Задача о пьянице

Условие.

Пьяница стоит около обрыва на расстоянии 1 - ого шага. Если расстояние от пьяницы до обрыва станет нулем, то он свалится в обрыв. Каждую секунду до того, как свалится, с вероятностью 1/2 пьяница приближается к обрыву на один шаг, с вероятностью 1/2 отдаляется от обрыва на 1 шаг. С какой вероятностью он свалится в обрыв?

Ответ: 100%

Решение.

Обозначим за p - вероятность того, что пьяница приближается к обрыву на 1 шаг. Тогда с вероятностью 1 - p пьяница отдаляется от обрыва. Обозначим за Q(x) - вероятность того, что пьяница упадет в обрыв, начиная движение, находясь от обрыва на расстоянии x шагов (x - целое не отрицательное число). Очевидно, что

Q(0) = 1

Q(n) = Q(n-1)*p Q(n 1)*(1 - p)

Также понятно, что

Q(2) = Q(1) * Q(1) = Q(1) ^ 2 ,

так как если пьяница упадет в обрыв, то он с вероятностью Q(1) прийдет в точку с расстоянием до обрыва в 1 шаг, а потом еще раз с вероятностью Q(1) уже упадет. Подставим Q(2) = Q(1) ^ 2 в уравнение

Q(1) = p (1 - p)*Q(2)

*(Q(0)*p = 1*p = p). Получим квадратное уравнение относителтно Q(1)

(1 - p)*Q(1)^2 - Q(1) p = 0

Откуда

Q(1) = (1 - sqrt(1 - 4*(1 - p)*p)) / (2*(1 - p))

*sqrt(x) - квадратный корень из числа x.

1 - 4*(1 - p)*p = 1 - 4*p 4*p^2 = (1 - 2*p)^2

Откуда

Q(1) = (1 - |1 - 2*p|) / (2*(1 - p)) = (1 - (1 - 2p)) / (2*(1 - p)) ∈ {1; p / (1-p)

Подставим под p = 1/2, и получим, что Q(1) = 1 или 100%. ЧТД.