще, – тогда задача потребует немного больше геометрии»
{168}
.
Это было преуменьшение: задача об игле – это задача, благодаря которой имя Бюффона помнят в математических кругах даже в наше время. Позвольте мне более подробно объяснить, что именно сделал Бюффон.
Задача Бюффона об игле.

Предположим, у вас есть деревянный пол, сложенный из длинных узких планок, а также игла, длина которой в точности равна ширине планок. Бросьте эту иглу на пол. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из щелей, разделяющих планки?

Вот почему это столь щекотливая задача. Когда вы бросаете на пол экю, не имеет значения, в какую сторону смотрит отчеканенный на ней Людовик XV. Круг выглядит одинаково во всех направлениях, а значит, вероятность того, что монета пересечет край плитки, не зависит от ее ориентации.
Игла Бюффона – совсем другая история. Игла, направленная почти параллельно планкам, вряд ли пересечет край планки.


Однако, если игла упадет поперек планок, она почти наверняка пересечет щель между ними.

Игра франк-карро в высшей степени симметрична; если говорить в специальных терминах, она инвариантна относительно поворота монеты. В задаче об игле такая симметрия нарушена, что делает задачу гораздо более трудной: необходимо отслеживать не только место, в котором окажется центр иглы после падения, но и направление, в котором падает игла.

В двух крайних случаях вероятность того, что игла пересечет край планки, равна 0 (если игла расположена параллельно планке) или 1 (если игла расположена перпендикулярно планке). Следовательно, вы могли бы разделить разность пополам и выдвинуть предположение, что игла пересекает край планки ровно в половине случаев.

Однако это ошибочный вывод: на самом деле игла пересекает край гораздо чаще, чем падает полностью в пределах одной планки. Задача Бюффона об игле имеет неожиданное и очень красивое решение: эта вероятность составляет 2 / π, или около 64 %. Почему π, если в задаче нет никакой окружности? Бюффон нашел это решение, воспользовавшись несколько замысловатым доказательством, связанным с площадью под кривой с названием циклоида. Для того чтобы вычислить эту площадь, требуется задействовать некоторые элементы математического анализа – ничего такого, с чем не справился бы второкурсник, изучающий математику, но все же в этом нет ничего познавательного.

Однако существует еще одно решение этой задачи, которое нашел Жозеф Эмиль Барбье более чем через столетие после зачисления Бюффона в Королевскую академию наук. В этом решении формального исчисления не требуется; на самом деле вообще не нужны никакие расчеты. Доказательство, хотя и немного сложное, не требует ничего, кроме арифметической и базовой геометрической интуиции. А самое важное во всем этом – аддитивность ожидаемой ценности!

Прежде всего необходимо сформулировать задачу Бюффона в терминах ожидаемой ценности. Мы можем задать такой вопрос: чему равно ожидаемое
количество
краев планок, которые пересечет игла? Бюффон пытался вычислить вероятность
p
 того, что брошенная игла пересечет край планки. Таким образом, существует вероятность 1 −
p
, что игла не пересечет ни одного края планки. Но если все же игла пересечет планку, то только одну
[180]

. Таким образом, ожидаемое количество пересечений можно получить так же, как мы обычно вычисляем ожидаемую ценность: определив сумму каждого возможного количества пересечений, умноженного на вероятность наблюдения этого количества пересечений. В данном случае существует только два значения вероятности: 0 (наблюдаемое с вероятностью 1 −
p
) и 1 (наблюдаемое с вероятностью
p
), поэтому мы вычислим сумму

(1 – 
p
) × 0 = 0

и

p
 × 1 =
p

и получим в итоге
p
.

Таким образом, ожидаемое количество пересечений – это просто
p
, то же самое значение, которое вычислил Бюффон. Создается впечатление, что мы так и не продвинулись дальше. Как мы можем найти то загадочное число?
Когда вы сталкиваетесь с математической задачей, которую не знаете, как решить, у вас есть два основных варианта действий. Задачу можно либо упростить, либо сделать сложнее.

Первый вариант кажется более приемлемым: вы используете вместо этой задачи более простую и решаете ее в расчете на то, что понимание, обретенное вами в процессе решения более легкой задачи, поможет вам глубже проникнуть в суть более сложной задачи, которую вы пытаетесь решить. Именно это делают математики каждый раз, когда моделируют сложную реальную систему с помощью отлаженного, безупречного математического механизма. Иногда этот подход применяется весьма успешно: если вы отслеживаете траекторию движения тяжелого реактивного снаряда, вы хорошо справитесь с задачей, не принимая во внимание сопротивление воздуха и считая, что движущееся тело подвержено только постоянному воздействию силы тяжести. В других случаях ваше упрощение достигает такого уровня, что устраняет интересные аспекты задачи, как в старом анекдоте о физике, перед которым поставили задачу оптимизировать процесс производства молочных продуктов, и он без каких-либо сомнений произносит: «Возьмем сферическую корову…»

В этом духе кто-то может попытаться почерпнуть какие-либо идеи в отношении иглы Бюффона посредством решения более простой задачи с игрой франк-карро: «Возьмем круглую иглу…» Однако не совсем понятно, какую полезную информацию можно извлечь из задачи с монетой, чья вращательная симметрия лишает задачу об игле того самого свойства, которое делает ее интересной.
Вместо этого мы используем другую стратегию – стратегию, использованную Барбье:
сделаем задачу более сложной

. Это звучит не очень обнадеживающе. Но, когда такая стратегия работает, она работает как магическая формула.

Давайте начнем с малого. Что если мы зададим более общий вопрос: чему равно ожидаемое количество пересечений иглы с краями планки, если длина иглы составляет две ширины планки? Это вопрос кажется более сложным, поскольку теперь у нас есть три возможных результата вместо двух. Игла может упасть, полностью расположившись в пределах одной планки, или может пересечь один край планки, или может пересечь два края планки. Следовательно, чтобы вычислить ожидаемое количество пересечений, нам как будто придется вычислить вероятность трех отдельно взятых событий вместо двух.

Однако благодаря аддитивности эта более сложная проблема на самом деле легче, чем вам кажется. Нарисуйте точку посредине длинной иглы и обозначьте две половины цифрами 1 и 2, как на рисунке.


В таком случае ожидаемое количество пересечений длинной иглы равно сумме ожидаемого количества пересечений половины иглы 1 и ожидаемого количества пересечений половины иглы 2. В алгебраических терминах это можно сформулировать так: если
Х
 – это количество краев, пересеченных половиной иглы 1, а 
Y

 – количество краев, пересеченных половиной иглы 2, тогда общее количество краев, пересеченных длинной иглой, равно
X
 +
Y
. Однако каждая половина длинной иглы – это и есть игла той длины, которую изначально рассматривал Бюффон; следовательно, каждая из этих половинок иглы в среднем пересекает края планки
p
 раз. Другими словами,
E
(
X
) и 
E
(
Y
) равны 
p
. Таким образом, ожидаемое количество пересечений целой иглы,
E
(
X
+
Y
), равно сумме
E
(
X
) +
E
(
Y
), что равно
p
 +
p
, или 2

p
.
Такая же логика применима к игле, длина которой в три, в четыре или в сотню раз больше ширины планки. Если длина иглы равна
N
(а мы теперь берем ширину планки в качестве единицы измерения), ожидаемое количество ее пересечений равно
Np
.

Такой подход работает как в случае коротких, так и в случае длинных игл. Предположим, я бросаю иглу, длина которой составляет 1/2 единицы, или половину ширины планки. Поскольку иглу Бюффона длиной в 1 единицу можно разделить на две иглы длиной 1/2 единицы, ожидаемая величина
p
 должна быть в два раза больше ожидаемого количества пересечений иглы длиной 1/2 единицы. Следовательно, ожидаемое количество пересечений иглы длиной 1/2 единицы равно (1/2)
p
. По существу, формула

ожидаемое количество пересечений иглы длиной
N
 =
Np

верна для
любого
положительного действительного числа
N
, будь то большого или малого.
(Здесь не стоит приводить строгое доказательство того, что представленная выше формула применима и в случае, когда
N
 – некое страшное иррациональное число, скажем квадратный корень из 2, потому что для этого понадобятся формальные математические выкладки. Но я даю честное слово, что основные идеи доказательства Барбье – те, что я привел.)

Теперь необходимо проанализировать задачу под новым, так сказать, углом, согнув иглу.


Это самая длинная игла из всех, с которыми мы до сих пор имели дело: ее общая длина равна 5 единицам. Однако эта игла согнута в двух местах, а два ее края я сомкнул, чтобы образовать треугольник. Прямые сегменты иглы имеют длину 1 единица, 2 единицы и 2 единицы; следовательно, ожидаемое количество пересечений каждого сегмента равно
p
, 2
p
и 2
p

соответственно. Количество пересечений всей иглы равно сумме количества пересечений каждого сегмента. Таким образом, принцип аддитивности говорит нам, что ожидаемое количество пересечений целой иглы составляет:

p
 + 2
p
 + 2
p
 = 5
p
.

Другими словами, формула

ожидаемое количество пересечений иглы длиной
N
 =
Np

применима и в случае согнутых игл.
Вот одна из таких игл.


Вот еще одна.


И еще одна.

Мы уже видели такие рисунки. Те самые рисунки, которые две тысячи лет назад использовали Архимед и Евдокс, когда разрабатывали метод исчерпывания. Последний рисунок похож на окружность с диаметром в одну единицу. Но на самом деле это многоугольник, состоящий из 65 536 крохотных иголок. Ваши глаза не заметят разницы, так же как не заметит ее и пол. Это означает, что ожидаемое количество пересечений окружности диаметром в одну единицу в точности такое же, что и ожидаемое количество пересечений 65536-угольника. А согласно правилу согнутой иглы, это количество равно

Np
, где
N
 – это периметр многоугольника. Чему равен этот периметр? Он должен быть в точности таким же, что и длина окружности; радиус окружности равен 1/2 единицы, а значит, длина этой окружности равна π. Следовательно, ожидаемое количество пересечений окружности с краями планки равно π
p
.
Как вы воспринимаете такое усложнение задачи? Не кажется ли вам, что мы делаем задачу все более абстрактной и все более обобщенной, даже не ответив на основной вопрос: что такое
p
?

Так вот, представьте себе: мы только что вычислили это значение.
Ведь вопрос теперь звучит так: сколько пересечений делает окружность? Совершенно неожиданно задача, казавшаяся сложной, становится простой. Симметрия, которую мы потеряли, когда перешли от круга к игле, восстановлена посредством сгибания иглы в кольцо. А это существенно упрощает задачу. Не имеет значения, куда упадет круг, – он пересекает линии на полу ровно два раза.

Таким образом, ожидаемое количество пересечений равно 2; оно же равно π
p
. Следовательно, мы можем сделать вывод, что
p
 = 2 / π, как и говорил Бюффон. На самом деле представленная выше аргументация применима к любой игле, какой бы многосторонней или изогнутой она ни была: ожидаемое количество пересечений равно
Lp
, где
L

 – это длина иглы в единицах, равных ширине планки. Бросьте на кафельный пол груду спагетти – и я смогу точно сказать, какое число пересечений линий с макаронинами следует ожидать. Математические остряки называют этот обобщенный вариант
задачей Бюффона о лапше
.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь