Как не ошибаться

Глава восьмая
Доказательство от маловероятного

Самый неприятный философский вопрос в отношении проверки значимости нулевой гипотезы возникает уже в самом начале, еще до применения любого из тщательно продуманных алгоритмов, разработанных Фишером и усовершенствованных его последователями. Этот момент наступает в начале второго шага:
«Предположим, нулевая гипотеза истинна».
Однако в большинстве случаев мы пытаемся доказать обратное: что нулевая гипотеза
не является

истинной. Лекарственный препарат работает, Шекспир использует аллитерации, в Торе заложено все будущее. С логической точки зрения, кажется сомнительным исходить именно из того предположения, которое мы стремимся опровергнуть, – создается впечатление, будто мы рискуем создать замкнутый круг в доказательстве.

На этот счет можете быть спокойны. Выдвигать предположение об истинности того, что мы втайне считаем ложным, – это проверенный временем метод аргументации, восходящий еще к Аристотелю. Речь идет о доказательстве от противного, reductio ad absurdum. Подобное доказательство – своего рода математическое дзюдо, в ходе которого мы сначала утверждаем, что в конечном счете хотим опровергнуть, планируя перебросить его через плечо и победить посредством его же собственной силы. Если гипотеза приводит к ложным выводам

[124]
, тогда и сама гипотеза должна быть ошибочной. Следовательно, план действий сводится к следующему:
• предположим, гипотеза
Н
 истинна;
• из гипотезы
Н
 вытекает, что определенный факт
F
 не может иметь место;
• однако факт
F
 имеет место;
• следовательно, гипотеза
Н
 ошибочна.

Предположим, кто-то скажет вам, что во время массовой стрельбы в округе Колумбия погибло двести детей. Это гипотеза. Однако проверить такую гипотезу может быть достаточно трудно (я имею в виду, что, если ввести в поисковик Google фразу «количество детей, погибших от огнестрельного оружия в округе Колумбия в 2012 году», прямой ответ получить не удастся). С другой стороны, если мы предположим, что эта гипотеза истинна, тогда в округе Колумбия в 2012 году не могло быть меньше двухсот случаев насильственной смерти. Однако на самом деле таких случаев было меньше – всего восемьдесят восемь

{114}
. Следовательно, гипотеза человека, сообщившего вам об этом, должна быть ошибочной. Здесь нет никакого замкнутого круга в доказательстве: мы приняли ошибочную гипотезу в качестве предварительного, пробного предположения, тем самым создали противоречащий фактам воображаемый мир, в котором истинна данная гипотеза
Н
, а затем наблюдали за тем, как этот мир разваливается под натиском реальности.

В такой формулировке метод доказательства от противного кажется почти элементарным, и в каком-то смысле так оно и есть, но, наверное, было бы правильнее сказать, что это инструмент мышления, к использованию которого мы слишком привыкли и часто забываем, насколько он эффективен. В действительности именно простой метод от противного лежит в основе сформулированного Пифагором доказательства иррациональности квадратного корня из двух – доказательства, которое оказывало настолько разрушительное воздействие на существовавшую в то время систему понятий и воззрений, что его автора пришлось убить. Это настолько простое, изящное и компактное доказательство, что я могу записать его на паре страниц.

Предположим, гипотеза
Н
 состоит в следующем:

Н
 – квадратный корень из двух есть рациональное число.

Другими словами, мы предположили, что √2 – это число, представленное в виде дроби
m
/
n
, где
m
 и 
n
 – целые числа. Эту дробь можно привести к несократимому виду: если у числителя и знаменателя есть общий делитель, их можно сократить, сохранив дробь неизменной: нет смысла писать 10/14 вместо более простой дроби 5/7. Давайте перефразируем нашу гипотезу:

Н
: квадратный корень из 2 равен
m

/
n
, где
m
 и 
n
 – целые числа, не имеющие ни одного общего делителя.

В действительности это означает, что оба числа
m
 и 
n
 не могут быть четными. Если предположить, что оба числа четные, это равносильно тому, чтобы сказать, что у них общий делитель 2. В таком случае, как и в случае дроби 10/14, можно было бы сократить числитель и знаменатель на 2, не изменив саму дробь, а значит, у нас была бы дробь, не приведенная к простейшему виду. Следовательно, утверждение

F: m
 и 
n

 есть четные числа

ложное.

Поскольку √2 =
m
/
n
, после возведения обеих частей этого уравнения в квадрат мы увидим, что 2 =
m
²/
n
², или, что то же самое, 2
n
² =
m
². Следовательно,
m
² – это четное число, а это значит, что само число
m
 также четное. Число является четным, если его можно представить в виде произведения числа 2 на другое целое число, а значит, мы можем записать число
m
 в виде 2
k
, где
k
 – целое число. Это означает, что 2
n
² = (2
k
)² = 4
k

². Сократив обе стороны на 2, мы получим
n
² = 2
k
².
В чем смысл всех этих алгебраических преобразований? Просто показать, что
n
² равно двум
k
², а значит, это число четное. Но если
n
² четное число, тогда и само
n
 должно быть четным, так же как и 
m
. Но это означает, что утверждение
F
 истинно. Выдвинув гипотезу
H
, мы пришли к ошибочному и даже абсурдному выводу, что утверждение
F
 истинно и ложно одновременно. Следовательно, гипотеза
H

 должна быть ошибочной. Квадратный корень из 2 – это
не
 рациональное число. Предположив, что оно является таковым, мы доказали, что это не так. На самом деле довольно странный прием, но он работает.
Проверку значимости нулевой гипотезы можно представить как несколько размытую версию доказательства от противного:
• предположим, нулевая гипотеза Н истинна;
• из гипотезы
Н
 вытекает, что некий результат
О
 очень маловероятен (скажем, не превышает порог Фишера 0,05);
• однако результат
О

 был установлен посредством наблюдений;
• следовательно, вероятность
Н
 крайне мала.

Другими словами, мы имеем здесь не доказательство от противного, а доказательство от маловероятного.
Классический пример такого доказательства привел астроном и священник XVIII столетия Джон Митчелл, который одним из первых использовал статистический подход к изучению небесных тел
{115}

. За скоплением тусклых звезд в одном углу созвездия Тельца наблюдала едва ли не каждая цивилизация. В племени навахо это скопление называют Dilyehe, «Сверкающая фигура», в племени маори – Matariki, «Глаз Бога». Для древних римлян это была гроздь винограда, у японцев это Subaru (если вдруг вам интересно, почему на логотипе компании изображено шесть звезд). Мы называем это звездное скопление Плеядами.

Столетия наблюдений и мифотворчества не смогли ответить на фундаментальный научный вопрос: действительно ли это звездное скопление является скоплением? Или эти шесть звезд разделены недоступными пониманию расстояниями и просто случайно расположены почти в одним и том же направлении от Земли? Точки света, в случайном порядке размещенные в нашем поле зрения, выглядят примерно так
{116}
:

Вы видите здесь несколько групп, не так ли? Этого следовало ожидать: неизбежно формируются группы звезд, как будто почти взгромоздившихся друг на друга по воле случая. Как можно быть уверенными в том, что это не происходит с Плеядами? Это тот же феномен, на который обратили внимание Гилович, Валлон и Тверски: разыгрывающий игрок, который отличается высоким постоянством игры без взлетов и падений, время от времени все же делает по пять результативных бросков подряд.

На самом деле, если не было бы больших видимых скоплений звезд (как на представленном ниже рисунке), это
само по себе
свидетельствовало бы о том, что здесь действует некий неслучайный процесс. Второй рисунок может показаться невооруженному глазу более хаотичным, но на самом деле это не так: он показывает, что этим точкам присуща склонность избегать образования скоплений.

Следовательно, сам феномен существования наблюдаемых скоплений не должен убеждать нас в том, что рассматриваемые звезды действительно образуют группу в пространстве. С другой стороны, группа звезд на небе может быть настолько плотной, что отвергаются любые сомнения в случайности этого феномена. Митчелл показал, что, если видимые звезды были бы разбросаны в пространстве в случайном порядке, вероятность того, что шесть звезд образуют подобное Плеядам звездное скопление, предстающее перед нашим взором, крайне мала: около одного шанса на 500 тысяч, по расчетам самого Митчелла. Но вот они над нами – звезды, образующие гроздь винограда. Митчелл пришел к следующему умозаключению: только глупец может считать, что это произошло по воле случая.

Фишер одобрительно отзывался о работе Митчелла, совершенно ясно давая понять, что он видит в ней аналогию между аргументацией Митчелла и классическим доказательством от противного: «Сила, которая поддерживает данный вывод, – это, если рассуждать логически, простая дизъюнкция: либо имеет место крайне редкий случай, либо теория случайного распределения не соответствует действительности»
{117}
.

Весьма убедительный аргумент, из которого сделан правильный вывод: Плеяды – на самом деле не оптическое совмещение, а реальное скопление звезд – нескольких сотен взрослых звезд, а не только те шесть, видимые невооруженным глазом. Тот факт, что мы видим много других очень плотных звездных скоплений, подобных Плеядам (намного более плотных, чем это было бы возможно, если бы они возникли по воле случая), – это веское доказательство в пользу того, что звезды расположены в пространстве не в случайном порядке, а скорее образуют группы под воздействием некоего реального физического феномена, существующего в свободном пространстве.

Но есть и плохая новость: доказательство от маловероятного, в отличие от его аристотелевского предшественника, в общем случае нельзя считать логически состоятельным. Это доказательство вовлекает нас в мир собственных логических противоречий. Джозеф Берксон, долгое время возглавлявший отделение медицинской статистики в клинике Maйo, открыто критиковал методику, которую считал ненадежной
{118}

. Именно он предложил знаменитый пример, демонстрирующий подводные камни данного метода. Предположим, у вас есть группа из пятидесяти испытуемых, в отношении которых вы выдвигаете гипотезу (
Н
), что они – люди. Вы видите, что один из них альбинос (
О
). В принципе альбинизм – крайне редкое явление, встречающееся не более чем у одного из 20 тысяч людей. Таким образом, если исходить из того, что гипотеза
Н

 верна, вероятность того, что вы обнаружите альбиноса среди пятидесяти испытуемых, достаточно мала, менее чем 1 из 400
[125]
, или 0,0025. Следовательно,
p
-значение (вероятность наблюдения
О
 при условии
Н
) намного меньше 0,05.
Это неизбежно приводит нас к умозаключению, что с высокой степенью статистической достоверности гипотеза
Н
 неверна, а значит, испытуемые, входящие в состав данной выборки, – не люди.

Возникает большой соблазн считать, что выражение «очень маловероятное событие» означает то же, что и «по существу невозможное событие», а затем все чаще произносить слова «по существу» только мысленно, пока мы вообще не перестанем принимать их во внимание
[126]

. Однако невозможное и маловероятное – это совсем не одно и то же. Невозможное не происходит никогда, а вот маловероятное случается часто. Это означает, что мы становимся на шаткую логическую почву, когда пытаемся делать выводы из маловероятных результатов наблюдений, как того требует доказательство от маловероятного. Когда в розыгрышах лотереи Северной Каролины два раза на протяжении одной недели выпала одна и та же комбинация чисел 4, 21, 23, 34, 39, это подняло много вопросов: может, что-то не так с самой игрой? Однако каждая комбинация цифр может выпасть с точно такой же вероятностью, что и любая другая комбинация. Выпадание чисел 4, 21, 23, 34, 39 во вторник и чисел 16, 17, 18, 22, 39 в четверг – это в точности такое же маловероятное событие, как и то, что произошло на самом деле: вероятность получения двух комбинаций чисел в эти два дня составляет всего один шанс из примерно 300 миллиардов. В действительности вероятность выпадания любой конкретной комбинации чисел во время розыгрыша лотереи во вторник и в четверг составляет один шанс из 300 миллиардов. Если вы придерживаетесь точки зрения, что такой в высшей степени маловероятный результат дает вам основания, чтобы поставить под сомнение честность игры, вы станете человеком, который на протяжении всей своей жизни каждый четверг отправляет уполномоченному по лотереям сердитое письмо, какие бы числа ни выпали из барабана.

Не становитесь таким человеком.

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь