Задача динамического программирования линейного программирования
Задача динамического программирования линейного программированияСкачать файл - Задача динамического программирования линейного программирования
Исследование операций Исследование операций Линейное программирование Нелинейное программирование Динамическое программирование Транспортные задачи линейного программирования Теория массового обслуживания Теория игр. Динамическое программирование Динамическое программирование Уравнение Беллмана Задача распределения инвестиций Задача распределения ресурсов f x , g x Складская задача Метод прогонки Задача замены оборудования Задача Джонсона Задача о рюкзаке. Метод последовательных уступок Алгоритм Франка-Вульфа Критерий Вилкоксона Ранжирование данных Метод анализа иерархий Метод идеальной точки Метод непосредственной линеаризации Метод условного градиента. Задача Джонсона Симплексный метод Метод прогонки. Задача замены оборудования Параметры сетевой модели Задача распределения инвестиций. Задача коммивояжера Поток сети Многоканальные СМО.
Задачи динамического программирования
Динамическое программирование
Станция метро баррикадная сколько выходов
Правила провоза животных в поезде
Задачи динамического программирования.
Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. TM Feed Хабрахабр Geektimes Тостер Мой круг Фрилансим. Хабрахабр Публикации Пользователи Хабы Компании Песочница. В настоящий момент я работаю над учебным пособием по олимпиадному программированию, один из параграфов которого посвящен динамическому программированию. Ниже приведена выдержка из данного параграфа. Пытаясь объяснить данную тему как можно проще, я постарался сложные моменты сопроводить иллюстрациями. Мне интересно ваше мнение о том, насколько понятным получился данный материал. Также буду рад советам, какие еще задачи стоит включить в данный раздел. Во многих олимпиадных задачах по программированию решение с помощью рекурсии или полного перебора требует выполнения очень большого числа операций. Попытка решить такие задачи, например, полным перебором, приводит к превышению времени выполнения. Однако среди переборных и некоторых других задач можно выделить класс задач, обладающих одним хорошим свойством: Такие задачи решают методом динамического программирования, а под самим динамическим программированием понимают сведение задачи к подзадачам. Последовательности Классической задачей на последовательности является следующая. Последовательность Фибоначчи F n задается формулами: Необходимо найти F n по номеру n. Один из способов решения, который может показаться логичным и эффективным, — решение с помощью рекурсии: Это связано с тем, что одни и те же промежуточные данные вычисляются по несколько раз — число операций нарастает с той же скоростью, с какой растут числа Фибоначчи — экспоненциально. Один из выходов из данной ситуации — сохранение уже найденных промежуточных результатов с целью их повторного использования: Но для данной задачи применимо и более простое решение: Именно такое решение и является классическим для динамического программирования: Одномерное динамическое программирование Чтобы лучше понять суть динамического программирования, сначала более формально определим понятия задачи и подзадачи. Пусть исходная задача заключается в нахождении некоторого числа T при исходных данных n 1 , n 2 , То есть мы можем говорить о функции T n 1 , n 2 , Тогда подзадачами будем считать задачи T i 1 , i 2 , Следующая задача одномерного динамического программирования встречается в различных вариациях. Посчитать число последовательностей нулей и единиц длины n , в которых не встречаются две идущие подряд единицы. Для решения задачи методом динамического программирования сведем исходную задачу к подзадачам. Допустим, что мы уже нашли K n — 1 , K n — 2 — число таких последовательностей длины n — 1 и n — 2. Посмотрим, какой может быть последовательность длины n. Если последний ее символ равен 0, то первые n — 1 — любая правильная последовательность длины n — 1 не важно, заканчивается она нулем или единицей — следом идет 0. Таких последовательностей всего K n — 1. Если последний символ равен 1, то предпоследний символ обязательно должен быть равен 0 иначе будет две единицы подряд , а первые n — 2 символа — любая правильная последовательность длины n — 2, число таких последовательностей равно K n — 2. То есть данная задача фактически сводится к нахождению чисел Фибоначчи. Двумерное динамическое программирование Классической задачей двумерного динамического программирования является задача о маршрутах на прямоугольном поле. В разных формулировках необходимо посчитать число маршрутов или найти маршрут, который является лучшим в некотором смысле. Приведем пару формулировок таких задач: Можно совершать шаги длиной в одну клетку вправо или вниз. Посчитать, сколькими способами можно попасть из левой верхней клетки в правую нижнюю. Можно совершать шаги длиной в одну клетку вправо, вниз или по диагонали вправо-вниз. В каждой клетке записано некоторое натуральное число. Необходимо попасть из верхней левой клетки в правую нижнюю. Вес маршрута вычисляется как сумма чисел со всех посещенных клеток. Необходимо найти маршрут с минимальным весом. Для всех таких задач характерным является то, что каждый отдельный маршрут не может пройти два или более раз по одной и той же клетке. Рассмотрим более подробно задачу 2. В некоторую клетку с координатами i , j можно прийти только сверху или слева, то есть из клеток с координатами i — 1, j и i , j — 1: В данной реализации используется два параметра — i и j — поэтому применительно к данной задаче мы говорим о двумерном динамическом программировании. Теперь мы можем пройти последовательно по строкам или по столбцам массива A, находя число маршрутов для текущей клетки по приведенной выше формуле. Предварительно в A\\\[0\\\]\\\[0\\\] необходимо поместить число 1. В задаче 3 в клетку с координатами i , j мы можем попасть из клеток с координатами i — 1, j , i , j — 1 и i — 1, j — 1. Допустим, что для каждой из этих трех клеток мы уже нашли маршрут минимального веса, а сами веса поместили в W\\\[i — 1\\\]\\\[j\\\], W\\\[i\\\]\\\[j — 1\\\], W\\\[i — 1\\\]\\\[j — 1\\\]. Чтобы найти минимальный вес для i , j , необходимо выбрать минимальный из весов W\\\[i — 1\\\]\\\[j\\\], W\\\[i\\\]\\\[j — 1\\\], W\\\[i — 1\\\]\\\[j — 1\\\] и прибавить к нему число, записанное в текущей клетке: Поэтому в другой массив мы дополнительно для каждой клетки будем записывать, с какой стороны в нее надо попасть. На следующем рисунке приведен пример исходных данных и одного из шагов алгоритма. В каждую из уже пройденных клеток ведет ровно одна стрелка. Эта стрелка показывает, с какой стороны необходимо прийти в эту клетку, чтобы получить минимальный вес, записанный в клетке. После прохождения всего массива необходимо будет проследить сам маршрут из последней клетки, следуя по стрелкам в обратную сторону. Задачи на подпоследовательности Рассмотрим задачу о возрастающей подпоследовательности. Дана последовательность целых чисел. Необходимо найти ее самую длинную строго возрастающую подпоследовательность. Начнем решать задачу с начала — будем искать ответ, начиная с первых членов данной последовательности. Для каждого номера i будем искать наибольшую возрастающую подпоследовательность, оканчивающуюся элементом в позиции i. Пусть исходная последовательность хранится в массиве A. В массиве L будем записывать длины максимальных подпоследовательностей, оканчивающихся текущим элементом. Теперь можно найти L\\\[k\\\] следующим образом. Длина полученной подпоследовательности будет на 1 больше L\\\[i\\\]. Чтобы найти L\\\[k\\\], необходимо перебрать все i от 1 до k — 1: Здесь максимум из пустого множества будем считать равным 0. В этом случае текущий элемент станет единственным в выбранной последовательности, а не будет продолжением одной из предыдущих. После заполнения массива L длина наибольшей возрастающей подпоследовательности будет равна максимальному элементу L. Чтобы восстановить саму подпоследовательность, можно для каждого элемента также сохранять номер предыдущего выбранного элемента, например, в массив N. Рассмотрим решение этой задачи на примере последовательности 2, 8, 5, 9, 12, 6. Аналогично выполняем еще три шага алгоритма и получаем окончательный результат. Теперь выбираем максимальный элемент в массиве L и по массиву N восстанавливаем саму подпоследовательность 2, 5, 9, Еще одной классической задачей динамического программирования является задача о палиндромах. Дана строка из заглавных букв латинского алфавита. Необходимо найти длину наибольшего палиндрома, который можно получить вычеркиванием некоторых букв из данной строки. Будем рассматривать возможные подстроки данной строки с i -го по j -ый символ, обозначим их через S i , j. Длины максимальных палиндромов для подстрок будем записывать в квадратный массив L: L\\\[i\\\]\\\[j\\\] — длина максимального палиндрома, который можно получить из подстроки S i , j. Начнем решать задачу с самых простых подстрок. Для строки из одного символа то есть подстроки вида S i , i ответ очевиден — ничего вычеркивать не надо, такая строка будет палиндромом. Если же символы не равны, то вычеркиваем любой. Пусть теперь нам дана подстрока S i , j. Если первый S\\\[i\\\] и последний S\\\[j\\\] символы подстроки не совпадают, то один из них точно нужно вычеркнуть. Рассмотрим решение на примере строки ABACCBA. Первым делом заполняем диагональ массива единицами, они будут соответствовать подстрокам S i , i из одного символа. Затем начинаем рассматривать подстроки длины два. Во всех подстроках, кроме S 4, 5 , символы различны, поэтому в соответствующие ячейки запишем 1, а в L\\\[4\\\]\\\[5\\\] — 2. Получается, что мы будем заполнять массив по диагоналям, начиная с главной диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Для подстрок длины 3 получаются следующие значения: В остальных подстроках первая и последняя буквы различны. Если же в задаче необходимо вывести не длину, а сам палиндром, то дополнительно к массиву длин мы должны построить массив переходов — для каждой ячейки запомнить, какой из случаев был реализован на рисунке для наглядности вместо числовых значений, кодирующих переходы, нарисованы соответствующие стрелки. Программирование 2,9k авторов , 6,5k публикаций. Анализ и проектирование систем авторов , публикация. Java 1,1k авторов , 2,2k публикаций. Разработка игр 1,2k авторов , 2,9k публикаций. Алгоритмы 1,3k авторов , 2,3k публикаций. Разработка под Android 1k авторов , 2,2k публикаций. Разработка мобильных приложений 1k авторов , 2,8k публикаций. Информационная безопасность 2,4k авторов , 6,4k публикаций. JavaScript 1,9k авторов , 4k публикаций. Ненормальное программирование авторов , публикации. Добавить в закладки Алексей Казимиров cybrid карма. Где же вы раньше то были? Самому то додуматься не судьба конечно. Зато будете потом кичиться высшим образованием. А Вы во время учебы самостоятельно додумывались до решения абсолютно всех задач? Позволю себе роскошь не поверить. Да я лучший в группе. Все делал не только себе, но и другим всегда помогал. И ничего сложного в программе ВУЗов нет. К сожалению, я сам не смог решить такую задачу, когда она мне попалась на олимпиаде. Вот сейчас пытаюсь систематизировать материал по ДП. Если что, хорошая динамика в этой задаче работает за O N и с O N дополнительной памяти. Проверено на задаче с Тимуса. Спасибо, действительно другая, я топик по диагонали прочитал. По ссылке ищется длиннейший палиндром-подстрока, а в топике — палиндром-подпоследовательность. Для моего подхода это важно, так что вброс отменяется. По-моему, он известен только один классический если я неправ, metar меня поправит и расскажет свой. Тогда при линейном проходе можно смотреть, укладывается ли текущий символ в самый правый найденный доселе палиндром. Получается именно что O N времени каждый проход втупую один раз затрагивает каждый символ при расширении вправо и O N памяти два массива. Так что буду благодарен, если вы напишете решение. Могу подтолкнуть, вначале используя позиционный хеш, считаем его для всей строки за О n. Потом простыми арифметическими манипуляциями можно получить его для любой подстроки за O 1. Делаем обход по строке и фиксируем центр палиндрома стоит не забывать что длина палиндрома может быть чётной или нечётной , далее используя бинарный поиск ищем длину палиндрома очевидно что если мы найдем палиндром длины 4, то не исключено что если добавить по 2 символа с обеих сторон, может получиться тоже палиндром. Если нужен код могу скинуть, но я не фанат такого ;. Ой, только что почитал выше топик и понял как я лажанул, это работает если палиндром подстрока а не подпоследовательность. Равенство хэшей не гарантирует равенства строк. Решение за O N log N с бинпоиском и хэшами для длиннейшего палиндрома-подстроки знаю, для палиндрома-подпоследовательности — никогда не видел… Посидел немного, подумал — не получается же, не хватает информации, как ни крути, хэши работают с неразрываемыми подстроками символов. Блин всем сорри не сам коментил стоит оставить залогиненым акаунт. Настолько приелась эта тема, что аж тошно от ДП. Тем более, в период олимпиад В любом случае, классика неплохо разобрана. Как мне показалось, сейчас на олимпиадах серьезного уровня есть тенденция ухода от ДП. По крайней мере от динамического программирования в чистом виде. Так что можете радоваться: Во всяком случае, в школьных олимпиадах динамику пытаются сунуть туда, где она вообще не нужна. Под скоростью роста я подразумевал соотношение F n и n при увеличении n. Я давно уже не олимпиадник и нет времени следить за этим спортом, но с удовольствием бы прочел всю теорию из вашей книги. В планах охватить основные разделы олимпиадного программирования. Первыми на очереди — динамическое программирование по профилю и геометрия. Здорово, остальные главы из книги тоже будут опубликованы? Буду следить с интересом. Спасибо за хороший материал, вспомнил, как сам на олимпиадах участвовал. Да, планирую продолжить публикацию. Не обещаю, что это будет быстро. На вашем месте я бы не стал рассматривать тривиальные упражнения в учебном пособии. Эти задачи встречаются очень уж часто и слишком простые, чтобы показать реальную силу ДП. В последней задаче можно дополнительно написать, как вместо матрицы хранить только один массив или хранить матрицу, но не заводить вторую для получения ответа. Это уже будет куда лучше. Нас в свое время учили ДП, начиная с задачи про две кучи монет — разбить множество монет на две кучи так, чтобы они были наиболее близкими по стоимости. Какие задачи включить в данный раздел? Ну, те же две кучи монет. Динамику по профилю обязательно. Какую-нибудь динамику по подмножествам, например, точное решение задачи Коммивояжера. Вообще, можно брать все, что плохо или мало описано в других источниках. Если вы конечно не претендуете на монографию с полным обзором всех таких задач за последние 70 лет метод матрицы переноса, он же динамика по профилю был известен ещё в х годах, применялся для точного решения модели Изинга без воздействия внешнего поля. Спасибо за подробный совет. Почему я включаю тривиальные задачи? Чтобы научиться решать сложные задачи, надо с чего-то начинать. В планах задача о рюкзаке и динамика по профилю. Но в последней после статьи Василевского , мне кажется, сложно сказать что-то новое. Собираюсь включить ДП по профилю только из соображений системности изложения. Про две кучи монет — спасибо. Как-то эта задача прошла мимо меня. Что-то новое сказать в динамике по профилю элементарно. Видел пару человек, которые начитались Василевского, потом сталкивались с динамикой по состояниям, и у них немного сносило мозг и рвало шаблон: Посоветуйте, где лучше ето все таки разобрать динамика по \\\[изломаному\\\] профилю. Или кикую-то литературу по етому делу. Так вот я вам и говорю, что именно эти задачи, что вы предлагаете, слишком часто обсуждаются всеми, кому не лень. Я сам автор нескольких учебных пособий и просто даю совет, что выпускать пособия лучше только в тех случаях, когда в них содержится материал, плохо описанный или вообще не описанный в учебной литературе. То есть материал, взятый из научных работ. То есть если кроме этих задач будут другие сложные, и их будет больше , то все хорошо, а если нет — то… у нас один студент курсовую писал, он там штук таких задач собрал. Значит его работа лучше вашей? Так не должно быть. Но в последней после статьи Василевского, мне кажется, сложно сказать что-то новое. Статья Василевского хороша тем, что там достаточно понятно разобраны те же самые тривиальные задачи. Причем других статей с подробным описанием я не видел. Но есть куча тонкостей, о которых он не пишет, а они возникают в задачах чуть более сложных, например, когда размерность больше игрушечной, или когда переход от профиля к профилю не такой простой. Кроме того, автор сильно хвалит изломанный профиль, но на примере одной задачи это выглядит крайне неубедительно. Например, эту задачу изломанным профилем решать нецелесообразно. При прочих равных условиях, обычный профиль экономит на порядок больше памяти, а при грамотном переходе оказывается ещё и быстрее. Кстати, это хорошая нетривиальная задача. Вот её другой вариант , посложнее. Я в своё время учил ДП по этому сайту Дистанционная подготовка , там много полезной теории для новичков, а главное есть задачи на которых ей можно проверить и проверочная система. Хорошо получилось в целом, но некоторые места я бы изменил. Может это из-за того что я вечером читаю, и голова не варит, но меня они озадачивали и приходилось перечитывать. Например, Для всех таких задач характерным является то, что каждый отдельный маршрут не может пройти два или более раз по одной и той же клетке. Согласен, ваша формулировка понятнее. Спасибо, приму к сведению. А мы в свое время начинали изучение ДП с принципа оптимальности Беллмана, думаю стоит упомянуть о нем. Да, наверно, стоит упомянуть о нем там, где идет формализация динамического программирования. В самом первом примере о числах Фибоначчи — первый и последний варианты дают разные ответы для одного n. Ну и рекурсивный алгоритм нарочиты выбран неоптимальным? Прежде чем минусовать, пожалуйста, сравните условия в вашем примере и в верху страницы. Нет, был выбран самый очевидный алгоритм. Но я не вижу, в чем первый алгоритм является неоптимальным. Алгоритм про последовательность действительно не лучший, а может использоваться лишь как пример ДП. Оптимальный алгоритм — использование формулы с золотым сечением: Алгоритм с золотым сечением не очень хороший, так как для чисел с большим номером нужно вести вычисления с очень большой точностью. Но можно сделать через матрицы. Удивляет то, что его до сих пор не включают в стандартную универститетскую программу, а многие начинающие олимпиадники про него вообще не слышали. Начинающие стоящие олимпиадники — слышали все. Более того, они даже понимают, что таким образом можно задать произвольное линейное рекуррентное отношение над произвольным кольцом. Видел задачи, где быстрым возведением в степень решалась рекуррентность в Z 2. Я такой алгоритм не рассматривал в силу того, что специфичен для чисел Фибоначчи. А я хотел проиллюстрировать общие идеи решения подобных задач. Да, этот пример с рекурсией самый часто встречающийся, но он очень неоптимальный. Кроме того, чтобы вычислять n-число по формуле что я считаю наиболее правильным, но не важно , можно для начала использовать вот такой алгоритм: Конечно же, можно добавить и хранение промежуточных результатов и т. Скорее все варианты дают ответы со смещением относительно постановки задачи. Наверно, логичнее всего в постановке начать с F 0. А учебное пособие для чего создается? Будет ли публиковаться в электронном виде? Есть ли вообще какая нибудь литература по спортивному программированию на русском языке? Да, в первую очередь это методичка для ВУЗа. В полном виде, скорее всего, выставлено не будет. Большая часть тех книг по спортивному программированию, которые я читал, ориентирована в первую очередь на школьников. Также отдельные разделы есть в классических книгах, посвященным алгоритмам. А я вот не могу понять, зачем напрягаются с динамическом программированием, когда есть мемоизация? Вычислительная сложность та же в итоге, но не рушится изначальная абстракция функциями. Во-первых, чтобы написать программу, использующую мемоизацию, все равно необходимо вывести рекуррентное соотношение для исходной задачи. То есть основная идея останется той же, что и в ДП, но будет по-другому реализована. Во-вторых, при использовании мемоизации может получиться очень большая глубина вызовов. Не могу придумать, как реализовать динамическое программирование по профилю с помощью мемоизации. Я как раз о том что вариант с мемоизацией гораздо ближе к исходным реккурентным соотношениям. Ну а насчет глубины вызова — это как правило уже не проблема. Языки высокого уровня существуют для того чтоб уходить от технических тонкостей вроде этой. Не знаком с сутью динамического программирования по профилю, по-этому не скажу тут ничего. ДП очень похоже на мемоизацию. ДП экономит память за счет того, что можно выкидывать решения подзадач, которые больше не понадобятся: Мемоизация более интуитивная чем ДП, поэтому я обычно решаю задачи так: Рисуем картинку с порядком вычислений: В этом примере уровнем может быть строчка или столбец таблицы. Ну то что ДП похоже на мемоизацию я не спорю Пока я понял только одно — ДП имеет смысл использовать лишь на очень заниженном размере стека и кучи, так как в другом случае проблем не возникает. Плюс в практических задачах обычно нет смысла выкидывать значения которые не нужны на данном этапе, так как они могут пригодится при следующем вызове функции. Грубо говоря да, ДП по сравнению с мемоизацией выигрывает только в объеме памяти. Но это уже от конкретной задачи все зависит, да. Вроде так и в литературе обычно упоминается. Ну это уже чисто семантические тонкости. Вряд ли кто-то станет называть рекурсивное вычисление факториала — ДП: Ибо формально оно таки подпадает под определение ДП: Формально что угодно попадает под определение ДП, правда подзадач — 0 штук: Я вот далек от олимпиадного программирования и меня всегда волновал вопрос, чем динамическое программирование отличается от банальной рекурсии с кэшированием? Как я понимаю должно быть 2. К сожалению много ляпов и неточностей: Метки лучше разделять запятой. Сейчас Вчера Неделя Защищаем сайт с помощью ZIP-бомб 28,6k Снимаем и вносим наличные в банкомате с помощью смартфона. Впервые в мире 11,4k Три дня как все кассы в стране должны стать онлайн на самом деле нет 40,4k Интересные публикации Хабрахабр Geektimes. Астробиологи из Эдинбургского университета считают, что жизни на Марсе нет из-за токсичных химических соединений GT. Нейросети диагностируют проблемы с сердцем более точно, чем врачи GT. За какие заслуги Kingston любят центры обработки данных? Вещи, которые мне надо было знать прежде, чем создавать систему с очередью. Обработка многократно возникающих SIGSEGV-подобных ошибок. Выбор алгоритма вычисления квантилей для распределённой системы. Как у Словакии украли национальный домен верхнего уровня. Разделы Публикации Хабы Компании Пользователи Песочница. Информация О сайте Правила Помощь Соглашение Конфиденциальность. Услуги Реклама Тарифы Контент Семинары.
Сила веры описание каждой серии
Уральские авиалинии победа стоимость скидки расписание
Суть методов динамического программирования
Сколько ехать от нижнего до сочи
Как сделать таблицу в процентах