Как не ошибаться

Не играйте в Powerball

В настоящее время американская государственная лотерея Powerball разыгрывается в сорока двух штатах, в округе Колумбия и на Виргинских островах США. Это невероятно популярная лотерея: иногда продается целых 100 миллионов билетов на один розыгрыш
{160}
. В Powerball играют бедные люди, в Powerball играют те, кто уже разбогател. В Powerball играет мой отец, бывший президент Американской статистической ассоциации, а поскольку он покупает билеты и для меня, значит, и я тоже играю.
Разумно ли это?

Шестого декабря 2013 года, когда я пишу эти строки, джекпот составляет довольно большую сумму, 100 миллионов долларов. И джекпот – это не единственный способ выиграть. Подобно многим другим лотереям, в Powerball действует многоуровневая система призов; более мелкие и чаще встречающиеся призы позволяют поддерживать у людей ощущение того, что в эту лотерею стоит играть.

С помощью ожидаемой ценности мы в состоянии сопоставить эти ощущения с математическими фактами. Вот как можно рассчитать ожидаемую ценность лотерейного билета за 2 доллара. Покупая билет, вы приобретаете следующее:

1 шанс из 175 000 000 выиграть джекпот 100 миллионов долларов;
1 шанс из 5 000 000 выиграть приз 1 миллион долларов;
1 шанс из 650 000 выиграть приз 10 тысяч долларов;
1 шанс из 19 000 выиграть приз 100 долларов;
1 шанс из 12 000 выиграть другой приз 100 долларов;

1 шанс из 700 выиграть приз 7 долларов;
1 шанс из 360 выиграть другой приз 7 долларов;
1 шанс из 110 выиграть приз 4 доллара;
1 шанс из 55 выиграть другой приз 4 доллара.

(Все эти данные можно получить на сайте Powerball, на котором есть также на удивление остроумная страница «Часто задаваемые вопросы», где можно найти нечто в таком роде: «
Вопрос:
заканчивается ли срок действия билетов Powerball?
Ответ:
да; Вселенная затухает, и ничто не вечно».)

Таким образом, ожидаемая сумма, которую вы можете выиграть, равна:

100 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет немногим менее 94 центов. Другими словами, с точки зрения ожидаемой ценности лотерейный билет не стоит ваших двух долларов.

Но это не конец истории, поскольку не все лотерейные билеты одинаковые. Когда джекпот составляет 100 миллионов долларов (как сегодня), ожидаемая ценность билета возмутительно низка. Но каждый раз, когда джекпот остается невостребованным, в призовой фонд поступает дополнительная сумма денег. Чем больше становится джекпот, тем больше людей покупают лотерейные билеты и тем больше вероятность того, что один из этих билетов сделает кого-то мультимиллионером. В августе 2012 года работник железной дороги из штата Мичиган Дональд Лоусон сорвал джекпот в размере 337 миллионов долларов

{161}
.
Когда главный приз становится настолько большим, ожидаемая ценность билета также увеличивается. Для того чтобы рассчитать эту ценность, достаточно подставить в приведенную выше формулу сумму 337 миллионов:

337 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

что составляет 2,29 доллара. Отныне игра в лотерею уже не кажется таким безнадежным делом. Насколько большим должен быть джекпот, чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета превысила его цену в два доллара? Теперь вы можете вернуться к учительнице, которая преподавала вам математику в восьмом классе, и сказать ей, что вы поняли, зачем нужна алгебра. Если мы обозначим величину джекпота буквой
J
, ожидаемая ценность билета равна:

J

 / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10 000 / 650 000 + 100 / 19 000 + 100 / 12 000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55,

или, если упростить эту формулу:

J
 / 175 миллионов + 36,7 цента.

В этот момент в игру вступает алгебра. Чтобы ожидаемая ценность лотерейного билета оказалась больше двух долларов, которые вы на него потратили, необходимо, чтобы значение
J

 / 175 миллионов было больше 1,63 доллара или что-то около этого. Умножив обе стороны на 175 миллионов, вы обнаружите, что пороговая величина джекпота составляет немногим более 285 миллионов долларов. Это не такое уж редкое событие: в 2012 году такой джекпот был три раза. Создается впечатление, что по большому счету игра в лотерею может быть неплохой идеей – если вы достаточно осмотрительны, чтобы играть только тогда, когда джекпот становится достаточно большим.

Но и это еще не конец истории. Вы не единственный человек в Америке, знакомый с алгеброй. И даже люди, не знающие алгебры, инстинктивно понимают, что лотерейный билет более заманчив, когда джекпот составляет 300 миллионов долларов, а не 80 миллионов. Как и всегда, математический подход – формализованная версия наших природных мысленных расчетов, продолжение здравого смысла другими средствами. В случае типичного розыгрыша с джекпотом 80 миллионов долларов может быть продано около 13 миллионов билетов. Но когда Дональд Лоусон выиграл 337 миллионов долларов, вместе с ним в лотерею играли еще около 75 миллионов человек

[171]
.
Чем больше людей играет, тем больше людей выигрывают призы. Но джекпот только один. И если два человека угадали все шесть чисел, они должны разделить эти большие деньги.
Какова вероятность того, что вы выиграете джекпот и вам не придется им делиться? Для этого должны произойти две вещи. Прежде всего вы должны угадать все шесть чисел; вероятность сделать это составляет один шанс из 175 миллионов. Но недостаточно просто выиграть:
все остальные должны проиграть
.

Существует неплохая вероятность, что любой отдельно взятый игрок упустит джекпот – около 174 999 999 из 175 миллионов. Но если в игре принимает участие 75 миллионов игроков, существует довольно большая вероятность, что один из них сорвет джекпот.

Насколько велика эта вероятность? Чтобы определить это, давайте используем факт, с которым встречались уже не раз: если мы знаем вероятность одного события и знаем вероятность другого события и если эти два события независимы (наступление одного события не влияет на наступление другого), тогда вероятность наступления первого
и
 второго событий равна произведению вероятностей наступления этих двух событий.
Слишком абстрактные рассуждения? Тогда рассмотрим их на примере лотереи.

Вероятность того, что я проиграю, составляет 174 999 999 из 175 000 000, а вероятность того, что мой отец проиграет, – 174 999 999 из 175 000 000. Следовательно, вероятность того, что мы 
оба
проиграем, равна:

174 999 999 / 175 000 000 × 174 999 999 / 175 000 000,

или 99,9999994 %. Другими словами, как я и говорю своему отцу каждый раз, нам лучше не бросать работу.
Но какова вероятность того, что проиграют
все 75 миллионов

ваших соперников? Все, что мне нужно сделать, – это умножить 174 999 999 / 175 000 000 на себя 75 миллионов раз. Похоже на наказание за совершение особо тяжкого преступления. Но данную задачу можно существенно упростить, представив ее в виде степени, которую ваш компьютер вычислит мгновенно:

(174 999 999 / 175 000 000)75 миллионов = 0,651…

Следовательно, существует вероятность 65 %, что ни один из ваших товарищей по игре не выиграет, а это значит, что один из них все-таки может выиграть с вероятностью 35 %. Если это действительно произойдет, ваша доля от приза в размере 337 миллионов долларов составит ничтожных 168 миллионов. Что сокращает ожидаемую ценность джекпота до

65 % × 337 миллионов долларов + 35 % × 168 миллионов долларов = 278 миллионов долларов.

Это немного ниже пороговой величины джекпота в размере 285 миллионов долларов, которая делает джекпот стоящим того, чтобы играть в лотерею. А ведь во всех наших расчетах не учитывалась вероятность того, что джекпот сорвут
более

чем два игрока, когда большой приз пришлось бы разделить на еще большее количество частей. Возможность разбиения джекпота на части означает, что ожидаемая ценность лотерейного билета меньше, чем сумма, которую вы на него потратили, даже когда джекпот достигает 300 миллионов долларов. Если джекпот стал бы еще больше, ожидаемая ценность могла бы попасть в зону «оно того стоит» – или нет, если большой джекпот повлек бы за собой еще более высокий уровень продаж билетов
[172]

. Самый крупный джекпот в лотерее Powerball, составивший 558 миллионов долларов, выиграли два игрока, а самым большим джекпотом за всю историю США стал главный приз в размере 668 миллионов долларов в лотерее Mega Millions, который был разделен на три части.

А ведь мы еще не говорили ни о налогах, которые вы должны будете выплатить со своего выигрыша, ни о том, что выигрыш будет выплачиваться вам частями по определенной сумме в год, а если вы хотите получить всю сумму сразу, вам выплатят существенно меньше денег. И помните: лотерею организует государство, а государство многое о вас знает. Во многих штатах невыплаченные налоги или другие непогашенные финансовые обязательства оплачиваются из выигрыша по лотерее, прежде чем вы увидите хотя бы цент. Один мой знакомый, работающий в государственной лотерее, рассказал мне историю о человеке, который пришел в офис лотереи с подругой, чтобы получить деньги на свой выигрышный билет в размере 10 000 долларов и провести бурный уик-энд, предаваясь всевозможным городским удовольствиям. Когда он предъявил выигрышный билет, официальный представитель лотереи сообщил паре, что почти все призовые деньги, кроме нескольких сотен долларов, уже переведены для погашения невыплаченных алиментов на ребенка, которые этот человек был должен своей бывшей подруге.

Спутница того человека впервые услышала, что у него есть ребенок. Выходные прошли совсем не так, как планировалось.
Так какой же должна быть лучшая стратегия того, как можно разбогатеть, играя в лотерею Powerball? Вот мой математически обоснованный план, состоящий из трех пунктов.

1. Не играйте в Powerball.
2. Если вы все-таки играете в Powerball, не делайте этого до тех пор, пока джекпот не станет по-настоящему большим.

3. Если вы покупаете лотерейные билеты в надежде выиграть большой джекпот, попытайтесь сократить вероятность того, что вам придется разделить свою добычу с другими победителями: выбирайте числа, которых другие игроки не выберут
{162}

. Не выбирайте дату своего рождения. Не выбирайте числа, выпавшие в предыдущем розыгрыше. Не выбирайте числа, которые образуют красивый узор в билете. И ради бога, не выбирайте числа, которые вы находите в печенье с предсказаниями. (Надеюсь, вы знаете, что производители не вкладывают в каждое печенье бумажки с разными числами?)

Powerball – не единственная лотерея, но у всех лотерей есть одна общая черта: это плохое пари. Лотерея, как отметил Адам Смит, предназначена для того, чтобы вернуть государству определенную долю от продажи лотерейных билетов; чтобы такое было возможно, государство должно выручить за продажу билетов больше денег, чем оно выделяет на выплату призов. Если взглянуть на это с другой стороны, игроки в лотерею в среднем тратят больше денег, чем выигрывают. Следовательно, ожидаемая ценность лотерейного билета

должна быть
отрицательной.
За исключением случаев, когда она такой не является.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь