Геометрия

Опредѣленія.

Ограниченную часть пространства называютъ также тѣломъ и объемомъ, смотря по предмету разговора. Всякое тѣло непремѣнно имѣетъ три размѣренія: длину, ширину и глубину или толщину. Это есть главное свойство тѣла и нельзя вообразить тѣло безъ котораго нибудь размѣренія.

Тѣло отдѣляется отъ остальной части пространства границею или предѣломъ, который называютъ поверхностью, и который имѣетъ только длину и ширину, потому что, если бы этотъ предѣлъ имѣлъ еще толщину, онъ былъ бы часть тѣла, которая сама имѣла бы наружный и внутренній предѣлы.

Ограниченная часть поверхности отдѣляется отъ остальной предѣломъ, который называютъ линіею. Линія не имѣетъ толщины, потому что принадлежитъ поверхности; ни ширины, потому что въ этомъ случаѣ она была бы часть поверхности, которая сама имѣла бы два предѣла. Разстояніе между двумя мѣстами есть линія.

Часть линіи отдѣляется, съ каждой стороны, отъ остальной части линіи предѣломъ, который называютъ точкою. Точка не можетъ имѣть ширины и толщины; сверхъ этого она не имѣетъ длины, потому что въ противномъ случаѣ она былабы часть линіи, которая имѣла бы свои концы.

Нельзя сомнѣваться въ существованіи этихъ предѣловъ, потому что по нимъ-то мы судимъ о наружномъ видѣ тѣлъ. Правда, это отвлеченные предметы, и никогда въ практической жизни мы не имѣемъ дѣла съ геометрическими поверхностями, линіями и точками; не менѣе того истины доказываемыя въ Геометріи весьма полезны, какъ предѣлы совершенствованія точныхъ работъ въ искусствахъ, ремеслахъ и изящныхъ художествахъ; предѣлы, которыхъ, однакожъ, ни когда не достигнемъ. Умомъ мы дѣйствительно достигаемъ самыя отвлеченныя истины, вычисленіемъ можемъ приблизиться къ нимъ какъ угодно, но въ механическомъ производствѣ точность издѣлія ограничивается несовершенствомъ самыхъ инструментовъ.

Линіи раздѣляются на прямыя и кривыя. Прямая линія есть кратчайшій путь отъ одной точки къ другой, и всякая линія не прямая и несоставленная изъ прямыхъ, есть кривая.

Поверхности бываютъ плоскія и кривыя. Какъ бы не на ложили прямую линію на плоскую поверхность, или плоскость, эта линія коснется плоскости всѣми своими точками.

Кривая поверхность не имѣетъ этого свойства, и прямая линія, наложенная на такую поверхность, не касается ея всѣми Своими точками. Кривыя поверхности бываютъ выпуклыя и вогнутыя или впалыя. Вершина горы представляетъ выпуклую, а долина вогнутую поверхность. . .

Прямая линія можетъ быть двояко положена относительно другой прямой на той же плоскости; или обѣ линіи по всейдлинѣ одинаково удалены между собою, или менѣе удаленысъ одной стороны чѣмъ съ другой. Въ первомъ случаѣ говорятъ, что прямыя параллельны, и то же можно сказать о параллельныхъ кривыхъ линіяхъ.

Во второмъ случаѣ, продолженія линій непремѣнно встрѣтятся въ нѣкоторой точкѣ. Отверстіе между этими линіями называется угломъ, точка встрѣчи - вершиною угла, а линіи его сторонами.

И такъ уголъ есть отверстіе двухъ прямыхъ линій, которыя встрѣчаются.

Обыкновенно означаютъ углы тремя буквами, и средняя всегда принадлежитъ вершинѣ, впрочемъ, когда уголъ начерченъ, отдѣльно, означаютъ его и одною буквою.

Величина угла зависитъ только отъ взаимнаго расположенія линій. Увеличеніе или уменьшеніе линій не измѣняетъ ихъ расположеніе, и потому величина угла совсѣмъ не зависитъ отъ длины сторонъ, но единственно отъ величины отверстія; чѣмъ болѣе линіи удалены одна отъ другой, тѣмъ уголъ болѣе, и чѣмъ менѣе, уголъ менѣе.

Когда линія встрѣчаетъ другую, и составляетъ съ нею и съ ея продолженіемъ два разные угла, то говорятъ, что эти линіи перпендикулярны между собою, а углы-прямые. Прямой уголъ равенъ 90 градусамъ. И такъ линія перпендику лярная другой составляетъ съ нею два равныя угла, и одна сторона прямаго угла перпендикулярна другой.

Но если прямая встрѣчаетъ другую прямую, и составляетъ съ нею два неравные угла, тогда говорятъ, что одна линія наклонена къ другой, и называютъ меньшій уголъ острымъ, а большій тупымъ. И такъ линія наклоненная къ другой составляетъ съ нею два неравные угла. Острый уголъ менѣе прямаго, это значитъ, что онъ менѣе растворенъ, и по тому менѣе 90 градусовъ. Тупый уголъ болѣе прямаго, это значитъ, что онъ болѣе растворенъ, и слѣдственно болѣе 90 градусовъ.

Наконецъ, линія встрѣчающая двъ параллельныя линіи составляетъ съ нею восемь угловъ: четыре внутри параллельныхъ прямыхъ, и четыре внѣ ихъ. Два внутренніе угла, расположенные въ разныя стороны сѣкущей линіи, и несмѣжные, называются внутренними противуположными, а такіе же два угла, но внѣшніе, имѣютъ названіе внѣшнихъ противуположныхъ угловъ.

Пространство ограниченное со всѣхъ сторонъ называется фигурою. Фигуры бываютъ правильныя и неправильныя, прямолинейныя, криволинейныя и смѣшанныя, подобныя и неподобныя и разноугольныя.

Когда въ фигурѣ всѣ углы и стороны равны, такая фигура называется правильною. Въ неправильныхъ фигурахъ нѣтъ этого равенства.

Въ прямолинейныхъ фигурахъ всѣ стороны прямыя линіи; криволинейныя фигуры ограничены кривыми линіями, а смѣшанныя фигуры ограничены частью прямыми, частью жъ кривыми линіями.

Въ подобныхъ фигурахъ углы, одинаково расположенные, равны, и одинаковыя стороны пропорціональны. Эти два условія не выполнены въ неподобныхъ фигурахъ.

Наконецъ, въ равноугольныхъ фигурахъ всѣ углы равны каждый каждому, а въ разноугольныхъ нѣтъ этого равенства.

Часто случается отличать фигуру особымъ названіемъ, и это дѣлаютъ или по числу сторонъ, или по числу угловъ.

По числу сторонъ называютъ фигуру трехсторонникомъ, четырехсторонникомъ, десятисторонникомъ, восемнадцатисторонникомъ, и вообще многосторонникомъ называютъ фигуру, которая имѣетъ много сторонъ.

По числу угловъ называютъ фигуру треугольникомъ, тетрагономъ пли четыреугольникомъ, пентагономъ или пятиугольникомъ, октогономъ или восьмцугольникомъ, энеагономъ или девятиугольникомъ, декагономъ или десятиугольникомъ, эндекагономъ или одиннадцатиугольникомъ, тентедекагономъ или пятнадцатиугольникомъ, и вообще полигономъ или многоугольникомъ называютъ фигуру, которая имѣетъ много угловъ.

Треугольники также имѣютъ разныя названія смотря на свойства сторонъ или угловъ. Равностороннымъ треугольникомъ называется треугольникъ, котораго стороны равны; равнобедреннымъ, — котораго только двѣ стороны равны, и разностороннымъ,-котораго всѣ стороны неравны. Прямо угольнымъ треугольникомъ называется треугольникъ, котораго одинъ уголъ прямой; тупоугольникъ,— котораго одинъ уголъ тупой и остроугольнымъ,–котораго всѣ углы острые.

Названія четырехсторонниковъ зависятъ отъ свойствъ сторонъ и угловъ. Квадратомъ, называютъ четырехсторонникъ,котораго всѣ стороны равны и углы прямые; прямоугольникомъ,—котораго всѣ углы прямые и противуположныя стороны равны; ромбомъ, — котораго всѣ стороны равны и углы не прямые; параллелограмомъ, — которагоуглы непрямые и только противуположныя стороны равны. Наконецъ трапеція, есть четыреугольникъ, въ которомъ только двѣ стороны параллельны.

Послѣ четырехсторонниковъ фигуры неимѣютъ особыхъ названій, а отличаютъ ихъ или по числу сторонъ, или общимъ именемъ многосторонниковъ и многоугольниковъ.

Прямая линія соединяющая вершины двухъ несмѣжныхъ угловъ фигуры называется діагональю.

Высотою треугольника, четырехсторонника и вообще плоской фигуры, называется перпендикуляръ опущенный изъвершины угла на противуположную сторону фигуры, или на ея продолженіе, если это нужно. Эта сторона называется тогда основаніемъ фигуры.

Круговою линіею или окружностью круга, называется сомкнутая кривая линія, которой всѣточки находятся въ одной плоскости и равноудалены отъ внутренней точки называемой центромъ; кругомъ,-пространство ограниченное этою кривою линіею. Обыкновенно раздѣляютъ окружность круга на 360 равныхъ частей, которыя называются градусами; каждый градусъ на 60 равныхъ частей, которыя называютъ минутами; каждую минуту на 60 секундъ, и такъ далѣе. Величина градуса зависитъ отъ величины окружности круга, потому что градусъ 360-я часть окружности.

Часть окружности круга называется дугою. Прямая проходящая чрезъ центръ и ограниченная съ обѣихъ сторонъ окружностью называется діаметромъ. Радіусъ круга всег да половина діаметра.

Въ кругѣ хордою называется прямая соединяющая двѣ точки взятыя гдѣ нибудь на окружности. Хорда раздѣляетъ кругъ на двѣ части, которыя называются сегментами. Если хорда не діаметръ, эти сегменты неравны: большія половины круга называются большимъ сегментомъ, а другія меньшимъ сегментомъ. Если же хорда есть діаметръ: оба сегмента равны, тогда ихъ называютъ полу-кругами, а ихъ половины-четвертями крута.

Если проведемъ изъ центра круга въ окружности два радіуса, то размѣримъ кругъ на двѣ части, которыя называются секторами. И такъ сегмендъ есть часть круга ограниченная дугою и хордою, а секторъ часть круга ограниченная дугою и двумя радіусами.

Касательною къ кругу называется прямая, которая имѣетъ съ окружностью только одну общую точку; напротивъ сѣкущею называется прямая, которая имѣетъ или можетъ имѣть съ окружностью двѣ общія точки.