Занимательные числа
Будни Учёного
Постоянная Капрекара
Выберем любое четырехзначное число, в котором не все цифры одинаковые. Расположим цифры сначала в порядке убывания, затем, переставив их в обратном порядке, образуем новое число. Вычтем новое число из старого. Повторяя этот процесс с получающимися разностями (не более чем за семь шагов) получим число 6174 , которое будет затем воспроизводить самого себя. Производя вычитания, нули следует сохранять.
Постоянный результат также можно получить и другим алгоритмом:
Возьмем любое натуральное число и вычислим сумму квадратов цифр. С полученным числом повторим операцию. Будем поступать таким же образом и далее. Тогда, если процесс не приведет к единице, то получим число 145 , после которого появляется цикл: 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89.
Числа Армстронга
А что, если вместо суммы квадратов вычислять сумму кубов цифр числа? Оказывается, "орбиты" получаются гораздо интереснее. Некоторые числа "вырождаются" - приходят к единице. Другие - "стабилизируются": через несколько шагов цепочка приводит к одному из чисел 153, 370, 371 или 407 . Эти четыре числа обладают замечательным свойством: они равны сумме кубов своих цифр. Наконец, возможны и другие варианты концовки: например, есть цикл из двух чисел:
Числа 153, 370, 371 и 407 имеют специальное название - числа Армстронга (в честь математика, который их впервые исследовал). Строгое математическое определение таково: n-значное число называется числом Армстронга, если оно равно сумме n-ых степеней своих цифр.
Самопорожденные числа
Возьмем любое целое число и прибавим к нему сумму его цифр. Например: 47 + 4 + 7 = 58
58 - порожденное число
47 - генератор порожденного числа
Порожденное число может иметь более одного генератора.
Наименьшее число, имеющее более одного генератора - 101 :
101 = 91 + 9 + 1 = 100 + 1
Наименьшее число, имеющее три генератора - 10 000 000 000 001 . Оно порождено числами 10 000 000 000 000, 9 999 999 999 901 и 9 999 999 999 892.
Наименьшее число, имеющее четыре генератора, представлено ниже:
Самопорожденное число - это число, у которого нет генератора.
Существует бесконечно много самопорожденных чисел.
В пределах превой сотни их - тринадцать:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 и 97 .
Простые самопорожденные числа называются самопростыми. Их одновременно очень мало и бесконечно много :)
"Циклическое" число 142857
При умножении числа 142857 на числа от 1 до 6 получается произведение, записанное теми же цифрами, переставленными в циклическом порядке:
142857 x 1 = 142857;
142857 x 2 = 285714;
142857 x 3 = 428571;
142857 x 4 = 571428;
142857 x 5 = 714285;
142857 x 6 = 857142.
Что интересно, если умножить 142857 на 7, то получится число 999999.
Число 142857 совпадает с периодически повторяющейся последовательностью цифр, стоящих в дробной части числа 1/7, записанного в десятичной форме.
Число 45
Число 45 можно представить как сумму совершенно не целых слагаемых:
tg 1o + tg 5o + tg 9o + ... + tg 177o = 45
Заметьте, что слагаемых в этой сумме также ровно 45.
Наконец, немного лирики
1. В этой фразе двадцать восемь букв.
2. Это предложение содержит двенадцать слов, двадцать шесть слогов и семьдесят три буквы.
3. В этой фразе два раза встречается слово "в", два раза встречается слово "этой", два раза встречается слово "фразе", четырнадцать раз встречается слово "встречается", четырнадцать раз встречается слово "слово", шесть раз встречается слово "раз", девять раз встречается слово "раза", семь раз встречается слово "два", три раза встречается слово "четырнадцать", три раза встречается слово "три", два раза встречается слово "девять", два раза встречается слово "семь", два раза встречается слово "шесть".
4. Девять слов назад это предложение еще не началось.
5. Вы только что начали читать предложение, чтение которого Вы уже заканчиваете.
Число, первая цифра которого показывает, сколько в этом числе единиц, вторая - сколько в нем двоек, третья - сколько троек, ..., десятая - сколько нулей - 2100010006
Число, первая цифра которого показывает, сколько в этом числе нулей, вторая - сколько в нем единиц, третья - сколько двоек и т.д. - 6210001000