Высказывания с кванторами
Высказывания с кванторамиЛекция 7. Высказывания с кванторами
=== Скачать файл ===
В формулировках математических предложений часто встречаются слова: Например, свойство противоположных сторон прямоугольника формулируется так: Выясним, каков смысл этих слов и как они используются в математике. Если задана высказывательная форма, то, чтобы превратить ее в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Относительно этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит, оно является высказыванием, причем ложным. Иногда эту запись дополняют обозначением множества Х, на котором задана высказывательная форма А х , и тогда предложение можно читать:. Итак, если задана одноместная высказывательная форма А х , то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если связать квантором каждую переменную. Однако важно уметь не только переходить от высказывательной формы к высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать их логическую структуру. Дело в том, что кванторы содержатся в формулировках определений, теорем и других математических предложений, хотя часто только подразумеваются. В математике говорят, что в ложности данного высказывания мы убедились, приведя контрпример. Вообще истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем доказательства. Показать ложность таких высказываний можно, приведя контрпример. Вообще истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Показать ложность таких высказываний можно, проведя доказательство. Пусть предложение А — высказывание. Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны. Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно. Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Можно ли поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? На примере можно показать, что нельзя. Можно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Сделать это можно при помощи таблицы истинности:. Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: Как быть, если высказывания содержат кванторы? Из них вытекает правило: Пусть на множестве Х задана высказывательная форма А х. Предложение А х будет обращаться в истинное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых А х — ложно. Необходимые и достаточные условия. Правильные и неправильные рассуждения. Рассмотрим две высказывательные формы: В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования. Высказывательная форма В х следует из высказывательной формы А х , если В х обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А х истинна. Если А и В — высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В. Предложения А х и В х равносильны, если из предложения А х следует предложение В х , а из предложения В х следует предложение А х. Заметим, что мы рассматриваем понятия логического следования и равносильности для одноместных высказывательных форм. Для предложений, содержащих две и более переменных, эти понятия определяются аналогично. Определение порождает два равносильных предложения. В этом случае речь идет о равносильности высказываний определенной формы. При этом считают, что предложения равносильны, если они одновременно истинны, либо одновременно ложны. Другими словами, если их значения истинности совпадают при одинаковых наборах значений высказываний А и В. Понятие логического следования позволяет уточнить ряд вопросов, связанных с предложениями, которые в математике называют теоремами. Теорема — это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения доказательства. Предложение А называют условием теоремы, а предложение В — ее заключением. Например, рассмотренную теорему можно сформулировать так: В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами. Выясним, чем они отличаются от теоремы. Рассмотрим, например, такую теорему из школьного курса алгебры: Для того чтобы этой теоремой удобнее было пользоваться, при выполнении различных преобразований ее формулируют в виде правила: Учитель должен уметь разворачивать изучаемые в начальной школе правила формулы и формулировать соответствующие им теоремы. Например, правило деления суммы на число: К этой формулировке иногда добавляют формулу: Кроме того, воспользоваться правой частью этого равенства можно при условии, что а кратно с и b кратно с. Однако не всегда это предложение является теоремой. Построим предложение, обратное данному: Это высказывание ложное, в чем можно убедиться, приведя контрпример: Обратное ей предложение таково: Оно, как известно, истинное и поэтому является теоремой. Ее называют теоремой, обратной данной. Но не всегда это предложение является теоремой. В том случае, если предложение, противоположное данному, будет истинно, его называют теоремой, противоположной данной. Это, как известно, предложение истинное и, следовательно, является теоремой. Ее называют обратно противоположной данной. Вообще для какой бы теоремы мы ни формулировали предложение, обратное противоположному, оно всегда будет теоремой, потому что имеется следующая равносильность: Эту равносильность называют законом контрапозиции. Мы принимаем его без доказательства. Согласно этому закону, предложение, обратно противоположное какой-либо теореме, также является теоремой, и, значит, вместо данной теоремы можно доказывать теорему, обратно противоположную данной. Кроме того, из закона контрапозиции следует, что предложение, обратное данному, и предложение, противоположное данному, одновременно истинны либо одновременно ложны. Поэтому, рассматривая их, достаточно доказать или опровергнуть какое-нибудь одно; тем самым будет доказано опровергнуто другое. Заметим также, что если условие или заключение данной теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции или дизъюнкции. Предложение, противоположное данному, можно сформулировать так: Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Следующая. Лекция - визуализация V. Взаимосвязь юридической психологии с другими науками Биологическая роль буферных систем Плиты перекрытия Упражнений с гимнастической палкой Организация мероприятий по ликвидации незаразных болезней животных. Организация лечебных мероприятий Коррозионные диаграммы Дидактические принципы Каменского Кислотный и щелочной гидролиз пептидов. Производство строительной извести по мокрому способу из влажного мела Устройство и производительность дноуглубительных снарядов. Орг - год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования.
Как самому сделать дробилку для зерна
Истинность высказываний с кванторами
Кванторы
К понятию субъективного права относится
Чехол для телефона бисером схемы узоров
Тестыпо русскому языку 9 класс тростенцова