Гении и аутсайдеры

Все материалы, размещенные в боте и канале, получены из открытых источников сети Интернет, либо присланы пользователями  бота. 
Все права на тексты книг принадлежат их авторам и владельцам. Тексты книг предоставлены исключительно для ознакомления. Администрация бота не несет ответственности за материалы, расположенные здесь

Вам ничего не напоминает описание жизни китайских фермеров? Очень похоже на жизнь еврейских иммигрантов вроде Луиса и Реджины Боргенихтов, только-только перебравшихся в Нью-Йорк. Они трудились не покладая рук и не разгибая спины. Но их труд был
содержательным

. Независимость, сложность и прямая связь между вложенными усилиями и результатами труда, отличавшие швейную промышленность, помогли еврейским иммигрантам настраиваться на восхождение по экономической и профессиональной лестнице. Выращивание риса служило той же цели.

Историк Дэвид Аркуш провел сравнение китайских и русских пословиц, и разница между ними производит поразительное впечатление. «Бог не даст — и земля не родит» — вот типичная русская пословица. Она отражает фатализм и пессимизм, характерные для репрессивной феодальной системы, при которой крестьяне не верили в эффективность собственного труда. С другой стороны, пишет Аркуш, китайские пословицы поражают верой в то, что «упорный труд, грамотное планирование и уверенность в собственных силах или взаимодействие с небольшой группой со временем принесут награду».

Вот что говорили друг другу бедные крестьяне, 3000 часов в году вкалывавшие под палящим солнцем на заболоченных рисовых полях (которые, кстати сказать, кишат пиявками):
— «Без крови и пота нет пищи»;
— «Зимой ленивый человек замерзнет до смерти»;
— «Крестьяне трудятся, все время трудятся; а если они не будут трудиться, откуда возьмется зерно, когда наступит зима?»;
— «Не ждите пищу с небес; надейтесь на свои две руки, несущие тяжесть»;

— «Бесполезно просить об урожае, он зависит от тяжкого труда и от удобрения»;
— «Если человек упорно трудится, земля тоже не будет лениться».
И наконец, самая выразительная из всех:
«Семья человека, который круглый год встает до зари, бедствовать не будет».
Встает до зари? Круглый год?
Для племени канг, неторопливо собирающего орехи монгонго, и для французских крестьян, впадавших в зимнюю спячку, и для любой другой культуры, не знакомой с выращиванием риса, подобное просто немыслимо.

И это не отвлеченное суждение об азиатской культуре. В любом колледже вам подтвердят, что азиатские студенты всегда уходят из библиотеки позже всех. Некоторые азиаты обижаются, когда об их культуре рассуждают подобным образом, и это понятно, ведь им кажется, что этот стереотип отдает некоторым пренебрежением. Однако вера в труд — это красиво. И каждая история успеха, описанная в этой книге, рассказывает о восхождении человека или группы людей, работавших усерднее своих сверстников. Билла Гейтса в детстве нельзя было оторвать от монитора. Как и Билла Джоя. В Гамбурге группа «Битлз» выступала в общей сложности несколько тысяч часов. Джо Флом годами шлифовал свое мастерство, проводя слияния компаний, прежде чем на его долю выпал шанс. Успешные люди трудятся не покладая рук, поэтому культура, сформировавшаяся на рисовых нолях, гениальна тем, что помогала узреть смысл в тяготах и бедности всем, кто работал на земле. Этот урок сослужил азиатам хорошую службу во многих областях, но ни в одной не пригодился так, как в математике.

5

Несколько лет назад Алан Шонфельд, профессор математики из Калифорнийского университета в Беркли, записал на видео, как женщина по имени Рене пытается решить математическую задачу. Ей лет двадцать пять. У нее длинные черные волосы, она носит круглые очки в серебристой оправе. На видео Рене работает с программой по обучению алгебре. На экране видны две оси: х и у. Программа просит ввести нужные координаты, а затем проводит по заданным координатам линию. Таким образом, если вы введете 5 на оси х и 5 на оси у, то получите следующее:

Подозреваю, где-то в глубине вашей памяти забрезжили смутные воспоминания об уроках алгебры в средней школе. Но будьте уверены, нет нужды вспоминать школьную программу, чтобы оценить важность примера на видео. Читая запись монолога Рене, думайте не о том, что, а о том, почему и как она говорит.

Компьютерная программа, разработанная Шонфельдом, позволяет студентам учиться рассчитывать угловой коэффициент. Угловой коэффициент — как, я уверен, вы помните (или, точнее сказать, уверен, вы не помните, во всяком случае, я не помнил) — есть отношение противолежащего катета к прилежащему. Угловой коэффициент равен 1, поскольку интервал изменения абсциссы равен 5 и интервал изменения ординаты также равен 5.

Итак, Реве сидит за клавиатурой и пытается сообразить, какие числа нужно ввести, чтобы программа нарисовала абсолютно вертикальную линию, совпадающую с осью у. Те, кто еще помнит уроки математики, понимают, что это в принципе невозможно. У вертикальной линии «неопределенный» угловой коэффициент. Ее интервал изменения ординаты бесконечен: любое число на оси у, начиная с нуля и до бесконечности. А интервал изменения абсциссы на оси х равняется нулю. Бесконечность, поделенная на нуль, не является числом.

Но Рене и не догадывается, что она пытается решить задачу, у которой нет решения. По выражению Шонфельда, девушка пребывает в блаженном заблуждении. Профессору особенно нравится показывать эту запись, поскольку она наглядно демонстрирует, как Рене постепенно выходит из этого заблуждения.
Рене — медсестра. Она никогда прежде не интересовалась математикой и на работе ни имела с ней дела. Но случайно получив доступ к этой программе, уже не может от нее оторваться.

— Я хочу провести прямую линию, параллельную оси у, — начинает девушка. Шонфельд сидит рядом с ней. Рене взволнованно смотрит на него. — Я уже пять лет всем этим не занималась.
Она принимается экспериментировать, вводя различные числа.
— Если я изменю угловой коэффициент вот так… минус один… Мне нужно сделать эту линию прямой.
Линия на экране монитора меняется в зависимости от вводимых чисел.
— Ой, так не получается.
У Рене удивленный вид.
— Что ты хочешь сделать? — спрашивает ее Шонфельд.

— Я хочу провести линию, параллельную оси у. Что мне для этого нужно? Кажется, мне нужно что-то изменить вот здесь (она показывает на рамку, куда вводится число для оси у). Вот что я поняла: если ты ставить вместо единицы двойку, то график резко меняется. Так, если мне нужно подняться выше, нужно менять дальше.

Это и есть «блаженное заблуждение» Рене. Она установила, что чем выше координата на оси у, тем больше поднимается линия. Из чего она делает вывод: вертикальную линию можно нарисовать, введя достаточно большую координату на этой оси.
— Думаю, двенадцати или тринадцати будет достаточно. А может быть, даже пятнадцати.

Она хмурится, пытаясь вместе с Шонфельдом разобраться, что к чему. Задает ему вопросы. Он осторожно подталкивает ее в нужном направлении. Она предпринимает одну попытку за другой, пробует один вариант за другим.
В какой-то момент она вводит 20. Линия немного поднимается.

Она вводит 40. Линия поднимается еще выше.

— Тут есть очевидное соотношение. Но никак не могу сообразить, что к чему… А если я введу восемьдесят? Если при сорока линия поднялась наполовину, тогда при восьмидесяти она должна подняться точно до оси у. Посмотрим, что у нас выйдет.
Она вводит 80. Линия поднимается еще выше, но все еще не вертикальна.
— А-а-а, это бесконечность, да? Линия никогда не будет совпадать с осью.
Рене близко подошла к решению. Но затем вновь возвращается к изначальному заблуждению:

— Так что же мне нужно сделать? Ввести сто? Каждый раз, когда число удваивается, линия приближается к оси наполовину. Но так и не доходит до нее. — Она вводит 100. — Уже ближе. Но все равно не совпадает.
Рене начинает думать вслух. Очевидно, ответ вот-вот будет найден.
— Ага, я так и знала… но… я знала. Больше число, выше линия. Только никак не могу понять, почему…
Она умолкает, глядя на экран монитора.
— Совсем запуталась. Одна десятая расстояния до единицы. Но я не хочу, чтобы…

И тут ее осеняет.
— Ага! Любое число, поделенное на нуль! — Ее лицо светится от радости. — Вертикальная линия есть любое число, поделенное на нуль, а это неопределенное число. О-о-о! Ладно. Теперь все ясно. Угловой коэффициент вертикальной линии нельзя определить. А-а-а! Теперь в этом есть смысл. Никогда этого не забуду!
6

За годы своей работы Шонфельд записал на видео многих студентов, пытающихся решить те или иные математические задачи. Но запись с Рене — одна из его любимых, поскольку она идеально иллюстрирует то, что он считает ключом к изучению математики. От начала эксперимента до фразы «А-а-а, теперь в этом есть смысл» прошло
двадцать две минуты

. Это много. «Это задача для восьмого класса, — говорит Шонфельд. — Но если я посажу на место Рене обычного восьмиклассника, уверен, после нескольких попыток он скажет: „Я не понимаю“, „Объясните мне“».
Однажды Шонфельд спросил у учеников средней школы, как быстро они сдаются, решая какую-либо задачу, если она не выходит с первого раза. Ответы варьировались от тридцати секунд до пяти минут, средняя продолжительность попыток равнялась двум минутам.

Однако Рене не отступалась. Она экспериментировала, снова и снова перебирая разные варианты. Размышляла вслух. Не бросала дело на полпути. Не сдавалась. На каком-то подсознательном уровне она чувствовала, что с ее «теорией» рисования вертикальной линии не все гладко, и не останавливалась до тех пор, пока не уверилась в своей правоте.

Рене не имела врожденных способностей к математике. Абстрактные понятия вроде «угловой коэффициент» и «неопределенный» давались ей с трудом. Именно поэтому Шонфельд считает ее пример наиболее впечатляющим.

«Ею движет желание разобраться, — говорит он. — Она не из тех, кто довольствуется поверхностным „да, вы правы“ и успокаивается. И это очень необычно. — Он отматывает кассету назад и показывает на Рене, с искренним удивлением вглядывающуюся в экран монитора. — Смотрите, как она внимательно изучает график. Многие студенты ограничились бы беглым просмотром. Она же размышляет: „Это не согласуется с моими представлениями. Я не понимаю. Это важно. Я хочу вникнуть“. И когда она наконец находит объяснение, то говорит: „Да, теперь все сходится“».

В Беркли Шонфельд ведет курс по решению задач, в ходе которого он, по его собственному утверждению, старается отучить студентов от математических привычек, усвоенных в школе. «Я выбираю задачу, ответ на которую мне неизвестен, — поясняет он, — и предупреждаю студентов: через две недели вам предстоит показать решение. Ваши привычки мне хорошо знакомы. Первую неделю вы будете валять дурака и приметесь за работу только на второй неделе. Так что хочу вас предупредить. За одну неделю с заданием вам не справиться. Начав с середины отведенного срока, вы не успеете, придете ко мне и скажете: „Это невозможно“. Советую начинать работать сразу же, и к началу второй недели вы увидите, что значительно продвинулись вперед».

Зачастую мы считаем математический талант врожденной способностью. Он либо есть, либо нет. Но для Шонфельда этот талант связан не столько со способностями, сколько с
отношением

. Математику осваивает тот, кто не боится пробовать. Этому Шонфельд и пытается научить своих студентов. Успех складывается из настойчивости, упорства и готовности на протяжении 22 минут разбираться с задачей, которую большинство людей бросили бы после 30 секунд. Посадите в классе целую группу из одних Рене, дайте им возможность и время самостоятельно изучать математику — и результаты будут ошеломляющими. А представьте страну, где упорство, свойственное Рене, является не исключением, а культурной характеристикой, укоренившейся так же глубоко, как культура чести на плато Камберленд. Жители этой страны наверняка проявляют способности к математике.

7
Каждые четыре года международная группа работников образования проводит всесторонние тесты по математике и естественным наукам, в которых принимают участие ученики начальных и средних школ по всему миру. Эти тесты называются TIMMS (Тенденции в международном математическом и естественно-научном образовании), их цель — сравнить академические достижения разных стран.

При сдаче тестов TIMMS ученикам предлагается заполнить анкету, содержащую самые разнообразные вопросы: об их отношении к математике, об уровне образования их родителей, о друзьях и т. д. Эта анкета, включающая 120 пунктов, настолько скучна и подробна, что очень часто 10–20 вопросов остаются без ответа.

Но вот что интересно. Как выясняется, количество ответов в анкетах TIMMS варьируется в зависимости от страны. По большому счету все страны-участницы можно проранжировать по количеству ответов учеников. Если же сравнить результаты тестирования и ранжирования по анкетам, то
они почти полностью совпадают

. Другими словами, те студенты, которые могут сохранять концентрацию в течение длительного времени и терпеливо отвечать на вопросы нескончаемой анкеты, лучше остальных справляются с решением математических задач.

Этот факт был установлен исследователем из Пенсильванского университета Эрлингом Боу, но сам он признается, что обнаружил это совпадение по чистой случайности. «На меня снизошло какое-то озарение», — говорит он. Из-за необычности этого исследования Боу даже не удалось опубликовать его ни в одном научном журнале. Не забывайте, он не говорит о том, что способность заполнить всю анкету и способность к математике каким-то образом связаны. Он говорит о том, что они совпадают: если сравнить два списка, они оказываются идентичными.

Взгляните на это с другой стороны. Представим, что в некоем городе ежегодно проводятся математические Олимпийские игры, на которые каждая страна посылает команду из тысячи восьмиклассников. По утверждению Боу, мы можем предсказать, какое место займет каждая из стран,
не задавая ни единого вопроса по математике

. Нужно лишь дать участникам задание, показывающее, насколько усердно они умеют работать. По большому счету можно даже обойтись и без такого задания. Чтобы определить, какие страны покажут лучшие результаты по математике, достаточно определить, в каких культурах приоритет отдается стараниям и усердному труду. Теория Шонфельда об истоках успеха в математике верна не только на уровне индивидов, но и на уровне стран.

Так какие же страны наиболее сильны в математике? Опять-таки, думаю, вы понимаете, к чему я клоню. В 2003 г. в пятерку лидеров по тестам TIMMS среди восьмиклассников входили Сингапур, Корея, Гонконг, Китай (Тайбэй) и Япония. В 1999 г. в пятерку лидеров по тестам для восьмиклассников входили Сингапур, Корея, Гонконг, Китай (Тайбэй) и Япония, а в 1995 г. — Сингапур, Корея, Япония, Гонконг и Бельгия. Сингапур, Корею, Гонконг, Китай и Японию объединяет, вне всяких сомнений, культура, сформированная под влиянием выращивания риса и содержательного труда.

[23]
В этих странах нищие крестьяне на протяжении сотен лет работали по 3000 часов в год на рисовых полях, подбадривая друг друга словами: «Семья человека, который круглый год встает до зари, бедствовать не будет».
[24]