Человек, который собирается перевернуть математику

На часах 7 утра. Харви Фридман только что отправил письмо на электронную почту нескольким людям. В теме письма он написал «остановись, чем бы ты сейчас ни занимался». В самом письме была ссылка на видеотрансляцию концерта известного советского пианиста Владимира Горовица 1951 года. «Из-за требований правообладателей эта бесценная жемчужина скоро исчезнет с YouTube. Поэтому я требую (смайл), чтобы вы немедленно прекратили есть, спать, думать и даже дышать, чтобы успеть насладиться музыкой». 

Это письмо — первое в длинном списке писем, которые он рассылал в течение многих месяцев. Он мог писать их как в 3 часа ночи, так и в полдень или в 9 вечера. Темы этих беспорядочных посланий совершенно разные, он писал обо всем, начиная с процесса обработки электронной музыки и заканчивая междисциплинарным предметом, который он назвал «шахматной математикой». Однажды он даже намеревался самостоятельно записать «концерт эмоций» в трех частях. Разные пианисты в переписке делились своими мыслями относительно композиций из специально составленного списка. 

По поводу этих писем, со всей их многогранностью, Фридман задает один и тот же вопрос: какова их основная составляющая и каким законам они подчиняются? Кажется, он пытается подобрать правильные слова — «понять, как следует говорить о сути фундаментальных идей, как отбросить терминологию, характерную для предмета обсуждения, и сразу подобраться к сути дела», — объясняет Фридман. 

Это не значит, что все темы для него одинаково интересны. Одна из них особенно близка Фридману: основы математики, касающиеся ее структуры, логики и целостности. Фридман загорелся идеей изучения этого вопроса еще будучи подростком — тогда он впервые прочел книгу Бертрана Рассела «Введение в математическую философию». (Если вы думаете, что прочесть ее непросто, вы абсолютно правы: «Если дан некоторый класс взаимно исключающих классов, из которых ни один не является нулевым, имеется по крайней мере один класс, который имеет точно один термин, общий с каждым из данных классов...») И этот предмет до сих пор занимает его — 68-летнего профессора математики на пенсии. Он живет на засаженной деревьями улице в пригороде Колумбуса, штат Огайо. Чтобы выкроить как можно больше времени на размышления, он спит по несколько часов дважды в день. 

Фундаментальная математика уже целое столетие пребывает в кризисе — что составляет полную противоположность легкости и повседневности писем Фридмана. В 1931 году австрийский математик и философ Курт Гëдель доказал, что в любой логической системе, в которой применима элементарная арифметика, могут возникнуть утверждения, справедливость или ложность которых невозможно доказать. Оно из таких утверждений: система сама по себе упорядочена. Другими словами — ни для какой системы невозможно доказать отсутствие в ней противоречий. Казалось, в результате перед математиками встает непреодолимая проблема, и даже не столько потому, что теперь они не могли быть уверены в том, что система, на которой строится вся их работа, упорядочена (пока что противоречий не возникало). Это значило, что у фундаментальной логики, к которой они прибегали, существовали значительные ограничения. 

Всякая надежда на создание единой математической теории, амбициозного проекта, который был предложен математиком Давидом Гильбертом в 19 веке и продолжил существовать, поддерживаемый многими, в 20 столетии, рухнула. Основы математики были далеко не столь надежными, как того хотел бы Гильберт. А Гëдель своими теоремами ясно продемонстрировал, что любая система аксиом, какой бы обширной она ни была, уязвима для возникновения невосполнимых пробелов. Попытки же восполнить их созданием более полной системы породили бы только бóльшее количество утверждений без доказательств — так что и тут возникнет необходимость в усовершенствовании системы, и так далее до бесконечности. 

И случилось нечто странное: математики решили не обращать на это внимания. Они посчитали, что неполнота систем не имеет непосредственного влияния на их работу. Аксиомы, известные как ZFC (система Цермело-Френкеля с аксиомой выбора), образующие наиболее распространенные на сегодняшний день основы математики, дают ученым прочный фундамент для доказательства теорем. На самом деле ZFC оказалась настолько подробной, что большинство нынешних математиков все равно не пользуются всеми ее возможностями. «Гильбертова программа может довольно легко быть применена где-то к 85% математики», — говорит Стивен Симпсон, математик Вандербильтского университета. Утверждения, доказательства которых требуют чего-то покрепче, чем ZFC, очень запутаны и экзотичны — например, искусственные, намеренно усложненные версии рекурсивного утверждения «меня нельзя доказать» и тому подобное. Они интересны с философской точки зрения, но при занятиях «основной» математикой их предпочитают игнорировать. 

Всеми забытая теория неполноты Гёделя нашла свое прибежище в теории множеств — формальном исследовании наборов объектов и различных уровней бесконечности. Все прочие ответвления математики могут быть выражены ее языком — именно так строятся формальные доказательства — но сама теория множеств намного шире, чем ZFC. О ней можно думать как о неведомой глуши, где обитают дивные создания, способные вытворять неизвестно что — как о земле за Стеной, если вы фанат «Игры Престолов». Теоретики множеств могут строить доказательства с огромными мощностями множеств, относящимися к более высоким уровням бесконечности, слишком огромными, чтобы их существование можно было доказать средствами ZFC. Они могут натыкаться на парадоксы, доказывающие, к примеру, что трехмерную сферу можно разложить на кусочки, из которых затем можно сложить две точно такие же сферы. 

Какой бы мощной и потенциально революционной ни была математика «за Стеной», ее концепции настолько абстрактны, что остальное математическое сообщество в основном их игнорирует, как теорию неполноты. Некоторые даже называют эти концепции «неестественными». Большинство математиков никогда бы не подумали пересекать грань между ZFC и остальной математикой. 

Но именно это и сделал Фридман. Более того, он хочет принести из-за Стены то, что он там нашел, и вызволить теорему неполноты из ее карантина. В течение последних пятидесяти лет — а это, как он любит говорить, больше ста тысяч часов — он искал новую теорию, которая бы открыла «естественные» способы связать неполноту и крупные числа с повседневными трудами математиков конечных множеств. 

Теперь ему кажется, что он наконец-то достиг цели. 

Фридман вспоминает, что когда ему было около четырех или пяти лет и он только начинал читать, он показал на словарь и спросил маму, что это такое. Она объяснила, что это книга, с помощью которой узнают значение слов. Через несколько дней он вновь подошел к ней и вынес вердикт: книга совершенно бесполезна. Какое бы слово он ни взял, словарь водил его кругами: от «большого» к «огромному», от «огромного» к «крупному» и так далее, пока он в конце концов не вернулся к «большому». «Она на меня так посмотрела, будто я в самом деле был странным, необычным ребенком», — смеется Фридман. 

Таким было первое знакомство Фридмана с фундаментальным мышлением. Оно вновь давало о себе знать в самых безобидных ситуациях. Например, вскоре после знакомства со словарем он заметил, что перемена мест покупок в чеке родителей не влияла на итоговую сумму, которую им нужно было платить. Он еще не знал названия этого свойства, но оно ему запомнилось. 

Родители Фридмана оба работали в фотопечати и не имели высшего образования, но быстро поняли, что у их ребенка есть способности к математике. Фридман рассказывает, что его отец поначалу надеялся, что сын станет инженером, но с радостью поощрял его интерес к математике. Однажды отец принес домой учебник алгебры, который одолжил у сына друга семьи, жившего по соседству. «На, учись», — сказал он своему ребенку. Фридман быстро освоил материал. Ему было девять лет. 

Другие дети тоже рано продемонстрировали математическое чутье. Младшая сестра Фридмана в итоге выучилась на инженера, как и хотел отец, и потом работала программистом в IBM; брат, который младше его на пять лет, тоже изучает математическую логику. 

Фридман стремительно двигался к фундаментальным вопросам математики. Он перепрыгнул через два класса в школе, посещал университетские летние программы для одаренных учеников и впитывал в себя все, до чего мог дотянуться, в конце концов добравшись до вводного текста Рассела. Спустя десятилетия Фридман все еще помнит его заключительные строки: «Как показывает вышеприведенное поспешное исследование, в данной области имеется бесчисленное множество нерешенных задач, и исследователям в этой сфере предстоит огромный труд. Если какой-либо студент займется серьезным изучением математической логики благодаря этой книжке, ее основная цель будет выполнена». 

В случае с Фридманом эта книга определенно достигла своей цели, он в конце концов посчитал, что должен решить это «бесчисленное множество нерешенных задач». В 16 лет он экстерном закончил университет и сразу поступил в магистратуру Массачусетского технологического института, где тут же познакомился с математиком Хилари Патнэмом. В следующем семестре Фридман записался на один из его курсов, и к своему третьему и последнему курсу сформулировал для себя что-то вроде программы. Сначала он будет работать над основами математики, а затем, после нескольких лет в этой области, перейдет к другим дисциплинам: основам механики, статистики, юриспруденции, музыки. Основам всего. 

Согласно Книге рекордов Гиннеса, Фридман стал самым молодым профессором, когда получил свою степень доктора математики. Он начал преподавать философию и математику в различных вузах, включая Стэнфордский университет и Университет штата Огайо, пока не уволился в 2012 году. В данное время он проживает в Колумбусе, штат Огайо, со своей 24-летней женой, Джудит Шварц, которая ранее занималась психотерапией. В этом июле он собирается посетить Филадельфию, где исследователи Института воображения в Пенсильванском университете будут сканировать его мозг и обследовать еще 5–6 ученых-универсалов. 

На протяжении своей ошеломляющей карьеры Фридман всегда помнил о своем главном шаге к основам математики, который оказался богаче («бóльший» трепет, как выражается он сам), чем он мог себе представить. 

Ранее Фридман понимал, что поиск конкретных примеров математической неполноты в уже существующих суждениях будет тяжелой задачей. Существует гипотеза о континууме, теорема Париса — Харрингтона, некоторые виды детерминированности — но этого недостаточно. Поэтому он решил работать самостоятельно, основываясь на теории, которую построил сам, названную теорией эмуляции. Она использует объекты из естественного ядра математики: рациональные числа или дроби двух целых чисел. Рациональные числа расположены на очень низком уровне в теоретико-множественной вселенной, и математики чувствуют себя в высшей степени комфортно на этом уровне. Но посредством теории эмуляции Фридман открыл его ошеломляющую скрытую многогранность — а также путь, ведущий за границы ZFC. 

Он создал этот путь посредством сравнения множества точек, чьи координаты являются рациональными числами в интервале от нуля до единицы. Одно множество чисел «эмулирует» другое, когда у обоих есть определенные общие последовательности и симметрии; множество можно назвать «максимальной эмуляцией», если новые точки не могут быть добавлены без нарушения ее эмуляции другого множества. Эта относительно простая платформа нормально выглядящих чисел является отправной точкой Фридмана в математику за пределами ZFC. 

Например, Фридман показал, что для выдвижения теорем о том, какого рода множества имеют максимальные эмуляции требуется мыслить в математических просторах вне ZFC. В одной из таких теорем необходимо работать с определенным типом симметрии — симметрией отбрасывания, которая концентрируется на типах точек, которые встречаются при отбрасывании линии из определенной точки. Два таких «отбрасывания» являются симметричными, если встреченные ими точки имеют общие определенные последовательности. 

Фридман доказал, что для любого множества в рациональном кубе (от трех до произвольного числа измерений), «три» является максимальной эмуляцией с симметрией отбрасывания между конкретными парами точек. Чтобы доказать эту теорему и определить точки, которые ей удовлетворяют, ему было необходимо основываться на системе, которая была бы надежнее ZFC. Другими словами, данная теорема не может быть ни опровергнута, ни доказана в рамках ZFC. 

Процесс демонстрации того, что теорема неопровержима, достаточно стандартен (хотя и непрост): нужно показать, что она логически вытекает из непротиворечивости аксиом больших кардинальных чисел. С другой стороны, демонстрация ее недоказуемости более сложна. Фридман сделал это методом «от противного»: он начал с допущения, что он может доказать свою теорему в ZFC, а исходя из этого построил систему объектов, в которых ZFC будет устойчива. Это означает, что если теорема верна, то ZFC непротиворечива — и, следовательно, что она доказала свою непротиворечивость. Но согласно теоремам Гёделя о неполноте, просто невозможно, чтобы это было верным. Поэтому теорема не может быть доказана в ZFC. В настоящее время Фридман работает над расширением теории до других типов симметрий, определений «максимума», и других видов объектов. 

Андрей Бовыкин, математик из Университета штата Баия, Бразилия, дает такую оценку этой работе: «Он создал настоящее произведение искусства — сложнейшую модель, которая превращает комбинаторные объекты во вселенные. В некотором смысле Фридман придает смысл первоначально бессмысленному хаосу, а затем воплощает его в жизнь». 

Перейдя от простых выборок пар рациональных координат к чему-то, что вовлекает гипотезы больших кардинальных чисел, Фридман перешел от чего-то, что на первый взгляд должно безопасно лежать в просторах ZFC, к вещам, далеко выходящим за ее пределы. Другими словами, он открыл новые горизонты. 

Уоррен Голдфарб, философ и математик из Гарвардского университета, делится своими впечатлениями о проекте Фридмана: «Идея того, что на самом деле можно увидеть структуру невероятно большой теоретико-множественной вселенной в этих простых суждениях о множествах k-наборов рациональных чисел от 0 до 1 сама по себе довольно поразительна». Это — один шаг к конечной цели Фридмана. Сам ученый объясняет: «Это потенциально может изменить фундаментальный подход, которым пользовались математики при работе в этой области. Заключается он в том, что в математике существует абсолютная категоричность, эдакое хорошее и плохое — что в математике не существует настоящих концептуальных, философских вопросов, которые необходимо обсуждать... Вот мне и интересно все это разрушить». Он хочет, чтобы теория эмуляции стала математическим эквивалентом пятой симфонии Бетховена, которую композитор Леонард Бернстайн назвал «неизбежной». Фридман надеется, что эта мысль укрепится в умах математиков математического сообщества. 

В этом смысле его проект — это в равной степени и математика, и ее философия. Если теория Фридмана будет разворачиваться так, как он надеется, то математики впутают себя в основополагающие вопросы, не из-за какой-то приверженности теории множеств, а потому что эти вопросы естественным образом возникнут в их работе. Эндрю Арана, философ из Университета Париж 1 Пантеон-Сорбонна, считает: «Одной из целей тут является раскол между старой математикой, которая требовала большие кардинальные числа и не могла постоянно получать результаты, независимые от теории множеств, и новой математикой будущего, которая решает эти проблемы». Высшие понятия бесконечности и суждения об их непротиворечивости были бы релевантны для математиков, которые иначе не занимаются вопросами бесконечности — и это могло бы дополнить их работу. По мнению Джульет Флойд, философа из Бостонского университета, данные понятия «воскрешают философию и делают ее чем-то большим, чем просто мнением». 

С расширением многообразия основополагающих аспектов могут появиться новые возможности для решения старых проблем. В своем эссе от 1960 года «Необоснованная эффективность математики в сфере естественных наук» физик Юджин Вигнер упоминает проницательный вопрос, заданный одним из его студентов: «Если мы создали теорию, которая концентрируется вокруг явления, которое мы оставляем без внимания, и которая игнорирует феномен, вокруг которого сконцентрировано наше внимание, откуда мы знаем, что мы не могли создать другую теорию, не имеющую ничего общего с существующей, но которая, тем не менее, объясняет столько же явлений, что и теория нынешняя?». Далее Вигнер подмечает, что эта мысль верна — или, по крайней мере, никогда не существовало доказательств того, что это не случится. 

Вероятно тот же потенциал существует и в теории эмуляции. И хотя на данный момент системы ZFC более чем достаточно для большинства вопросов, которыми интересуются математики, это не означает, что она является лучшей из доступных им теоретических рамок. Решение величайших открытых математических задач (проблема Гольдбаха, гипотеза Римана, проблема простых чисел-близнецов, среди прочих) требует что-то вне системы ZFC — а именно большие кардинальные числа и гёдельские формулировки. «Даже простые суждения вроде гипотезы Римана могут быть эквивалентом метаматематических высказываний», считает Эндрю Арана (хотя Фридману это кажется маловероятным). 

До сих пор работающий с рациональным кубом, Фридман говорит, что вполне возможно, что теорию эмуляции можно будет применять практически ко всем сферам в математике. Более того, он добавляет, что метафорическая составляющая теории может быть интересна в других научных кругах. «Продолжение темы симметрии и роста может найти отклик у людей из непредвиденных сфер. Как показывает теория математики, люди не пытаются форсировать появление этих связей. Они просто развивают это математически, и связи появляются позже». 

Работа Фридмана собрала много почитателей. «Я был поклонником [его] работы много-много лет. Я убежден, что существуют весьма небезразличные для математиков задачи, которые не смогут быть решены без использования некоторых из этих только что заложенных методов высшей бесконечности», — признается математик Мартин Дэвис. Однако Фридман признает, что культурный переворот, которого он желает, будет трудным: «Многие математики не желают, чтобы это произошло, потому что поднимается целый ряд вопросов. Каких действий мы хотим в математике? Какое доказательство считать легитимным? Многие математики любят свою сферу именно потому, что подобные вопросы никогда не поднимались». 

В 2009 году, будучи неудовлетворенным своими техническими навыками игры на фортепиано, Фридман решил опуститься до самых фундаментальных элементов — так сказать, основ, лежащих в аксиомах нот, их интенсивности и музыкального размера. Он приступил к работе над произведениями, используя только электронное оборудование и программы, чтобы экспериментировать с вариациями размера и интенсивностью нот. Его цель заключалась в создании записи идеального фортепианного исполнения без единого эпизода, требующего присутствия музыканта, даже если это цифровая клавиатура. Он отредактировал каждую минуту музыки сотни раз, сопоставляя сгенерированный компьютером материал с тем, как произведение звучало в его голове. По словам Фридмана, конечный результат из 12 «гипер-отредактированных электронных фортепианных произведений», которые составляют большую часть его скромного канала на YouTube, «ввели в полное заблуждение некоторых влиятельных профессиональных пианистов». 

Когда в прошлом году он вернулся к игре на настоящем фортепиано, то к своему удивлению обнаружил, что навыки его игры кардинально улучшились — он был очень поражен, и теперь объясняет это тем, как он мыслил во время процесса редактирования. В одном из электронных сообщений он пишет о своем сольном выступлении на предстоящем «Концерте Эмоций» (которое он также добавит на YouTube после завершения): «Мне чрезвычайно интересно то, что делает пианист на микроскопическом уровне, чтобы вызвать такие яркие эмоции [у публики]». Его игра «Маленькой ночной серенады» Моцарта и «Триумфального Марша» Верди призваны, по его словам, вызвать «оптимизм и радость»; «Вокализ» Рахманинова и «Адажио Альбиони» должны отражать «пессимизм и смерть». Вопрос, который волнует ученого: как мы можем играть эти произведения так, чтобы достичь «максимально выраженной» эмоциональной реакции — и что именно позволяет этому произойти? 

Он обращается к проекту электронной обработки за подсказками: в конце концов, там он должен был найти способ создать музыку, которая бы резонировала с теми, кто идет в ногу с «музыкальной культурой». Фридман поясняет: «Можно загрузить ноты на компьютер и он идеально их воспроизведет, но в этом не будет ни одного из тех культурных атрибутов, о которых подумал бы слушатель, размышляя об „идеальном исполнении“. Это не было бы интересным и не считалось бы ценным». 

Такое же пересечение простоты и культуры питает его работу в основах математики. «Теории эмуляции требуются все атрибуты современной математической культуры. Если заглянуть глубже, появляется неуловимое чувство того, как выглядит и ощущается интересная, хорошая, и даже превосходная математика», — говорит ученый. Его непросто уловить, отчасти от того, что не все согласны с существованием негласных качеств. Действительно, существуют определенные необходимые составляющие: определения и законы, которые фундаментальны, общеустановлены и не произвольны; доказательства существования и уникальности; вопросы и классификации; потенциальные связи с реальным миром, даже если эта связь только метафорическая; и, любимый ингредиент Фридмана, чувство конкретности и «простоты». 

Именно этот последний элемент заставлял Фридмана работать над разными версиями теории эмуляции на протяжении последних 50 лет — почти три четверти его жизни. Это в 7 раз дольше, чем потребовалось Эндрю Уайлсу, чтобы доказать одну из самых известных задач в математике, Великую теорему Ферма. Голдфарб рассказывает: «Он доказывает, что это ложь — миф о том, что математики ни на что не способны после 28 лет. Харви в этом году исполнилось 68». Как говорит Фридман, ключ в простоте, потому что она связана с тем, что лежит в основе всего. И добавляет: «В том мире полно важных и сложных вещей, от теории относительности и квантовой механики до того, как собирают компьютеры. Моя долгосрочная цель — сделать все это простым». 

Для того, чтобы разъяснить основные принципы предыдущей версии теории эмуляции, он написал и разместил на своем сайте занявшую 819 страниц, перегруженную информацией монографию «Теория булевых отношений». Она так и не была опубликована ни в одном научном журнале. Фридман объясняет, что содержание этой научной работы было далеко от практики; она представляла собой несовершенную попытку продемонстрировать каждому математику неполноту его воззрений, удостовериться, что неполнота будет«непременно введена в математическую культуру». По словам Фридмана, в конечном итоге, основная задача теории эмуляции заключается в том, чтобы достичь того, что раньше не удавалось ни одному научному подходу. Он обещает выложить окончательную версию работы в этом году. 

Пока же он продолжает свой неустанный труд. Он регулярно обновляет сайт и составляет почтовую рассылку, а также призывает своих сторонников к обсуждению последних результатов его исследований. «Он — глас утопающего в пустыне, — говорит один из его коллег, — однако, если вы решите ознакомиться с содержанием хотя бы одного из его постов, поговорить с ним, вы обнаружите, что его энтузиазм настолько велик, что вам захочется узнать об его исследованиях больше». 

Автор: Джордана Цепелевич. 

Оригинал: Nautilus. 

Перевели: Yury Gaevsky, Влада Ольшанская, Natasha Ochkova. 

Редактировали: Kirill Kazakov, Nastya Zheleznyakova, Evgeny Uryvaev и Роман Вшивцев.