Как не ошибаться

Лотерейная афера, которая таковой не была

Двенадцатого июля 2005 года в отдел по соблюдению правил проведения лотереи штата Массачусетс поступил необычный звонок от сотрудника супермаркета сети Star Market, что в Кембридже – городе, расположенном к северу от Бостона. Кембридж славится своими учебными заведениями: Гарвардом и Массачусетским технологическим институтом (Massachusetts Institute of Technology; далее по тексту – MIT). Дело заключалось в том, что в супермаркет зашел студент университета, чтобы купить билеты новой лотереи штата Cash WinFall. В этом не было бы ничего необычного, если бы не размер заказа: студент предъявил четырнадцать тысяч игровых карточек, заполненных вручную (каждая!), на общую сумму 28 000 долларов.

Никаких проблем, сказали в офисе лотереи сотруднику супермаркета: если карточки заполнены должным образом, любой человек может покупать столько билетов, сколько пожелает. Если магазины хотели продавать билетов больше чем на 5000 долларов в день, им необходимо было получить в офисе лотереи официальное разрешение, но такие разрешения предоставлялись без всяких проблем.

Все складывалось хорошо, поскольку Star Market не был единственным магазином в районе Бостона, продающим билеты этой лотереи, у которого на той неделе лотерейный бизнес шел весьма активно. Накануне розыгрыша 14 июля еще двенадцать магазинов связались с офисом лотереи с просьбой о предоставлении официального разрешения. Три из них были расположены в Куинси – городке к югу от Бостона на берегу Бостонского залива, в котором обитает много американцев азиатского происхождения. Десятки тысяч лотерейных билетов Cash WinFall были проданы небольшой группе покупателей в нескольких магазинах.

Что же происходило? Ответ на этот вопрос не был секретом; он лежал у всех на виду – в правилах проведения лотереи Cash WinFall. Новая лотерея, запущенная осенью 2004 года, заняла место прежней лотереи Mass Millions, которая была закрыта, после того как на протяжении целого года никто не выиграл джекпот. Игроки все больше разочаровывались в ней, в связи с чем объем продаж лотерейных билетов сократился. Штату Массачусетс необходимо было кардинальным образом реорганизовать свою лотерею, и у руководства штата возникла идея использовать адаптированную версию лотереи штата Мичиган WinFall. В лотерее Cash WinFall джекпот не становился все больше и больше с каждой неделей, на протяжении которой джекпот никто не выигрывал. Вместо этого каждый раз, когда джекпот превышал 2 миллиона долларов, эти деньги передавались на увеличение размера призов других категорий, выиграть которые было не слишком трудно. При этом на следующий розыгрыш устанавливалась минимальная сумма джекпота в размере 500 000 долларов. Комиссия по проведению лотереи рассчитывала на то, что новая лотерея, позволяющая получить серьезный выигрыш, не сорвав джекпота, покажется игрокам выгодным делом.

Организаторы лотереи штата Массачусетс сделали свою работу слишком хорошо. Получилось так, что они создали лотерею Cash WinFall, которая
действительно
была выгодной. Летом 2005 года несколько предприимчивых игроков поняли это.
Вот каким было распределение призов лотереи Cash WinFall в обычный день.


Если сумма джекпота составляет один миллион долларов, ожидаемая ценность двухдолларового билета достаточно низкая:

(1 миллион долларов / 9,3 миллиона) + (4000 долларов / 39 000) + (150 долларов / 800) + (5 долларов / 47) + (2 доллара / 6,8) = 79,8 цента.

Такая доходность выглядит настолько мизерной, что на этом фоне участники лотереи Powerball выглядят весьма проницательными инвесторами. (И мы еще щедро оценили бесплатный билет в 2 доллара, в которые он обошелся бы вам вместо существенно меньшей ожидаемой ценности.)

Однако в день перераспределения суммы джекпота, превышающей 2 миллиона долларов, ситуация выглядит совсем иначе. Седьмого февраля 2005 года джекпот вырос почти до 3 миллионов долларов. Этот джекпот не выиграл никто, что не удивительно, учитывая то, что в тот день в лотерею Cash WinFall играли всего 470 тысяч человек, а вероятность совпадения всех шести номеров составляла 1 из 10 миллионов.

В итоге эти деньги были переданы в фонд других призовых категорий. Согласно формуле, установленной властями штата, 600 тысяч долларов было перенесено в фонд призовых категорий «Пять совпадений» и «Три совпадения» и 1,4 миллиона долларов – в фонд категории «Четыре совпадения». Вероятность угадать в лотерее WinFall четыре номера из шести составляет 1 из 800, а значит, в тот день должно было быть около шестисот победителей в категории «Четыре совпадения» из 470 тысяч игроков. Это большое количество победителей, но 1,4 миллиона долларов – тоже большие деньги. Если разделить данную сумму среди шестисот победителей в данной категории, получится более 2000 долларов на каждого из них. На самом деле в тот день игроки, угадавшие четыре числа, могли рассчитывать на выигрыш в размере 2385 долларов. Это гораздо более выгодно, чем ничтожные 150 долларов, которые можно было получить в обычный день. В случае получения выигрыша в размере 2385 долларов с вероятностью 1 из 800 ожидаемая ценность лотерейного билета составляет:

2364 доллара / 800 = 2,98 доллара.

Другими словами, один только приз за угадывание четырех чисел делает лотерейный билет заслуживающим его цены в размере 2 доллара. Если учесть другие призовые категории, ситуация становится еще более привлекательной.


Следовательно, лотерейный билет предположительно мог обеспечить средний выигрыш в размере:

50 000 долларов / 39 000 + 2385 долларов / 800 + 60 долларов / 47 = 5,53 доллара.

Инвестиция, которая может обеспечить вам три с половиной доллара прибыли на 2 вложенных доллара, – это не тот шанс, от которого отказываются
[173]
.

Безусловно, если в такой день один счастливчик сорвет джекпот, для всех остальных игра превратится в тыкву. Однако лотерея Cash WinFall никогда не была настолько популярной, чтобы это могло произойти. За всю историю Cash WinFall сумма джекпота, превышающая определенный уровень, переносилась в фонд других призовых категорий 45 раз, и только однажды игрок угадал все шесть чисел, и процесс перераспределения суммы был остановлен
[174]
.

Давайте внесем ясность: эти расчеты не означают, что ставка в 2 доллара обязательно позволит вам выиграть деньги. Напротив, когда вы покупаете билет Cash WinFall в день передачи суммы джекпота в фонд других призовых категорий, ваш билет, скорее всего, окажется проигрышным, как и в любой другой день. Ожидаемая ценность – это не та ценность, которую вы ожидаете! Однако в день перераспределения призового фонда призы (в случае маловероятного события, когда вы все же выиграете) становятся больше – намного больше. Магия ожидаемой ценности состоит в том, что средний выигрыш в случае сотни, или тысячи, или десяти тысяч билетов с большой вероятностью составит около 5,53 доллара. Возможно, любой отдельно взятый билет ничего не стоит, но, если у вас тысяча билетов, можете быть уверены в том, что вы вернете вложенные деньги и даже немного заработаете.

Но кто покупает тысячу билетов за один раз?
Студенты MIT – вот кто.
Я могу рассказать вам обо всех (до последнего доллара) выигрышах в лотерею WinFall 7 февраля 2005 года только потому, что эти данные содержатся в исчерпывающем и, честно говоря, захватывающем отчете по делу WinFall, который в июле 2012 года подал властям штата Массачусетс генеральный инспектор штата Грегори Салливан
{163}

. Думаю, у меня есть все основания утверждать, что это единственный документ о фискальном надзоре за всю историю нашего государства, который заставляет задуматься: а кому принадлежат права на экранизацию
всего этого
?
Причина, почему в отчете отображены данные
именно за этот день

, состоит в следующем. Седьмого февраля 2005 года состоялось первое перераспределение призового фонда, после того как студент последнего курса MIT Джеймс Харви, который работал в то время над самостоятельным исследовательским проектом по сравнению преимуществ различных государственных лотерей, понял, что власти штата Массачусетс случайно создали невероятно прибыльный инвестиционный инструмент для любого человека, достаточно хорошо разбирающегося в числах, чтобы обратить на это внимание. Харви собрал группу друзей (в MIT совсем не трудно найти друзей, которые способны рассчитать математическое ожидание) и купил тысячу лотерейных билетов. Как и следовало ожидать, один из билетов оказался выигрышным в категории «Четыре совпадения», и группа получила один приз в размере 2000 долларов. Кроме того, группа получила несколько выигрышей в категории «Три совпадения». В итоге общая сумма выигрыша группы оказалась в три раза больше первоначально вложенной суммы.

Вряд ли я удивлю вас, если скажу, что Харви и другие инвесторы из его группы не прекратили играть в лотерею Cash WinFall. Или что он так и не закончил то самостоятельное исследование – во всяком случае, не довел его до того уровня, чтобы получить свой зачет на экзамене. На самом деле исследовательский проект Харви быстро перерос в преуспевающий бизнес. Летом того года сообщники Харви покупали десятки тысяч лотерейных билетов на один розыгрыш: именно один из членов его группы купил такое огромное количество лотерейных билетов в супермаркете Star Market в Кембридже. Студенты назвали свою команду Random Strategies («Случайные стратегии»)

{164}
, хотя их подход представлял собой не более чем беспорядочный перебор вариантов. Скорее всего, это название произошло от Random Hall, общежития MIT, в котором Харви придумал свой план обогащения за счет лотереи WinFall.

И этим занимались не только студенты MIT. Были созданы как минимум еще две группы, которые пытались воспользоваться преимуществами «денежного водопада» лотереи WinFall. Инь Чжан, врач-исследователь из Бостона с дипломом PhD Северо-Восточного университета, организовал Doctor Zhang Lottery Club. Именно действия DZLC стали причиной всплеска продаж лотерейных билетов в Куинси. Вскоре группа покупала лотерейные билеты на сумму 300 тысяч долларов при каждом перераспределении призового фонда. В итоге доктор Чжан в 2006 году отказался от врачебной практики, полностью посвятив себя лотерее Cash WinFall.

Еще одну группу такого рода возглавлял Джеральд Селби, пенсионер семидесяти с лишним лет, имеющий диплом бакалавра по математике. Селби жил в Мичигане, на родине лотереи WinFall, а его группа состояла из тридцати двух игроков, в основном родственников, которые играли в WinFall на протяжении двух лет, пока в 2005 году лотерея не была упразднена. Когда Селби узнал, что его кормушка возобновилась на востоке, он предпринял очевидный шаг: в августе 2005 года они с женой Марджори отправились в Дирфилд, расположенный в западной части штата Массачусетс, и сделали свою первую ставку – 60 тысяч долларов. Домой они увезли немногим более 50 тысяч долларов чистой прибыли. Селби с его опытом игры в лотерею в штате Мичиган прибавил к своим билетам лотереи Cash WinFall еще один способ получить дополнительную прибыль

{165}
. В штате Массачусетс магазины получали 5 % комиссионных от продажи лотерейных билетов. Селби заключил прямую сделку с одним магазином, предложив покупать лотерейные билеты на сотни тысяч долларов за один раз в обмен на разделение 5 % комиссионных поровну. Один только этот шаг обеспечил команде Селби дополнительную прибыль в тысячах долларов на каждый розыгрыш с перераспределением призового фонда.

Вам не нужен диплом MIT, чтобы понять, как наплыв крупных игроков повлиял на игру. Не забывайте: выигрыши в день перераспределения призового фонда возросли, потому что большую сумму денег разделяли среди нескольких победителей. В 2007 году на каждый розыгрыш с перераспределением призового фонда продавалось не менее миллиона лотерейных билетов, большинство из которых покупали три крупные группы игроков. Те времена, когда можно было получить приз 2300 долларов за угадывание четырех чисел из шести, канули в лету: если билеты покупали полтора миллиона игроков и один из каждых восьми сотен угадывал четыре числа, тогда победителей в категории «Четыре совпадения» было около двух тысяч. Таким образом, доля каждого из них в общем призовом фонде этой категории в размере 1,4 миллиона долларов теперь сократилась примерно до 800 долларов.

Определить размер выигрыша крупного игрока в лотерее Cash WinFall не составит труда – все дело в том, чтобы проанализировать это с точки зрения самой лотереи. В день розыгрыша с перераспределением призового фонда в распоряжении штата есть (минимум!) 2 миллиона долларов накопленного джекпота, от которых штат должен избавиться. Предположим, в этот день полтора миллиона человек купят лотерейные билеты. Это еще 3 миллиона долларов дохода, из которых 40 %, или 1,2 миллиона долларов, уходит в казну штата, а оставшиеся 1,8 миллиона долларов вносятся в фонд джекпота, причем все эти деньги должны быть выплачены игрокам до окончания дня. Следовательно, в день такого розыгрыша штат забирает себе 3 миллиона долларов и выплачивает игрокам 3,8 миллиона долларов

[175]
: 2 миллиона долларов, которые уже есть в фонде джекпота, и 1,8 миллиона долларов, полученных от продажи лотерейных билетов в этот день. В любой отдельно взятый день то, что заработал штат, проигрывают игроки, и наоборот. Следовательно, день перераспределения призового фонда – это благоприятный день для игры в лотерею; в приведенном выше случае игроки, купившие билеты, в сумме получили от штата 800 тысяч долларов.

Если игроки покупают 3,5 миллиона билетов, складывается совсем другая ситуация. В этом случае организатор лотереи забирает свою долю в размере 2,8 миллиона долларов и выплачивает игрокам оставшиеся 4,2 миллиона долларов. Если прибавить сюда уже имеющиеся в фонде джекпота 2 миллиона долларов, получится 6,2 миллиона долларов, что меньше 7 миллионов долларов, вырученных штатом за продажу билетов. Другими словами, несмотря на щедрое перераспределение призового фонда, лотерея стала настолько популярной, что штат все равно получает прибыль за счет игроков.

Это очень радует власти штата.

Момент равновесия наступает, когда доля в размере 40 % дохода, полученного в день перераспределения призового фонда, в точности равна 2 миллионам долларов, уже поступившим в общий фонд (то есть деньги, полученные от игроков, которые были довольно неопытными или склонными к риску, чтобы играть в WinFall без перераспределения призового фонда). Это 5 миллионов долларов, или 2,5 миллиона лотерейных билетов. Но если сумма немного меньше (а за весь период существования лотереи WinFall она всегда была меньше), WinFall обеспечивает игрокам возможность заработать немного денег.

На самом деле мы используем здесь удивительный, хотя и вполне соответствующий здравому смыслу факт под названием «аддитивность ожидаемой ценности». Предположим, мне принадлежит франшиза McDonald’s и кафе, причем ожидаемая годовая прибыль от McDonald’s составляет 100 тысяч долларов, тогда как ожидаемая чистая прибыль от кафе – 50 тысяч долларов. Безусловно, в разные годы эти показатели могут повышаться и падать; ожидаемая ценность означает, что в долгосрочной перспективе средняя сумма денег, которые заработает McDonald’s, составит около 100 тысяч долларов в год, а средняя сумма денег, полученных от кафе, – 50 тысяч долларов.

Принцип аддитивности гласит, что в среднем общая сумма выручки от гамбургеров бигмак и кофе мокачино составит 150 тысяч долларов, то есть сумму ожидаемой прибыли от каждого из двух направлений бизнеса.
Другими словами, этот принцип можно сформулировать так:
аддитивность –
ожидаемая ценность суммы двух величин представляет собой сумму ожидаемой ценности первой величины и ожидаемой ценности второй величины.

Математики любят записывать рассуждения такого рода в виде формулы, как мы сделали это с коммутативностью сложения (
столько-то
рядов с 
таким-то
количеством отверстий – это тоже самое, что столько-то столбцов с таким-то количеством отверстий), написав формулу
a
 ×
b
 =
b
 ×
a
. В данном примере, если
X
 и 
Y
 – две величины, значение которых нам точно не известно, а 
E
(
X
) – это сокращение от «ожидаемая ценность
Х
» (expected value of 
X

), тогда принцип аддитивности можно записать в таком виде:

E
(
X
 +
Y
) =
E
(
X
) +
E
(
Y
).

Вот как это связано с лотереей. Стоимость всех билетов в отдельно взятом розыгрыше – это сумма денег, выплаченных штатом. И эта стоимость не имеет никакого отношения к неопределенности
[176]

; это просто сумма денег, переданных в фонд других призовых категорий – в первом из приведенных выше примеров это 3,8 миллиона долларов. Ожидаемая ценность твердой суммы в размере 3,8 миллиона долларов составляет ровно столько, сколько вы ожидаете, – 3,8 миллиона долларов.

В этом примере в день перераспределения призового фонда в розыгрыше принимал участие один миллион игроков. Принцип аддитивности гласит, что сумма значений ожидаемой ценности всех 1,5 миллиона лотерейных билетов равна ожидаемой ценности общей стоимости всех билетов, или 3,8 миллиона долларов. Однако все билеты (во всяком случае до того, как вы узнаете выигрышные номера) имеют одну и ту же стоимость. Таким образом, вы суммируете 1,5 миллионов копий одного и того же числа и получаете 3,8 миллиона долларов; этим числом должно быть 2,53 доллара. Ваша ожидаемая прибыль на лотерейный билет составляет 53 цента, то есть более 25 % от вашей ставки – неплохая прибыль для лотереи, в которую, как принято считать, играют только простофили.

Принцип аддитивности настолько привлекателен на интуитивном уровне, что на первый взгляд может показаться, будто он очевиден. Однако, подобно определению цены пожизненных аннуитетов, он далеко не очевиден! Чтобы понять это, подставьте вместо ожидаемой ценности другие понятия – и вся схема нарушится. Возьмем хотя бы такое утверждение:
Самое вероятное значение суммы набора величин равно сумме самых вероятных значений каждой из этих величин.

Но это абсолютно ошибочное утверждение. Предположим, я случайным образом выберу, кому из троих детей оставить наследство. Самое вероятное значение доли каждого ребенка равно нулю, поскольку вероятность того, что я лишу его наследства, – два из трех. Однако самое вероятное значение суммы всех трех долей (по существу,
единственно возможное
значение) равно стоимости всего моего состояния.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь